Что такое дельта функция?

[Romashka97]

ewert в сообщении #1214682 писал(а):

epros в сообщении #1214678 писал(а):

Было бы полезно задуматься, как "на уровне обобщённых функций как функционалов" доказать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx = \frac{1}{2}$.

Никак.

Почему?

[Red_Herring]

Romashka97 в сообщении #1214690 писал(а):

Почему?

По определению.

Разумеется, можно расширить "область определения" дельта функции, чтобы это выполнялось, но это будет определение, а не доказательство.

[Romashka97]

Red_Herring в сообщении #1214694 писал(а):

Разумеется, можно расширить "область определения" дельта функции

то есть в правой части равенство не любое может быть число?

Red_Herring в сообщении #1214694 писал(а):

можно расширить "область определения"

но как тогда расширить область определения?

[ewert]

Romashka97 в сообщении #1214690 писал(а):

Почему?

Потому что дельта-функция не определена на разрывных. Требования гладкости для неё как таковой избыточны, но непрерывность -- абсолютно необходима.

Ведь обобщённые функции как функционалы не с потолка взялись. Они отражают тот факт, что любое реальное измерение предполагает некоторое усреднение. Для разрывных функций это означает, что их значения в точках разрыва не определены.

[epros]

ewert в сообщении #1214697 писал(а):

Потому что дельта-функция не определена на разрывных. Требования гладкости для неё как таковой избыточны, но непрерывность -- абсолютно необходима.

Интересно, что для того самого предельного перехода, который в отличие от функционалов "не заслуживает никакой критики", требования непрерывности как раз не являются абсолютно необходимыми. А стало быть такое определение дельта-функции распространяется на более широкий класс функций, чем определение через функционал.

[ewert]

epros в сообщении #1214707 писал(а):

Интересно, что для того самого предельного перехода, который в отличие от функционалов "не заслуживает никакой критики", требования непрерывности как раз не являются абсолютно необходимыми.

Является. Поскольку функции из дельтообразной последовательности не обязаны быть чётными.

Критики же этот переход, конечно заслуживает, виноват. Он её не выдерживает. Поскольку пока предельный объект не определён как функционал -- никакого предела и нет.

[Red_Herring]

Romashka97 в сообщении #1214696 писал(а):

то есть в правой части равенство не любое может быть число?

Нет, в левой части не может быть разрывная пробная функция.
epros
Пожалуйста, не надо фантазий в ПРР.

По определению, как элемент $\mathscr{E}' $ дельта определена только на бесконечно гладких функциях, однако существует единственное расширение на непрерывные. И даже на непрерывные только в 0. Дальше--стоп! Можно распространять дальше, но не единственным образом. Например, можно определить чётную (симметричную) как $\delta (f)=(f(0^+) + f(0^-))/2$, для пробных функций с разрывом первого рода в 0, можно "правую дельту" как $\delta (f)=f(0^+)$, для для пробных функций, полунепрерывных справа, можно "левую дельту" как $\delta (f)=f(0^-)$, для для пробных функций, полунепрерывных слева; можно $\delta (f)=a f(0^+) + (1-a)f(0^-)$, для пробных функций с разрывом первого рода в 0, где $a$ произвольный параметр.

[Romashka97]

ewert в сообщении #1214709 писал(а):

дельтообразной последовательности

Что за последовательность?

ewert в сообщении #1214709 писал(а):

предельный объект

Что за объект такой?

[ewert]

Romashka97 в сообщении #1214724 писал(а):

Что за последовательность?

Последовательность обычных ("регулярных") функций, сходящаяся в соответствующем смысле к дельта-функции.

Romashka97 в сообщении #1214724 писал(а):

Что за объект такой?

Дельта-функция.

[epros]

ewert в сообщении #1214709 писал(а):

Является. Поскольку функции из дельтообразной последовательности не обязаны быть чётными.

Какую последовательность выберем, такие функции в ней и будут. Имеем право, например, вообще ограничиться последовательностью $g_n(x) = \sqrt{\frac{n}{\pi}} e^{-(nx)^2}$.

ewert в сообщении #1214709 писал(а):

пока предельный объект не определён как функционал -- никакого предела и нет

Интеграл $I_n = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) g_n(x) dx$ уже является функционалом от $f(x)$, ничего дополнительно определять не надо. Остаётся только рассмотреть предел $n \to \infty$. Разумеется, в этом пределе $g_n(x)$ перестаёт быть функцией в классическом смысле (поэтому её и называют "обобщённой"), однако $I_n$ не перестаёт быть функционалом от $f(x)$.

Red_Herring в сообщении #1214720 писал(а):

epros
Пожалуйста, не надо фантазий в ПРР.

Это не фантазии, это обсуждение вариантов определений. То определение, о котором Вы говорите, применимо только к непрерывным в нуле функциям $f(x)$. Да, его расширение на разрывные функции не единственно. Но мы имеем право из этого множества расширений выбрать одно. И для тех, кто не является чистыми математиками, таковые расширения будут интересны, поскольку позволяют определять такие полезные вещи как $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx$

[Xaositect]

epros в сообщении #1214739 писал(а):

И для тех, кто не является чистыми математиками, таковые расширения будут интересны, поскольку позволяют определять такие полезные вещи как $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx$

А где конкретно такая вещь может быть полезна?

[Red_Herring]

epros в сообщении #1214739 писал(а):

Это не фантазии, это обсуждение вариантов определений. То определение, о котором Вы говорите, применимо только к непрерывным в нуле функциям $f(x)$. Да, его расширение на разрывные функции не единственно. Но мы имеем право из этого множества расширений выбрать одно.

Безусловно, с учётом того, что это (1) не доказательство, а новое определение (2) чётко указано, на какие основные функции эта новая дельта действует. Я сказал: "имеющие в 0 разрыв первого рода". Но можно и дальше расширить до: "чётная часть функции непрерывна в 0" (тогда мы применяем дельту именно к чётной части").

[epros]

Xaositect в сообщении #1214740 писал(а):

А где конкретно такая вещь может быть полезна?

Например, посчитать с каким ускорением будет падать тонкий сферический слой пыли под действием собственного тяготения.

[ewert]

epros в сообщении #1214739 писал(а):

Остаётся только рассмотреть предел $n \to \infty$.

В каком смысле предел?...

До тех пор, пока не определены правила игры, т.е. не дано формальное определение предела -- это не более чем бесполезный набор букв.

А для корректности формального определения приходится накладывать на пробные функции какие-то ограничения.

[epros]

epros в сообщении #1214744 писал(а):

с учётом того, что это (1) не доказательство, а новое определение

Ну, дык, я и не утверждал, что это доказательство. Я предложил задуматься о том, как можно доказать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \delta(x) dx = \frac{1}{2}$. Это был каверзный вопрос и я получил на него правильный ответ: никак.

Тем не менее, физики подобные выражения иногда используют, что свидетельствует о том, что в предложенном чистыми математиками определении (из которого такие вещи никак не выводятся) не хватает чего-то полезного для физиков. Скажу больше, нам эту штуку в своё время преподавали именно по математической физике, чем весьма озадачили тех ушлых студентов, которые сообразили, что из стандартного определения дельта-функции она никак не выводится.

-- Вс май 07, 2017 17:55:29 --

ewert в сообщении #1214745 писал(а):

В каком смысле предел?...

До тех пор, пока не определены правила игры, т.е. не дано формальное определение предела -- это не более чем бесполезный набор букв.

Это стандартное определение предела последовательности действительных чисел $I_n$. В качестве аргумента функционала можно брать любую функцию $f(x)$, для которой соблюдается условие интегрируемости (например, по Лебегу). Да хоть функцию Дирихле.

-- Вс май 07, 2017 18:02:24 --

Да, я конечно должен уточнить, что можно извратиться взять такую $f(x)$, что $\lim\limits_{n \to \infty} I_n$ не будет существовать, хотя $I_n$ будет существовать при любом $n$. Ну, значит на таких $f(x)$ функционал тоже не будет определён.