2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 норма оператора L2->L2
Сообщение26.05.2008, 21:46 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Есть операторы, действующие $L_2[0,1]\to L_2[0,1]$:
$A_1x(t)=t\int\limits_{0}^{1}x(t)dt$
$A_2x(t)=\int\limits_{0}^{t}x(\tau)d\tau$
Нужно проверить их ограниченность и найти норму.

Ограниченность у нас определяется так: $||Ax||\leqslant C||x||$, где $infC$ будет нормой оператора.

Получается, например,
$||A_1x||^2=\int\limits_{0}^{1}t^2(\int\limits_{0}^{1}x(t)dt)^2dt$, а
$||x||^2=\int\limits_{0}^{1}x^2(t)dt$

Теперь я должен преобразовать левую часть и получить выражение содержащее $||x||$? Как это сделать? Использовать максимум функции, неравенство Гёльдера или еще что-то? Или может быть существуют какие-либо другие приемы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.05.2008, 22:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Норма в $L_2$ грубо оценивается сверху "нормой Гильберта-Шмидта" -- это когда интегрируется квадрат ядра по всем допустимым аргументам и потом берётся корень. Для ограниченности этой "нормы" вполне достаточно ограниченности самого ядра (если область тоже ограничена). У Вас всё это есть.

(Оценка через норму Гильберта-Шмидта доказывется банально -- применением неравенства Коши-Буняковского при фиксированном внешнем аргументе и потом соответствующим интегрированием по этому арнументу).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.05.2008, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Норма второго оператора подробно вычислялась в этой теме. Возможно, с первым то же самое прокатит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.05.2008, 01:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один: если $(Ax)(t)=t\,\int_0^1x(s)\,ds$, то $A=x\,(\;\cdot\,1)$. Соответственно, $\Vert A\Vert=\Vert x\Vert\cdot\Vert1\Vert$ и достигается, разумеется, на константах.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.05.2008, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
ewert писал(а):
С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один:

Блин, точно. Не заметил, что там верхний предел интегрирования 1.

Добавлено спустя 29 минут 1 секунду:

Вообще, я думаю так. Оператор $A_1$ дан для того, чтобы проверить знание определений, а пример с $A_2$ — это такая задача-издевательство: предполагается, что студент легко получит с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца-... тривиальную оценку сверху, а вот для оценки снизу пример ну никак не удаётся придумать! (не думаю, что каждый студент может найти норму этого оператора, разве только в какой-нибудь книжке...). :D Хотя не знаю, может быть, есть какие-то общие теоремы на этот счёт (я довольно слабо знаю функан), или вообще есть какой-нибудь более простой и естественный способ, через ряды Фурье или что-нибудь в этом роде.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.05.2008, 03:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А что касается второго оператора, то вряд ли можно сочинить какой-то простой способ решения: тригонометрия в любом случае должна же хоть как-то вылезти. Вот ещё один вариант вычисления, тоже довольно занудный, но хотя бы сознательный.

Запишем исходный оператор как стандартный оператор Фредгольма: $(Ay)(x)=\int_0^1K(x,t)y(t)\,dt$. Ядро $K(x,t)$ -- это характеристическая функция треугольника $\{t<x\}$, т.е. половины всего квадрата. Из симметрии ядром сопряжённого оператора будет характеристическая функция другой половины: $(A^*y)(x)=\int_x^1y(t)\,dt$.
Операторы -- компактны, поэтому надо найти наибольшее сингулярное число, т.е. корень из наибольшего собственного числа оператора $A^*A$. Задача на собственные числа ($A^*Ay=\lambda y$) расшифровывается так:
$$\int_x^1dt\int_0^ty(s)\,ds=\lambda y(x),\qquad \text{откуда}\qquad-\int_0^xy(s)\,ds=\lambda y'(x)\qquad\text{и}\qquad-y(x)=\lambda y''(x)\qquad$$.
Добавляем граничные условия (следующие из этих же интегральных соотношений: $y(1)=0$, $y'(0)=0$, и получаем простенькую задачу Штурма-Лиувилля (правда, спектральный параметр с другой стороны, ну да какая разница). Решаем, если угодно, просто подбором:
$$y_k(x)=C_1\cos\left(\left(\pi k+{\pi\over2}\right)x\right),\ \ \lambda_k={1\over(\pi k+{\pi\over2})^2},\ \ k=0,1,2,\dots$$.
Теперь $$\Vert A\Vert=\sqrt{\lambda_{\rm max}}={2\over\pi}$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.05.2008, 03:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
ewert писал(а):
Вот ещё один вариант вычисления, тоже довольно занудный, но хотя бы сознательный.

Что касается занудности, то тут оба метода идентичны, поскольку приходится решать одно и то же интегральное уравнение. А про сознательность — это Вы в самую точку. Если в "моём" методе это уравнение вылезает из непонятно откуда взявшихся соображений, то в Вашем — из очень даже понятных и естественных. Вполне может быть, что именно это решение и подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 06:41 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Всем добрый вечер, наконец-то могу присоединиться.
ewert писал(а):
Норма в $L_2$ грубо оценивается сверху "нормой Гильберта-Шмидта" -- это когда интегрируется квадрат ядра по всем допустимым аргументам и потом берётся корень. .

Да, но я вот попробовал оценить через максимум функции, получилось вот что(по моему более точная оценка):
$||Ax||^2=(\int\limits_{0}^{1}x(t)dt)^2\int\limits_{0}^{1}t^2dt=\frac 1 3 |\int\limits_{0}^{1}x(t)dt|^2\leqslant\frac 1 3 M^2$. Аналогично $||x||^2\leqslant M^2$. Отсюда $||A||=\frac {\sqrt{3}} 3$.
Определение ограниченности у нас такое: $||Ax||\leqslant C||x||$. Точно не уверен, но наверное нужно придерживаться данной аксиоматики. Хотя к такому виду привести выражение у меня не получилось.
ewert писал(а):
С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один: если $(Ax)(t)=t\,\int_0^1x(s)\,ds$, то $A=x\,(\;\cdot\,1)$. Соответственно, $\Vert A\Vert=\Vert x\Vert\cdot\Vert1\Vert$ и достигается, разумеется, на константах.

ewert к сожалению мне не знакомы такие обозначения(второе и переход к тетьему), поэтому я не очень Вас понял, не могли бы Вы поподробнее обьяснить эти выводы? И еще во втором примере
ewert писал(а):
Операторы -- компактны, поэтому надо найти наибольшее сингулярное число, т.е. корень из наибольшего собственного числа оператора $A^*A$.

это какое-то неизвестное мне общее правило? Если можно дайте ссылку, где поподробнее написано.
RIP по моему автор той темы удалил картинку с заданием из интернета, но насколько я понял там пространство $C[a,b]$, а не $L_2[a,b]$. В данном случае это меняет что-то? Кстати решение интересное, эмпирическое такое, предъявлю преподавателю оба варианта :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 06:48 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Spook писал(а):
ewert писал(а):
С первым оператором ничего крутить не надо, это -- просто оператор ранга один: если $(Ax)(t)=t\,\int_0^1x(s)\,ds$, то $A=x\,(\;\cdot\,1)$. Соответственно, $\Vert A\Vert=\Vert x\Vert\cdot\Vert1\Vert$ и достигается, разумеется, на константах.

ewert к сожалению мне не знакомы такие обозначения(второе и переход к тетьему), поэтому я не очень Вас понял, не могли бы Вы поподробнее обьяснить эти выводы?
Можно я отвечу? $t\int_0^1f(x)\,dx$ пропорционально функции $t$. Интеграл -- константа. Оператор имеет одномерный образ. Видите? Всё, задача решена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 07:33 
Аватара пользователя


23/01/08
565
AD, тогда получается(для $x=const$) $||Ax||=C/12\leqslant||A||C$ отсюда не следует, что она равна 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 08:36 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Так, ну да, наверное, не единица. Кто-то поленился посчитать норму t в $L_2$. Но всё равно вот это и есть норма.

Тока у меня получилось $\|Ax\|=C/\sqrt{3}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 09:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
ewert писал(а):
Операторы -- компактны, поэтому надо найти наибольшее сингулярное число, т.е. корень из наибольшего собственного числа оператора $A^*A$.

это какое-то неизвестное мне общее правило? Если можно дайте ссылку, где поподробнее написано.
RIP по моему автор той темы удалил картинку с заданием из интернета, но насколько я понял там пространство $C[a,b]$, а не $L_2[a,b]$. В данном случае это меняет что-то?

Общее правило такое: если норма порождена скалярным произведением, то $\Vert A^*A\Vert$ -- это квадрат нормы исходного оператора. Переход к оператору $A^*A$ выгоден потому, что этот оператор самомопряжён и неотрицателен. Поэтому его норма -- это верхняя граница спектра. А если оператор к тому же ещё и компактен, то верхняя граница -- это максимальное собственное число.

Если пространство $C[a,b]$ вместо $L_2[a,b]$, то всё, конечно, меняется радикальным образом. Теперь норма интегрального оператора -- это просто-напросто максимум по первому аргументу интегралов по второму аргументу от модуля ядря.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Spook писал(а):
RIP по моему автор той темы удалил картинку с заданием из интернета, но насколько я понял там пространство $C[a,b]$, а не $L_2[a,b]$.

Там просто было 2 задания. Второе задание совпадало с нужным Вам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 10:00 
Аватара пользователя


23/01/08
565
RIP, да, я невнимательно прочитал.
AD, мы наверно оба неправильно посчитали, а ewert был прав, норма оператора
$(Ax)(t)=t\int\limits_{0}^{1}x(t)dt\leqslant t\sqrt{\int\limits_{0}^{1}x(t)^2dt} \sqrt{\int\limits_{0}^{1}1^2dt}=t||x||\leqslant||x||$ и равна 1(равенство достигается на константах).
ewert а норма второго оператора в пространстве $C[0,1]$ равна как я понял 1(достигается опять же на константах)? спасибо за разъяснение по второму оператору, стало ясно. Единственное, что я не понял, так это где используется то, что пространство у нас $L_2$? Просто хочу таким же методом найти норму другого оператора и не могу(( Кстати вот этот оператор:
$$A_3f(x)=\frac 1 x\int\limits_{0}^{x}f(t)dt$$ и действует он в $L_p(0,\infty)$. Смущает то, что действует он уже в $L_p$, непонятно какой тут будет самосопряженный оператор и ко всему прочему из-зи предела $0$ неравенство Гёльдера не дает здесь даже ограниченности:
$$A_3f(x)\leqslant \frac 1 x\sqrt[p]{\int\limits_{0}^{x}f(t)^pdt}\sqrt[q]{\int\limits_{0}^{x}1^qdt}=x^{-\frac 1 p}||f||$$
Что тут еще можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 11:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Тут очень хорошо работает "мой" метод. А именно: записываем
$A_3f(x)=\frac1x\int_0^xt^{\frac{p-1}{p^2}}f(t)\cdot t^{-\frac{p-1}{p^2}}dt$,
далее юзаем неравенство Гёльдера и после несложных вычислений получаем, что при любом $T>0$ справедливо
$\int_0^T|A_3f(x)|^pdx\leqslant\left(\frac p{p-1}\right)^p\int_0^T|f(t)|^pdt$
(на самом деле там получается более точное неравенство). Отсюда следует, что $\|A_3\|\leqslant\frac p{p-1}=q$. На самом деле имеет место равенство, в чём несложно убедиться (причём для любого пространства вида $L^p(0;T)$, $T\in(0;+\infty]$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group