Что такое дельта функция?

[realeugene]

Romashka97 в сообщении #1214724 писал(а):

По определению, как элемент $\mathscr{E}' $ дельта определена только на бесконечно гладких функциях, однако существует единственное расширение на непрерывные.

Кстати, а зачем это, вообще, может быть нужно? Разве, пробные функции в физике используются для чего-либо кроме определения обобщённых?

-- 11.05.2017, 16:43 --

Romashka97 в сообщении #1213124 писал(а):

мне преподаватель начал объяснять сначала за обобщенную функцию, а потом написал уравнение:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)\cdot\delta(x)=\varphi(0)$$

я так понял это ее определение?

Это "уравнение" - лишь некоторая неформальная запись с историческими корнями. Например, потому что дельта-функция заведомо не интегрируема по Риману. Поэтому, этот интеграл - это совсем не интеграл. Но его, действительно, обычно неформально понимают как интеграл произведения дельта-функции на основную, обозначаемую буквой $\varphi$. С другой стороны, две обобщённые функции можно перемножать (но не всегда), и обобщённые функции можно интегрировать-дифференцировать, и, даже, записывать с ними интегрально-дифференциальные уравнения, полезные для матфизики, и производить всякие нужные интегральные преобразования, такие, как преобразование Фурье. Которые непротиворечиво определены вовсе не как пределы сумм, а через соответствующие им операции в простанстве основных функций, которые берутся бесконечно дифференцируемыми и обладающими иными полезными свойствами, чтобы производные любых обобщённых функций существовали всегда, а ещё лучше, чтобы и преобразование Фурье существовало для любых используемых обобщённых функций.

Но, если рассматривать написаное вами интегральное выражение как интеграл произведения двух обобщённых функций, то первообразная обобщённой функции, вообще говоря, должна быть сама обобщённой функцией

$$\int\limits^x f(\xi) \delta(\xi)\,d\xi=f(0)h(x)+C$$

где $f(x)$ - регулярная в нуле функция. И чего с этим можно делать дальше в сторону определённого интеграла, чтобы получить аналогию с определёнными интегралами обычных функций, я, откровенно говоря, уже не очень помню. Может быть, кто-нибудь подскажет корректное продолжение.

В общем, с обобщёнными функциями часто можно интуитивно работать как с обычными функциями с особыми свойствами. Но не забывая про эти особые свойства и про то, что в глубинах этой теории сидит более продвинутая строгая математика, скрытая поначалу от студента.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1215737 писал(а):

Разве, пробные функции в физике используются для чего-либо кроме определения обобщённых?

А что такое "пробные функции"? Это те, которые пробуют. А вот для чего пробуют, тут возможны варианты. Например, нужно оценить нижнее собственное значение оператора (основной уровень энергии). Оценка сверху достигается через подстановку пробных функций (test functions) в соответствующую квадратичную форму. По крайней мере, в математической физике.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1215732 писал(а):

Кстати, в русском я бы иногда выделял тире пробелами, а иногда нет:
Эффект Коттона—Мутона — явление возникновения...

Кстати, в русской типографике есть довольно жёсткие насчёт этого правила (которых сам я не знаю, но меня редакторши дрессировали). Конкретно здесь: тире должно быть средним, а пробелы вокруг него -- тонкими, но быть должны. Насколько я помню.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1215756 писал(а):

А что такое "пробные функции"? Это те, которые пробуют. А вот для чего пробуют, тут возможны варианты.

А точной нижней грани значения функционала на подходящем подмножестве из быстроубывающих функций недостаточно, чтобы получить однозначный ответ при любых разумных вариантах? Всё-таки как-то странно выглядит решать задачу в одном пространстве обобщённых функций, а потом кормить решению основные функции из другого пространства.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1215795 писал(а):

А точной нижней грани значения функционала на подходящем подмножестве из быстроубывающих функций недостаточно,

Вам дан сложный функционал и хочется более или менее подсчитать его нижнюю грань. Например многочастичный фермионный Шрёдингер. Оказывается, что его нижняя грань достаточно точно описывается через одночастичный Шрёдингер с потенциалом Томаса-Ферми. Как получить нижнюю оценку особ статья, а как получить верхнюю==подставить очень специальные многочастичные функции в виде слейтеровских детерминантов.

"А точной нижней грани значения функционала на подходящем подмножестве из быстроубывающих функций недостаточно"--а вы его попробуйте найдите. Разумеется, "пробные функции" в данном примере отнюдь не те "пробные функции" о которых идет речь в теории обобщенных функций; они и пространства-то не образуют.

[arseniiv]

(Тире, редакторы, типографика и вкусы отдельных людей)

ewert в сообщении #1215781 писал(а):

Конкретно здесь: тире должно быть средним, а пробелы вокруг него -- тонкими, но быть должны. Насколько я помню.

Тонкими, кстати, вокруг любого русскоязычного тире, если я тоже помню. Получается что-то типа

Теорема Ньютона – Лейбница — теорема важная
Теорема Ньютона ‒ Лейбница — теорема важная

(почему-то в шрифте форума en dash какое-то уж совсем коротенькое — но там оно, а не дефис) и при этом левые пробелы у тире должны быть ещё и неразрывными, чтобы оно при переносе не становилось первым символом строки (насчёт неразрывности вообще довольно много правил, и вряд ли эффективно проставлять неразрывные пробелы вручную, а не с помощью какого-то преобразователя текста). Но мне всё же тоже милее одинаковые тире, одно из которых ведёт себя как дефис (тонкость пробелов не оспариваю: оно и так длинное, чтобы ставить вокруг обычные):

Теорема Ньютона—​Лейбница — теорема важная