норма оператора L2->L2

[Spook]

Есть операторы, действующие $L_2[0,1]\to L_2[0,1]$:
$A_1x(t)=t\int\limits_{0}^{1}x(t)dt$
$A_2x(t)=\int\limits_{0}^{t}x(\tau)d\tau$
Нужно проверить их ограниченность и найти норму.

Ограниченность у нас определяется так: $||Ax||\leqslant C||x||$, где $infC$ будет нормой оператора.

Получается, например,
$||A_1x||^2=\int\limits_{0}^{1}t^2(\int\limits_{0}^{1}x(t)dt)^2dt$, а
$||x||^2=\int\limits_{0}^{1}x^2(t)dt$

Теперь я должен преобразовать левую часть и получить выражение содержащее $||x||$? Как это сделать? Использовать максимум функции, неравенство Гёльдера или еще что-то? Или может быть существуют какие-либо другие приемы?

[ewert]

Норма в $L_2$ грубо оценивается сверху "нормой Гильберта-Шмидта" -- это когда интегрируется квадрат ядра по всем допустимым аргументам и потом берётся корень. Для ограниченности этой "нормы" вполне достаточно ограниченности самого ядра (если область тоже ограничена). У Вас всё это есть.

(Оценка через норму Гильберта-Шмидта доказывется банально -- применением неравенства Коши-Буняковского при фиксированном внешнем аргументе и потом соответствующим интегрированием по этому арнументу).

[RIP]

Норма второго оператора подробно вычислялась в этой теме. Возможно, с первым то же самое прокатит.

[ewert]

С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один: если $(Ax)(t)=t\,\int_0^1x(s)\,ds$, то $A=x\,(\;\cdot\,1)$. Соответственно, $\Vert A\Vert=\Vert x\Vert\cdot\Vert1\Vert$ и достигается, разумеется, на константах.

[RIP]

ewert писал(а):

С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один:

Блин, точно. Не заметил, что там верхний предел интегрирования 1.

Добавлено спустя 29 минут 1 секунду:

Вообще, я думаю так. Оператор $A_1$ дан для того, чтобы проверить знание определений, а пример с $A_2$ — это такая задача-издевательство: предполагается, что студент легко получит с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца-... тривиальную оценку сверху, а вот для оценки снизу пример ну никак не удаётся придумать! (не думаю, что каждый студент может найти норму этого оператора, разве только в какой-нибудь книжке...). Хотя не знаю, может быть, есть какие-то общие теоремы на этот счёт (я довольно слабо знаю функан), или вообще есть какой-нибудь более простой и естественный способ, через ряды Фурье или что-нибудь в этом роде.

[ewert]

А что касается второго оператора, то вряд ли можно сочинить какой-то простой способ решения: тригонометрия в любом случае должна же хоть как-то вылезти. Вот ещё один вариант вычисления, тоже довольно занудный, но хотя бы сознательный.

Запишем исходный оператор как стандартный оператор Фредгольма: $(Ay)(x)=\int_0^1K(x,t)y(t)\,dt$. Ядро $K(x,t)$ -- это характеристическая функция треугольника $\{t<x\}$, т.е. половины всего квадрата. Из симметрии ядром сопряжённого оператора будет характеристическая функция другой половины: $(A^*y)(x)=\int_x^1y(t)\,dt$.
Операторы -- компактны, поэтому надо найти наибольшее сингулярное число, т.е. корень из наибольшего собственного числа оператора $A^*A$. Задача на собственные числа ($A^*Ay=\lambda y$) расшифровывается так:

$$\int_x^1dt\int_0^ty(s)\,ds=\lambda y(x),\qquad \text{откуда}\qquad-\int_0^xy(s)\,ds=\lambda y'(x)\qquad\text{и}\qquad-y(x)=\lambda y''(x)\qquad$$

.
Добавляем граничные условия (следующие из этих же интегральных соотношений: $y(1)=0$, $y'(0)=0$, и получаем простенькую задачу Штурма-Лиувилля (правда, спектральный параметр с другой стороны, ну да какая разница). Решаем, если угодно, просто подбором:

$$y_k(x)=C_1\cos\left(\left(\pi k+{\pi\over2}\right)x\right),\ \ \lambda_k={1\over(\pi k+{\pi\over2})^2},\ \ k=0,1,2,\dots$$

.
Теперь

$$\Vert A\Vert=\sqrt{\lambda_{\rm max}}={2\over\pi}$$

.

[RIP]

ewert писал(а):

Вот ещё один вариант вычисления, тоже довольно занудный, но хотя бы сознательный.

Что касается занудности, то тут оба метода идентичны, поскольку приходится решать одно и то же интегральное уравнение. А про сознательность — это Вы в самую точку. Если в "моём" методе это уравнение вылезает из непонятно откуда взявшихся соображений, то в Вашем — из очень даже понятных и естественных. Вполне может быть, что именно это решение и подразумевается.

[Spook]

Всем добрый вечер, наконец-то могу присоединиться.

ewert писал(а):

Норма в $L_2$ грубо оценивается сверху "нормой Гильберта-Шмидта" -- это когда интегрируется квадрат ядра по всем допустимым аргументам и потом берётся корень. .

Да, но я вот попробовал оценить через максимум функции, получилось вот что(по моему более точная оценка):
$||Ax||^2=(\int\limits_{0}^{1}x(t)dt)^2\int\limits_{0}^{1}t^2dt=\frac 1 3 |\int\limits_{0}^{1}x(t)dt|^2\leqslant\frac 1 3 M^2$. Аналогично $||x||^2\leqslant M^2$. Отсюда $||A||=\frac {\sqrt{3}} 3$.
Определение ограниченности у нас такое: $||Ax||\leqslant C||x||$. Точно не уверен, но наверное нужно придерживаться данной аксиоматики. Хотя к такому виду привести выражение у меня не получилось.

ewert писал(а):

С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один: если $(Ax)(t)=t\,\int_0^1x(s)\,ds$, то $A=x\,(\;\cdot\,1)$. Соответственно, $\Vert A\Vert=\Vert x\Vert\cdot\Vert1\Vert$ и достигается, разумеется, на константах.

ewert к сожалению мне не знакомы такие обозначения(второе и переход к тетьему), поэтому я не очень Вас понял, не могли бы Вы поподробнее обьяснить эти выводы? И еще во втором примере

ewert писал(а):

Операторы -- компактны, поэтому надо найти наибольшее сингулярное число, т.е. корень из наибольшего собственного числа оператора $A^*A$.

это какое-то неизвестное мне общее правило? Если можно дайте ссылку, где поподробнее написано.
RIP по моему автор той темы удалил картинку с заданием из интернета, но насколько я понял там пространство $C[a,b]$, а не $L_2[a,b]$. В данном случае это меняет что-то? Кстати решение интересное, эмпирическое такое, предъявлю преподавателю оба варианта

[AD]

Spook писал(а):

ewert писал(а):

С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один: если $(Ax)(t)=t\,\int_0^1x(s)\,ds$, то $A=x\,(\;\cdot\,1)$. Соответственно, $\Vert A\Vert=\Vert x\Vert\cdot\Vert1\Vert$ и достигается, разумеется, на константах.

ewert к сожалению мне не знакомы такие обозначения(второе и переход к тетьему), поэтому я не очень Вас понял, не могли бы Вы поподробнее обьяснить эти выводы?

Можно я отвечу? $t\int_0^1f(x)\,dx$ пропорционально функции $t$. Интеграл -- константа. Оператор имеет одномерный образ. Видите? Всё, задача решена.

[Spook]

AD, тогда получается(для $x=const$) $||Ax||=C/12\leqslant||A||C$ отсюда не следует, что она равна 1.

[AD]

Так, ну да, наверное, не единица. Кто-то поленился посчитать норму t в $L_2$. Но всё равно вот это и есть норма.

Тока у меня получилось $\|Ax\|=C/\sqrt{3}$.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert писал(а):

Операторы -- компактны, поэтому надо найти наибольшее сингулярное число, т.е. корень из наибольшего собственного числа оператора $A^*A$.

это какое-то неизвестное мне общее правило? Если можно дайте ссылку, где поподробнее написано.
RIP по моему автор той темы удалил картинку с заданием из интернета, но насколько я понял там пространство $C[a,b]$, а не $L_2[a,b]$. В данном случае это меняет что-то?

Общее правило такое: если норма порождена скалярным произведением, то $\Vert A^*A\Vert$ -- это квадрат нормы исходного оператора. Переход к оператору $A^*A$ выгоден потому, что этот оператор самомопряжён и неотрицателен. Поэтому его норма -- это верхняя граница спектра. А если оператор к тому же ещё и компактен, то верхняя граница -- это максимальное собственное число.

Если пространство $C[a,b]$ вместо $L_2[a,b]$, то всё, конечно, меняется радикальным образом. Теперь норма интегрального оператора -- это просто-напросто максимум по первому аргументу интегралов по второму аргументу от модуля ядря.

[RIP]

Spook писал(а):

RIP по моему автор той темы удалил картинку с заданием из интернета, но насколько я понял там пространство $C[a,b]$, а не $L_2[a,b]$.

Там просто было 2 задания. Второе задание совпадало с нужным Вам.

[Spook]

RIP, да, я невнимательно прочитал.
AD, мы наверно оба неправильно посчитали, а ewert был прав, норма оператора
$(Ax)(t)=t\int\limits_{0}^{1}x(t)dt\leqslant t\sqrt{\int\limits_{0}^{1}x(t)^2dt} \sqrt{\int\limits_{0}^{1}1^2dt}=t||x||\leqslant||x||$ и равна 1(равенство достигается на константах).
ewert а норма второго оператора в пространстве $C[0,1]$ равна как я понял 1(достигается опять же на константах)? спасибо за разъяснение по второму оператору, стало ясно. Единственное, что я не понял, так это где используется то, что пространство у нас $L_2$? Просто хочу таким же методом найти норму другого оператора и не могу(( Кстати вот этот оператор:

$$A_3f(x)=\frac 1 x\int\limits_{0}^{x}f(t)dt$$

и действует он в $L_p(0,\infty)$. Смущает то, что действует он уже в $L_p$, непонятно какой тут будет самосопряженный оператор и ко всему прочему из-зи предела $0$ неравенство Гёльдера не дает здесь даже ограниченности:

$$A_3f(x)\leqslant \frac 1 x\sqrt[p]{\int\limits_{0}^{x}f(t)^pdt}\sqrt[q]{\int\limits_{0}^{x}1^qdt}=x^{-\frac 1 p}||f||$$

Что тут еще можно сделать?

[RIP]

Тут очень хорошо работает "мой" метод. А именно: записываем
$A_3f(x)=\frac1x\int_0^xt^{\frac{p-1}{p^2}}f(t)\cdot t^{-\frac{p-1}{p^2}}dt$,
далее юзаем неравенство Гёльдера и после несложных вычислений получаем, что при любом $T>0$ справедливо
$\int_0^T|A_3f(x)|^pdx\leqslant\left(\frac p{p-1}\right)^p\int_0^T|f(t)|^pdt$
(на самом деле там получается более точное неравенство). Отсюда следует, что $\|A_3\|\leqslant\frac p{p-1}=q$. На самом деле имеет место равенство, в чём несложно убедиться (причём для любого пространства вида $L^p(0;T)$, $T\in(0;+\infty]$).