Черная дыра: в ней нет материи, но как быть с зарядом?

[realeugene]

svv в сообщении #1220803 писал(а):

Оно не означает, что величина $J ^\mu$ является тензорной плотностью (т.е. тензором веса 1), в закон преобразования которой входит якобиан. Такой величиной будет $J ^\mu\sqrt{|g|}$ .

Позвольте вам не поверить. Проверка.
Пусть, у нас есть неподвижный заряд как источник поля для уравнений Максвелла. Плотность заряда равна одному кулону на кубометр. Именно такая плотность заряда пропорциональна дивергенции напряженности поля, и она сидит в нулевом элементе вектора четырехтока, при этом, неединичная скорость света закопана в метрике.
Теперь изменим единицу измерения длины с метров на сантиметры. Плотность заряда изменяется с одного кулона на кубометр до одной миллионной кулона на кубосантиметр. Но нулевой компонент контравариантных векторов при изменении пространственных масштабов не изменяется. Неувязочка.

-- 01.06.2017, 11:22 --

Erleker в сообщении #1220809 писал(а):

Но на самом деле она уже прошла горизонт.

И опять это "на самом деле"...

[arseniiv]

Вот я не буду говорить, что что-то не так, ибо не разбираюсь совершенно, но тоже точно не понимаю, почему эта величина не будет тензорной плотностью. Чем она, например, отлична от плотности массы (она ведь точно должна быть тензорной плотностью, пусть и скаляр)? (Или плотность массы тоже не т. п.?)

[realeugene]

Munin в сообщении #1220805 писал(а):

Хотелось бы более существенных причин.

Например, потому что для прехода от кулонов в секунду к кулонам в час нужно величину тока умножить на 3600, а не поделить.

Впрочем, нет, тут опять влазит форма объёма.

Нужно посмотреть на преобразование четырехтока при преобразованиях Лоренца.

-- 01.06.2017, 11:42 --

Munin в сообщении #1220805 писал(а):

Кроме той, которая упала в чёрную дыру раньше, включая стадию коллапса.

Что упало - то пропало. Вот тут, на стади коллапса, я совершенно точно выхожу за границы своего понимания. Стационарного Шварцшильда, в которого падает что-то достаточно малое, чтобы существенно на него не повлиять и упасть в него за бесконечное время снаружи, я ещё представить могу. Про "стадию коллапса" пока что ещё не читал. Поэтому, мне и захотелось обойти горизонт, натянув на него презерватив.

[Erleker]

realeugene в сообщении #1220840 писал(а):

И опять это "на самом деле"...

А что вы хотите?Я хотел просто сказать, что нельзя внешнюю карту использовать для описании внутренности.Это некорректно.Надо брать карту внутри.
Если вы говорите "сейчас по Шварцшильду" для упавшей за горизонт материи, то во-первых вы уже о говорите о $r$, а во-вторых, $t$, хоть и разрывна, новое "начало" можно и для нее определить.Для материи остаются в силе законы сохранения через ее $cdt/dr$ и "расстояния" между частицами по этим координатам тоже можно вычислить.
А лучше, конечно, использовать неразрывную СК.
-- 01 июн 2017 13:26 --

realeugene в сообщении #1220850 писал(а):

Про "стадию коллапса" пока что ещё не читал.

Есть решение Толмена, например.В ЛЛ-2 тоже описывается.Коллапс пылевидной сферы называется, вроде.
Там вывод решения простой к пониманию, но с ошибкой (я создавал тему по этому поводу).

realeugene в сообщении #1220850 писал(а):

Поэтому, мне и захотелось обойти горизонт, натянув на него презерватив.

Но интегрирование по такой гиперповерхности, как я говорил, ничего принципиального не вносит.

[schekn]

svv
Может мой вопрос дилетантский, но доказывается ли теорема Гаусса для пространств со сложной топологией, когда необходимо введение скажем двух карт?
И еще заодно, вроде вы разбираетесь в этом, у меня старая зубная боль: в каком учебнике доказывается теорема Остроградского-Гаусса для римановых пространств? Для евклидового есть скажем у Рашевского.

[Erleker]

schekn в сообщении #1220908 писал(а):

в каком учебнике доказывается теорема Остроградского-Гаусса для римановых пространств? Для евклидового есть скажем у Рашевского.

А где вообще при выводе должна фигурировать метрика?Она же изначально просто для функций от координат.А потом уже можно вводить интегрирование по "физическому"/"скалярному" объему или площади.

[Munin]

svv в сообщении #1220821 писал(а):

4-вектор плотности тока в точке равен произведению инвариантной плотности заряда (т.е. плотности в системе покоя) на 4-вектор скорости:
$J^\mu=\rho_0 u^\mu$

Охоспади. Нет, это не определение.

svv в сообщении #1220821 писал(а):

Cсылок сейчас не дам. Дописать $\sqrt{|g|}$ не забыл, внутри $J$ этот множитель не подразумевается.

Подразумевается. Когда вы переходите к "системе покоя".

[svv]

realeugene в сообщении #1220840 писал(а):

Пусть, у нас есть неподвижный заряд как источник поля для уравнений Максвелла. Плотность заряда равна одному кулону на кубометр. Именно такая плотность заряда пропорциональна дивергенции напряженности поля, и она сидит в нулевом элементе вектора четырехтока, при этом, неединичная скорость света закопана в метрике.
Теперь изменим единицу измерения длины с метров на сантиметры. Плотность заряда изменяется с одного кулона на кубометр до одной миллионной кулона на кубосантиметр. Но нулевой компонент контравариантных векторов при изменении пространственных масштабов не изменяется. Неувязочка.

Неувязка разрешается тем, что в уравнениях Максвелла сидит всё-таки не эта плотность, а другая, инвариантная.

В ОТО наше уравнение имеет вид $\nabla_\nu F^{\mu\nu}=k j^\mu$ (где $k$ — константа, зависящая от). В левой части — ковариантная дивергенция тензора, то есть вектор, то есть тензор ранга 1 и веса 0. Значит, и вес правой части 0. (Собственно, на этом можно закончить.)

Так как мы пошли дальше и заинтересовались плотностью, извлечём плотность. Свернём обе части с $u_\mu$. Слева будет $u_\mu \nabla_\nu F^{\mu\nu}$. Это скаляр. Значит, скаляр и правая часть
$k j^\mu u_\mu=k\rho u^\mu u_\mu=k\rho$

В Вашем примере плотность использовалась в смысле «количество заряда, содержащееся в координатном параллелепипеде» (в котором вдоль рёбер координаты меняются на 1). Эта величина имеет право на существование, но для ковариантной формы уравнений тем и неудобна, что зависит от системы координат. С другой стороны, её значение в любой системе выражается через инвариант — плотность в системе покоя. Он и используется.

Раньше в СТО использовалось понятие массы, зависящей от скорости. Но и тогда была необходимость в инвариантной характеристике частицы — массе покоя. Энергия свободной частицы зависит от скорости, но в какие-то уравнения входит именно энергия покоя. Использование плотности массы в сопутствующей системе координат не противоречит тому, что вообще плотность от СК таки зависит. И т.д.

[Munin]

realeugene в сообщении #1220850 писал(а):

Что упало - то пропало.

realeugene в сообщении #1220840 писал(а):

И опять это "на самом деле"...

Взаимно-противоречивые параграфы. Вы уж определитесь, или вы туда, или вы сюда.

realeugene в сообщении #1220850 писал(а):

Про "стадию коллапса" пока что ещё не читал.

Окей, читайте. Вайнберг, МТУ, Хокинг-Эллис, Пенроуз.

schekn в сообщении #1220908 писал(а):

Может мой вопрос дилетантский, но доказывается ли теорема Гаусса для пространств со сложной топологией, когда необходимо введение скажем двух карт?

Да. Надо учитывать топологию, а именно группу когомологий соответствующей размерности.

schekn в сообщении #1220908 писал(а):

И еще заодно, вроде вы разбираетесь в этом, у меня старая зубная боль: в каком учебнике доказывается теорема Остроградского-Гаусса для римановых пространств? Для евклидового есть скажем у Рашевского.

В любом учебнике по римановой геометрии, где упоминается теорема Стокса. Остроградский-Гаусс - это частный случай Стокса.

[arseniiv]

svv
Позадаю глупые вопросы. А в константу, зависящую от, не может входить $\sqrt{|g|}$?

[svv]

Эта константа зависит от используемой системы единиц и от определения тензора электромагнитного поля. У Ландау это $-\frac{4\pi}{c}$, в МТУ это $+4\pi$ и так далее.

Если включить в правую часть $\sqrt{|g|}$ явно (как дополнительный множитель) или неявно (введя её в определение плотности тока), трансформационные свойства правой части будут отличаться от оных в левой.

Впрочем, можно сделать так. В левой части стоит дивергенция антисимметричного тензора второго ранга. Известно, что для такого тензора
$\nabla_\nu F^{\mu\nu}=\frac 1{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{|g|}F^{\mu\nu}\right)$,
поэтому
$\frac 1{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{|g|}F^{\mu\nu}\right)=k j^\mu$
Наличие $\sqrt{|g|}$ в знаменателе хоть как-то мотивирует домножение на этот множитель обеих частей, без чего это была бы искусственная операция:
$\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{|g|}F^{\mu\nu}\right)=kj^\mu\sqrt{|g|}$
Но теперь левая часть — не дивергенция. Назовите левую часть дивергенцией, правую плотностью тока и получите формулировку в терминах тензорных плотностей.

[realeugene]

svv в сообщении #1221257 писал(а):

С другой стороны, её значение в любой системе выражается через инвариант — плотность в системе покоя.

Для покоящегося относительно пространственных координат заряда это не то же самое, что и количество заряда в единичном координатном параллелепипеде, в котором этот заряд покоится?

[Erleker]

То же самое.

[realeugene]

Тогда я не понимаю следующий абзац:

svv в сообщении #1221257 писал(а):

В Вашем примере плотность использовалась в смысле «количество заряда, содержащееся в координатном параллелепипеде» (в котором вдоль рёбер координаты меняются на 1). Эта величина имеет право на существование, но для ковариантной формы уравнений тем и неудобна, что зависит от системы координат. С другой стороны, её значение в любой системе выражается через инвариант — плотность в системе покоя. Он и используется.

Я рассматривал именно покоящийся заряд.

[svv]

Надо ещё, чтобы 4-объём параллелепипеда, построенный на трех пространственных базисных векторах и 4-скорости заряда, был единичным.

Вообще, инвариантная формулировка. Берём три пространственноподобных вектора $a, b, c$. Через образованный ими 3-параллелепипед проходит заряд $Q$. Пусть вектор 4-скорости заряда $u$. Строим на векторах $u,a,b,c$ 4-параллелепипед, находим его 4-объём $\Omega$. Инвариантная плотность равна $Q/\Omega$.

Нравится?

P.S. Форма объёма задана и не зависит от координат (как закон, превращающий 4 вектора в число).