Невероятная вероятность

[vicvolf]

Lia: Оффтоп отделен от темы «Гипотеза Римана».

Aether в сообщении #1222596 писал(а):

Джон Дербишир писал(а):

Выпишем все натуральные числа, начиная с 2. Под каждым числом запишем его простые делители. Затем, игнорируя всякое число, среди делителей которого есть квадрат (или любая более высокая степень, которая по необходимости содержит в себе и квадрат), будем двигаться вдоль чисел, отмечая как «орел» каждое число с четным числом простых делителей и как «решку» — с нечетным. Получаем бесконечную строку из орлов и решек — нечто вроде того, что возникает в опыте по подбрасыванию монеты:
Далее, из классической теории вероятностей хорошо известно, чего ожидать от подбрасывания монеты большое число раз N...

Мне не нравится формулировка. В ней отсутствует элемент случайности. Когда мы подбрасываем монету, то не известно упадет она орлом или решкой - здесь есть случайность. Когда же мы двигаемся вдоль ряда натуральных чисел, то мы заранее знаем какое число будет следующим и соответственно сколько у него будет простых делителей (с вероятностью 1).
Здесь надо случайно выбирать натуральное число, потом удалять его из натурального ряда и делать таких N попыток. Так как натуральных чисел бесконечно много, то вероятность при следующем испытании выбрать натуральное число с четными или нечетным числом простых делителей не изменится. Тогда уже можно использовать классическую теорию вероятности и биномиальное распределение.
Теперь о функции Мертенса - $M(K)=\sum_{i=1}^k {\mu(i)}$, где $\mu(i)$ -функция Мебиуса. По определению $\mu(i)=1$, если $i$ - имеет четное число делителей. Определим математическое ожидание количества таких чисел, если выбрать наудачу $N$ натуральных чисел без квадратов. Математическое ожидание количества таких чисел на основании биномиального распределения - $M_N=N \cdot p=N/2$, так как $p=1/2$ по предположению гипотезы. Среднеквадратичное отклонение количества таких чисел на основании биномиального распределения - $\sigma_N=\sqrt {Np(1-p)}=\frac {N^{1/2}} {2}$. Аналогичные показатели имеет функция Мертенса при суммировании выбранных натуральных чисел, имеющих четное число простых делителей, свободных от квадратов. Таким образом, полная аналогия количества выпадений "орлов" при подбрасывания монеты.
Аналогичные данные мы получим, если будем определять характеристики второй случайной величины количества натуральных чисел имеющих нечетное число делителей - $M_N=N/2$, $\sigma_N=\frac {N^{1/2}} {2}$.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1223368 писал(а):

Здесь надо случайно выбирать натуральное число, потом удалять его из натурального ряда и делать таких N попыток. Так как натуральных чисел бесконечно много, то вероятность при следующем испытании выбрать натуральное число с четными или нечетным числом простых делителей не изменится. Тогда уже можно использовать классическую теорию вероятности и биномиальное распределение.

Извините, но с точки зрения теории вероятностей это ерунда. На множестве натуральных чисел невозможно задать такое распределение вероятностей, чтобы после удаления одного числа вероятности не менялись.

И мне помнится, Вам об этом когда-то говорили.

[vicvolf]

Поясню. Разговор шел о выборках на большом, но конечном интервале. На конечном интервале существуют классические выборки без возврата, в которых вероятность меняется, а классическая схема с возвратом, при которой вероятность не меняется. Однако при стремлении интервала к бесконечности обе схемы стремятся к одному предельному распределению.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1223393 писал(а):

Однако при стремлении интервала к бесконечности обе схемы стремятся к одному предельному распределению.

Распределению на каком вероятностном пространстве?

[vicvolf]

Someone в сообщении #1223380 писал(а):

На множестве натуральных чисел невозможно задать такое распределение вероятностей, чтобы после удаления одного числа вероятности не менялись.

Изменю формулировку: после выборки натурального числа оно возвращается обратно в натуральный ряд, поэтому вероятность повторной выборки не меняется и имеем обычное биномиальное распределение.

vicvolf в сообщении #1223368 писал(а):

Теперь о функции Мертенса - $M(K)=\sum_{i=1}^k {\mu(i)}$, где $\mu(i)$ -функция Мебиуса. По определению $\mu(i)=1$, если $i$ - имеет четное число простых делителей. Определим математическое ожидание количества таких чисел, если выбрать наудачу $N$ натуральных чисел без квадратов. Математическое ожидание количества таких чисел на основании биномиального распределения - $M_N=N \cdot p=N/2$, так как $p=1/2$ по предположению гипотезы. Среднеквадратичное отклонение количества таких чисел на основании биномиального распределения - $\sigma_N=\sqrt {Np(1-p)}=\frac {N^{1/2}} {2}$. Аналогичные показатели имеет функция Мертенса при суммировании выбранных натуральных чисел, имеющих четное число простых делителей, свободных от квадратов. Таким образом, полная аналогия количества выпадений "орлов" при подбрасывания монеты.
Аналогичные данные мы получим, если будем определять характеристики второй случайной величины количества натуральных чисел имеющих нечетное число простых делителей - $M_N=N/2$, $\sigma_N=\frac {N^{1/2}} {2}$.

А вот дальше получается какое-то несоответствие книге Дербишира. Теорема 15.1 на стр. 304 в обозначениях для примера - $M(N)=O(N^{1/2})$.
По определению $\mu(i)=-1$, если $i$ - имеет нечетное число простых делителей. Поэтому математическое ожидание значения функции Мертенса, полученной при суммировании функций Мебиуса по таким выбранным числам, равно $-N/2$. Дисперсия значений функции Мертенса, полученной при суммировании функций Мебиуса по таким выбранным числам (на основании биномиального распределения) равна $N/4$ и совпадает со значением дисперсии для первой случайной величины. Так как первая и вторая случайные величины независимы, то математическое ожидание функции Мертенса, полученной при суммировании выбранных натуральных чисел, имеющих четное и нечетное число простых делителей без квадратов и 1 равно $M(N)=N/2-N/2=0$. Дисперсия функции Мертенса, полученной при суммировании выбранных натуральных чисел, имеющих четное и нечетное число простых делителей без квадратов и 1 равна сумме дисперсий независимых случайных величин $N/4+N/4=N/2$. Поэтому среднеквадратичное отклонение функции Мертенса, полученной при суммировании выбранных натуральных чисел, имеющих четное и нечетное число простых делителей без квадратов и 1 равно $\sqrt {N/2}=O(N^{1/2})$. Сравните с Теоремой 15.1. Думаю, что там описка. Указана величина для отклонения, что действительно соответствует гипотезе Римана.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1223685 писал(а):

Изменю формулировку: после выборки натурального числа оно возвращается обратно в натуральный ряд, поэтому вероятность повторной выборки не меняется и имеем обычное биномиальное распределение.

Я не вижу вообще никакого естественного распределения вероятностей на натуральном ряде, которое можно было бы интерпретировать как "вероятность выбора данного натурального числа". Хоть с возвращением, хоть без возвращения.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1223760 писал(а):

Я не вижу вообще никакого естественного распределения вероятностей на натуральном ряде, которое можно было бы интерпретировать как "вероятность выбора данного натурального числа". Хоть с возвращением, хоть без возвращения.

Выбирается не данное натуральное число, а выбирается случайное (или наудачу выбранное) натуральное число. А потом проверяется сколько простых делителей оно имеет. Термин наудачу выбранное я использую в смысле приведенного ниже сообщения.

Евгений Машеров в сообщении #1222880 писал(а):

... можно ожидать, что наудачу выбранное число имеет равную вероятность для чётного и нечётного числа делителей.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1223793 писал(а):

Выбирается не данное натуральное число, а выбирается случайное (или наудачу выбранное) натуральное число.

Каким образом оно выбирается? Какое получается распределение вероятностей?

Кстати, я не говорил, что "выбирается данное натуральное число". Я говорил о вероятности выбора данного натурального числа. Например, с какой вероятностью Вы выберете число $10$? Точно так же при бросании игральной кости можно спросить, с какой вероятностью выпадет $6$ очков.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1223760 писал(а):

Я не вижу вообще никакого естественного распределения вероятностей на натуральном ряде, которое можно было бы интерпретировать как "вероятность выбора данного натурального числа". Хоть с возвращением, хоть без возвращения.

А как еще выбирать числа из натурального ряда. Допустим я провожу три последовательных независимых испытания с возвратом и мне нужно определить вероятность выбора двух четных натуральных чисел и одного нечетного. Это биномиальное распределение. Разве это неестественное распределение?

[Someone]

vicvolf в сообщении #1224395 писал(а):

Разве это неестественное распределение?

А какое у Вас вероятностное пространство? Что является элементарным исходом? Каковы вероятности этих исходов?

[vicvolf]

Someone в сообщении #1224427 писал(а):

А какое у Вас вероятностное пространство? Что является элементарным исходом? Каковы вероятности этих исходов?

Обозначим нечетное натуральное число - н, а четное - ч.
Множество элементарных событий (исходов): (ннн),(ннч),(нчн),(нчч),(чнн),(чнч),(ччн),(ччч).
Сигма алгебра - подмножества множества элементарных событий (исходов).
Вероятности исходов равны $P=1/8$.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1224478 писал(а):

Множество элементарных событий (исходов): (ннн),(ннч),(нчн),(нчч),(чнн),(чнч),(ччн),(ччч).

Какое это имеет отношение к выбору чисел из натурального ряда?

vicvolf в сообщении #1224478 писал(а):

Вероятности исходов равны $P=1/8$.

Откуда такие вероятности?

[Dan B-Yallay]

Someone в сообщении #1224503 писал(а):

Откуда такие вероятности?

Сдаётся мне, он профакторизовал натуральные числа на чет-нечет.... и получил двухэлементное пространтво событий.

[vicvolf]

Dan B-Yallay в сообщении #1224510 писал(а):

Someone в сообщении #1224503 писал(а):

Откуда такие вероятности?

Сдаётся мне, он профакторизовал натуральные числа на чет-нечет.... и получил двухэлементное пространтво событий.

Ну правильно. Вероятность выбрать наудачу четное (или нечетное) число из натурального ряда равна $1/2$. Тогда при трех независимых испытаниях с возвратом вероятность события $A$ - выбора двух четных чисел и одного нечетного равна: $P(A)=C^2_3(1/2)^2 (1/2)^1=3/8$.

Someone в сообщении #1223823 писал(а):

Я говорил о вероятности выбора данного натурального числа. Например, с какой вероятностью Вы выберете число $10$?

Вероятность выбора числа $10$ наудачу из натурального ряда, как и любого другого конкретного натурального числа, равна $0$. Но о таком выборе наудачу конкретного числа из натурального ряда я в этой теме не говорил (он тривиален), поэтому я не понял к чему этот разговор. Давайте на этом его закончим.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1224548 писал(а):

Вероятность выбора числа $10$ наудачу из натурального ряда, как и любого другого конкретного натурального числа, равна $0$. Но о таком выборе наудачу конкретного числа из натурального ряда я в этой теме не говорил (он тривиален), поэтому я не понял к чему этот разговор.

О каком "таком"? Вы выбираете число из натурального ряда или не выбираете? Вот здесь

vicvolf в сообщении #1224548 писал(а):

выбрать наудачу … число из натурального ряда

у Вас какой выбор числа из натурального ряда? "Такой" или не "такой"?

vicvolf в сообщении #1224548 писал(а):

Вероятность выбора числа $10$ наудачу из натурального ряда, как и любого другого конкретного натурального числа, равна $0$. Но о таком выборе наудачу конкретного числа из натурального ряда я в этой теме не говорил (он тривиален)

Тривиален?!! Да меня от этого в дрожь бросает, какая уж тут тривиальность! Вы давно в учебник теории вероятностей заглядывали? У Вас счётное множество элементарных исходов, и все они имеют нулевые вероятности. Вы считаете, что тут ничего особенного нет, только одни тривиальности? Вы знаете, чему должна быть равна сумма вероятностей всех элементарных исходов?