Что такое дельта функция?

[Munin]

Romashka97 в сообщении #1214690 писал(а):

ewert в сообщении #1214682 писал(а):

epros в сообщении #1214678 писал(а):

Было бы полезно задуматься, как "на уровне обобщённых функций как функционалов" доказать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx = \frac{1}{2}$.

Никак.

Почему?

Потому что это неверно. А неверные утверждения вообще не стоит пытаться доказывать.

[ewert]

epros в сообщении #1214749 писал(а):

Да, я конечно должен уточнить, что можно извратиться взять такую $f(x)$, что $\lim\limits_{n \to \infty} I_n$ не будет существовать

Проблема не в этом. А в том, что тут речь о пределе вовсе не числовой последовательности, а последовательности функционалов. И этот предел нужно определять. Предварительно определив общую область определения этих функционалов. И, в частности, для конкретно дельта-функции

epros в сообщении #1214749 писал(а):

В качестве аргумента функционала можно брать любую функцию $f(x)$, для которой соблюдается условие интегрируемости (например, по Лебегу)

-- так ведь вот нельзя. Поскольку такие функции в отдельных точках не определены.

[epros]

ewert в сообщении #1214839 писал(а):

тут речь о пределе вовсе не числовой последовательности, а последовательности функционалов.

Функционал от заданного аргумента - это число.

ewert в сообщении #1214839 писал(а):

Предварительно определив общую область определения этих функционалов.

Зачем же "предварительно"? Для какого аргумента есть последовательность $I_n$ и есть её предел, тот и входит в область определения. Остальные, соответственно, не входят.

ewert в сообщении #1214839 писал(а):

так ведь вот нельзя. Поскольку такие функции в отдельных точках не определены.

А в чём проблема? Были бы интегралы $I_n$. Значения $f(x)$ в отдельных точках вообще несущественны. Например, значение функции Хевисайда в нуле совершенно ни на что не повлияет.

[ewert]

epros в сообщении #1214876 писал(а):

Значения $f(x)$ в отдельных точках вообще несущественны.

Когда не существенны, а когда и принципиальны. Вот конкретно для дельта-функции (о которой, напомню, тут именно и речь) ровно последнее. Поскольку она именно этими значениями и интересуется.

[epros]

ewert в сообщении #1214885 писал(а):

Вот конкретно для дельта-функции (о которой, напомню, тут именно и речь) ровно последнее. Поскольку она именно этими значениями и интересуется

Ну, та дельта-функция, напомню, с разрывными функциями вообще не дружит. А для этой дельта-функции, которая расширяет определение той, важно не значение $f(x)$ в нуле, а среднее арифметическое между левым и правым пределами. Впрочем, для непрерывных функций это всё совпадает.

[realeugene]

Помнится, у А. Зильбермана в одной из его видеолекций на Элементах был отличный пример из математики школьного уровня, как неаккуратное обращение с пределами может приводить к фантастически ошибочным выводам. Он там за пару шагов с одним предельным переходом доказывал, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна сумме длин его катетов.

[ewert]

epros в сообщении #1214899 писал(а):

А для этой дельта-функции, которая расширяет определение той, важно не значение $f(x)$ в нуле, а среднее арифметическое между левым и правым пределами.

Которое от бодуна. Совершенно верно.

[Red_Herring]

 Мне кажется, что в данной теме, и с данным ТС, никакие рассуждения о расширении (которые, каюсь, я начал) неуместны. Ему бы выучить стандартное определение (но он, кажется, не учит, и ответов не читает, а задает всё новые и новые вопросы).

[Romashka97]

Red_Herring в сообщении #1215528 писал(а):

Ему бы выучить стандартное определение (но он, кажется, не учит, и ответов не читает, а задает всё новые и новые вопросы).

Спасибо за ответы,я почитываю,но сейчас пока что делаю свои уроки:нужно изучить Брэгговские отражатели(к ним написать математическое объяснение(это вроде бы называется методом матриц переноса):для отражения и поглащения(это для просветляющей оптики я так понял) на примере трехпериодной решетки),и еще сдать физику:электричество(я так понял там главное-уравнения Максвелла).А так я на каникулах буду здесь все перечитывать,т.к. хочу сдать в будущем теорминимум по физике(и для этго я думаю пригодятся советы по дельта-функции,но конечно же я начну на каникулах с начала анализа(мне так сказали теоретики с ФТИ,которые согласились мне помочь(они еще сказали прорешать всего Демидовича,но я пока считаю,что это НЕРЕАЛЬНО! ))).

[Odysseus]

Romashka97, вам помогут не советы по дельта-функции и уж тем более не "прорешать всего Демидовича", а нормальное и полноценное обучение математике: алгебре, анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям и многому другому. Здесь на форуме много тем про это, почитайте их. А еще подойдите к вашим преподавателям и посоветуйтесь с ними о программе на лето. Но только не к циничным теоретикам, к ним вам еще рано, они отпускают нехорошие шутки про Демидовича. В любом случае, не начинайте с вопросов про изолированные понятия типа дельта функции, они вам аж никак не помогут сами по себе. Боюсь, что у вас еще нет необходимых знаний и контекста, чтобы их понять.

(Оффтоп)

И еще... Вы не обижайтесь, но я бы вам рекомендовал более грамотно и аккуратно писать. Есть такое старое выражение "аккуратно пишешь - аккуратно думаешь" (верное в обе стороны), не пренебрегайте этим. Начните хотя бы с элементарного:
1) Не ставьте пробелы перед запятыми, точками и двоеточиями. Ставьте пробелы после запятых, точек и двоеточий, перед и после тире, перед открывающейся скобкой, после закрывающейся скобки (если после скобки не стоит точка).
2) Не делайте грубых орфографических и стилистических ошибок типа "поглащения" и "объяснять за обобщенную функцию". Хотя бы обращайте внимание на то, что браузер подчеркивает слова с ошибками когда вы их пишите.
3) Начинайте предложения с большой буквы. В каком-нибудь скайпе можно писать и с маленькой, я сам так всегда делаю, но посты это другое дело.
4) Старайтесь писать так, чтобы ваш текст был более связным и структурированным.

Знаете зачем все это нужно? Это элементарная вежливость, чтобы другие люди не тратили свое время пытаясь разобраться в ваших текстах. Любые ошибки, непонятные знаки препинания, несвязный текст заставляют читателя запнуться на этом месте и потерять какое-то время. Кроме того, грамотность это худо-бедно показатель интеллекта как минимум в двух смыслах: 1) человек достаточно много читает (тогда ошибки делаются гораздо реже, поскольку слова с ошибками выглядят "неестественно" и "непривычно") и 2) у него есть минимальная наблюдательность и память (он обращает внимание и запоминает как нужно писать грамотно).

[DimaM]

Odysseus

(Оффтоп)

Odysseus в сообщении #1215589 писал(а):

браузер подчеркивает слова с ошибками когда вы их пишите

Все-таки "пишЕте". Дальше еще пропущено одно тире и несколько запятых.

[Odysseus]

DimaM

(Оффтоп)

Вы правы :) У меня с "пишите-пишете" часто проблемы: интуиция почему-то не срабатывает, а визуально ничего не напрягает. Наличие-отсутствие тире и запятых я не критиковал, их сложно всегда писать правильно и они меньше напрягают, там часто авторские выделения по смыслу.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Odysseus в сообщении #1215675 писал(а):

Наличие-отсутствие тире и запятых я не критиковал, их сложно всегда писать правильно и они меньше напрягают, там часто авторские выделения по смыслу.

Поддерживаю. Я, например, иногда умышленно пропускаю тире и запятые - чтобы сделать нужный акцент или просто для того чтобы текст не выглядел слишком академично.
А вот ошибка в слове "пишете" выглядит неэстетично.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Кстати, в английском грамма-наци устраивают дискуссии: следует ли выделять тире пробелами.

[svv]

(Оффтоп)

Кстати, в русском я бы иногда выделял тире пробелами, а иногда нет:
Эффект Коттона—Мутона — явление возникновения...