Что такое дельта функция?

[Romashka97]

мне преподаватель начал объяснять сначала за обобщенную функцию, а потом написал уравнение:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)\cdot\delta(x)=\varphi(0)$ $$

я так понял это ее определение?

[Mikhail_K]

Romashka97 в сообщении #1213124 писал(а):

мне преподаватель начал объяснять сначала за обобщенную функции

Вот это расскажите подробнее.
Как преподаватель объяснил, что такое обобщённая функция вообще?
Потом можно будет сказать, что такое дельта-функция.

[Romashka97]

он взял пример функции с параметром ,потом начал менять параметр и график функции изменился, но интеграл(от - $\m\infty$ до $\p\infty$) от этой функции все время я так понял равен 1. Далее он написал предел этого же интеграла, но в подинтегральном выражении домножил нашу функцию на $\varphi(x)$,где $\varphi(x)$- всюду дифференцируемая функция и еще в пределе он установил параметр стремящийся к 0 и все это выражение приравнял к $\varphi(0)$

-- 29.04.2017, 12:45 --

Mikhail_K в сообщении #1213127 писал(а):

Romashka97 в сообщении #1213124 писал(а):

мне преподаватель начал объяснять сначала за обобщенную функции

Вот это расскажите подробнее.
Как преподаватель объяснил, что такое обобщённая функция вообще?
Потом можно будет сказать, что такое дельта-функция.

вот это я хотел сказать: http://prnt.sc/f25sy5

[Mikhail_K]

Это не определение, а так сказать объяснение на пальцах.
На самом деле дельта-функция определяется как функционал, ставящий в соответствие каждой основной функции $\varphi(x)$ (т.е. бесконечно дифференцируемой и отличной от нуля только на каком-то конечном интервале) её значение в нуле: $\varphi(0)$.
Другие обобщённые функции тоже определяются как такие функционалы, ставящие в соответствие каждой основной функции некоторое зависящее от неё число.
Некоторые обобщённые функции отождествляются с обычными. Например, обычную функцию $f(x)$ (локально интегрируемую) отождествляют с функционалом, который ставит в соответствие каждой основной функции $\varphi(x)$ число $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)dx$.

Но это строгое определение.
А условно дельта-функцию $\delta(x)$ можно понимать как функцию, равную нулю при $x\neq 0$ и равную $+\infty$ при $x=0$, да так чтобы $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1$. Тогда будет справедливо интегральное равенство, записанное в Вашем первом сообщении. Подчеркну, что это не строгое определение, а скорее удобный интуитивный образ.

[Romashka97]

Спасибо,т.е. нужно понять что такое функционал?это что то из вариационного исчисления? и еще : можете пожалуйста на пальцах так сказать объяснить про компакт и носитель функции ?я так понял это все из этой оперы.

[Mikhail_K]

Связь строгого определения с нестрогим пониманием дельта-функции - вот какая.
Если бы дельта-функция была бы отождествлена с некоторой обычной функцией $\delta(x)$, то, согласно определению, она бы ставила в соответствие каждой основной функции $\varphi(x)$ значение $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx$.
А по определению дельта-функции как функционала, она ставит в соответствие каждой основной функции $\varphi(x)$ значение $\varphi(0)$.
Значит, мы имели бы $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0)$ - если бы $\delta(x)$ была обычной функцией.
Но таких обычных функций $\delta(x)$ не существует; поэтому и данное равенство не имеет смысла.
Тем не менее, удобно представлять себе, что оно всё-таки верно, просто $\delta(x)$ - не совсем обычная функция.

-- 29.04.2017, 13:37 --

Romashka97 в сообщении #1213134 писал(а):

нужно понять что такое функционал?это что то из вариационного исчисления?

Функционал - это такая штука, которая ставит в соответствие каждой функции из некоторого класса какое-то число. Функционалы изучаются не только в вариационном исчислении, хотя и там тоже.

Romashka97 в сообщении #1213134 писал(а):

можете пожалуйста на пальцах так сказать объяснить про компакт и носитель функции ?

На пальцах смотрите Википедию - статью "Носитель функции" и приведённые там ссылки.
Но, наверное, преподаватель рекомендовал Вам какой-то учебник по своему курсу? Стоит посмотреть туда.
Или, например, загляните во 2-ю главу книги
Владимиров. Уравнения математической физики.

[Romashka97]

Спасибо,но я пока просто интересовался у него по матфизике,а пока что он мне сказал читать Смирнова 1 и 2 том-матанализ,а пока в матфизику не лезть!и для начала сказали прорешать всего демидовича!(не знаю возможно ли это)
я так понял если научиться пользоваться учебником,то я смогу решить все задачи(просто раньше я учился решать по образцам решения, а теперь мне сказали учиться изходя из теории учиться решать задачи!Как Вы считаете ведь так и должно быть?)))

[Mihr]

Mikhail_K в сообщении #1213136 писал(а):

Функционал - это такая штука, которая ставит в соответствие каждой функции из некоторого класса какое-то число.

Чуть-чуть дополню.
Вообще, понятие функционала толкуется несколько шире: функционал - это отображение из произвольного множества в числовое. Например, отображение, сопоставляющее каждому тетраэдру его объём, - тоже функционал. Но для практики наиболее важны функционалы, сопоставляющие функциям числа. Поэтому часто говоря о функционалах подразумевают именно отображение из некоторого класса функций в числовое множество.

[Metford]

Кстати, ещё добавлю: о дельта-функции можно для начала прочитать у Зельдовича и Мышкиса в "Элементах прикладной математики". А потом уж - к Владимирову.

[Mihr]

Я когда-то познакомился с понятием дельта-функции вот по этой книжке: Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом - Высшая математика для начинающих физиков и техников. Поэтому хочу подтвердить: Зельдовича стоит читать

[Metford]

Mihr в сообщении #1213146 писал(а):

Поэтому хочу подтвердить: Зельдовича стоит читать

А вот тут, кстати, вопрос, кого именно читать. Всё-таки в каждой из двух названных книг в числе соавторов фигурировал математик. Причём мне доводилось читать книги этих математиков без соавторов. Так сказать, в чистом виде. Изложение яснейшее у обоих. Так что Зельдович это был или нет - вопрос. Впрочем, это замечание ценности обеих книг не снижает ни в коем случае Так - библиографические рассуждения вслух.

[Munin]

Romashka97 в сообщении #1213124 писал(а):

я так понял это ее определение?

Да, если правильно скосить глаза, разглядывая эту формулу. (То есть, понимать её как скалярное произведение векторов из некоторых пространств.)

Серьёзная литература (и при этом всё ещё доступная мозгу физиков)
Рид, Саймон. Методы современной математической физики. Том 1.

[ewert]

Romashka97 в сообщении #1213130 писал(а):

он взял пример функции с параметром ,потом начал менять параметр и график функции изменился, но интеграл(от - $\m\infty$ до $\p\infty$) от этой функции все время я так понял равен 1. Далее он написал предел этого же интеграла, но в подинтегральном выражении домножил нашу функцию на $\varphi(x)$,где $\varphi(x)$- всюду дифференцируемая функция

Ну, всюду дифференцируемость он зря приплёл (это он с перепугу -- с того, что начал объяснят про обобщённые и не сразу сообразил, что ещё рано).

На самом деле это вполне разумное объяснение -- на физическом уровне строгости. Ровно так в физике это и следует понимать -- как некоторую идеализацию точечного заряда или вообще чего-то точечного. То, что с формально-математической точки зрения такой предельный переход к дельта-функции не выдерживает никакой критики -- вопрос уже следующий, и разбираться в нём нужно тоже на следующем уровне. Вот именно, да, на уровне обобщённых функций как функционалов. Но это уже потом, а пока что всё нормально.

Правда, в матфизике (которая ни разу не есть физика, а есть раздел математики) подобный подход выглядит неприлично. Однако и курсы матфизики бывают разные, и некоторые вульгаризованы (по необходимости) до невозможности...

[epros]

ewert в сообщении #1214511 писал(а):

То, что с формально-математической точки зрения такой предельный переход к дельта-функции не выдерживает никакой критики -- вопрос уже следующий, и разбираться в нём нужно тоже на следующем уровне. Вот именно, да, на уровне обобщённых функций как функционалов.

Было бы полезно задуматься, как "на уровне обобщённых функций как функционалов" доказать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx = \frac{1}{2}$.

[ewert]

epros в сообщении #1214678 писал(а):

Было бы полезно задуматься, как "на уровне обобщённых функций как функционалов" доказать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx = \frac{1}{2}$.

Никак.