Просьба. Учебник по теории множеств.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1215445 писал(а):

в математике каждый имеет право вводить собственные определения и обозначения, нисколько не заботясь о том, что термин уже занят

Право-то каждый имеет, но проблем от этого прибавляется:)

[Odysseus]

Vitte в сообщении #1215414 писал(а):

Основная трудность сейчас начать мыслить категориями множеств.

Это будет приходить постепенно, причем даже в большей степени когда вы перейдете от теории абстрактных множеств к алгебре и анализу/геометрии где будет много примеров конкретных множеств с различными структурами внутри них (например, структурами сложения, умножения, порядка и т.д.). Если под "мыслить категориями множеств" вы понимаете представление множества как "одного объекта" и, наоборот, одного объекта как множества, то это не просто формальность и излишняя абстрактность, а часто практическая необходимость и упрощение.

Например:

- В аксиоматической теории множеств вообще существуют только множества, а натуральные числа, при одном из их определений, строятся как $0=\varnothing$, $1=\{\varnothing\}$ и т.д.

- На натуральные числа можно также смотреть как на множества (точнее "классы", что есть некое обобщение понятия "множества") состоящее из эквивалентных между собой множеств, под эквивалентностью здесь понимается биекция. В этом смысле $10$ означает не просто "число", а класс, элементами которого являются такие множества как $10$ яблок, $10$ автомобилей и все другие подобные множества. Такой класс эквивалентности называется мощностью множества или кардинальным числом (а также и ординальным числом, если мы учитываем отношение порядка среди натуральных чисел). И так смотреть на числа, на самом деле, очень естественно, поскольку арифметику мы потом применяем для ситуаций в которых как раз и встречаются эти $10$ яблок и $10$ автомобилей, т.е. $10$ вполне логично представлять именно как класс эквивалентности ("множество"), а не просто как "число".

- Когда вы будете учить теорию чисел, встретитесь с понятием классов вычетов по данному модулю (числу). Это тоже классы эквивалентности, но по другому отношению эквивалентности (остаток от деления на данное число). И это, соответственно, тоже множества с которыми мы обращаемся как с "числами" в смысле наличия арифметических операций между ними. Внутри множества (кольца) всех классов вычетов есть такие же сложение и умножение как и внутри множества (кольца) всех целых чисел, но с некоторыми особенностями, поскольку кольцо всех классов вычетов по определенному модулю (например, по модулю $2$) состоит из конечного числа элементов (в данном случае из $2$). Это все звучит длинно, но суть простая: например по модулю 2 есть всего два класса вычетов: четные числа (множество всех четных чисел) и нечетные (множество всех нечетных чисел). При этом все четные числа можно рассматривать как одно число ($\overline{0}$), и все нечетные как одно число ($\overline{1}$). Эти два числа образуют кольцо с практически такими же правилами сложения и умножения как будто бы это были обычные $0$ и $1$, но с единственной и очевидной разницей в том, что $\overline{1}$+$\overline{1}$=$\overline{0}$ (нечетное число + нечетное число = четное число).

- Множество всех классов вычетов это пример фактормножества. В произвольных группах и кольцах тоже есть фактормножества состоящие из классов эквивалентности, которые являются элементами фактормножества и между которыми можно определить операции типа сложения и умножения согласованные с операциями над изначальными элементами групп и колец.

- Если вводить вещественные числа через сечения Дедекинда, то они будут множествами рациональных чисел удовлетворяющих определенным неравенствам, например $\{x\in {\mathbb Q}\mid x\leqslant 0\lor x^{2}<2\}$. Между такими множествами можно определить арифметические операции индуцированные (согласованные с) соответствующими операциями между рациональными числами; после чего мы говорим, что научились складывать и умножать вещественные числа. А еще можно вводить вещественные числа как фундаментальные последовательности (т.е. тоже как множества, но другой природы), и на таких множествах тоже можно определить сложение и умножение аналогичные оным на рациональных числах. И после того как мы ввели вещественные числа, мы можем уже забыть из какого множества они "выросли" и оперировать с ними как с "обычными числами", т.е. конкретный способ представления вещественных чисел множествами (сечениями Дедекинда или фундаментальными последовательностями) - не важен.

- Функции/отображения между множествами сами по себе это тоже множества и т.д.

- А над всем этим будет теория категорий. Объектами (элементами) категории могут быть "неразделимые элементы" или "точки", а могут быть множества с богатой внутренней структурой (группы, кольца, топологические пространства и т.д.). В содержательных примерах конкретных категорий случается именно второе, но при этом часто достаточно смотреть на объекты этих категорий как на "точки" в которых эта внутренняя структура роли не играет. Из этого, во многом, и вытекает сила теории категорий: отвлечение от шелухи и излишних деталей внутренней структуры множеств позволяет многое упростить и понять универсальные законы. С изрядной долей упрощения можно сказать, что подход здесь аналогичен тому, как нам неважно, что вещественные числа это сечения Дедекинда или фундаментальные последовательности, но в теории категорий это происходит уже на следующем уровне на лестнице абстракций, после того как сами вещественные числа сформировали множество с определенной структурой (группу, кольцо, топологическое пространство и т.д), но эта структура нам в каких-то ситуациях неважна, поэтому все это множество мы рассматриваем как один элемент/точку. Мы поднимаемся все выше, и сначала дома становятся точками, потом кварталы, а потом города.

- Напоследок совсем простой пример для расслабления :) У вас в кармане может быть $10$ рублей одной бумажкой, а может быть мелочью. В первом случае это "один элемент", во втором случае - "множество". Но когда во втором случае вы покупаете что-то на эту мелочь, вам неважно сколько там монет и какого достоинства каждая из них. Важен только их общий номинал, т.е. достаточно смотреть на $10$ рублей мелочью как на одну бумажку, один элемент. А в каких-то случаях может быть наоборот, вам будут нужны $10$ рублей именно мелочью, а не одной бумажкой. Так что, как видите, вы уже мыслите категориями множеств практически каждый день :)

В сухом остатке, вывод в следующем. Надо постепенно привыкнуть к тому, что на объекты какой-то теории в разных ситуациях можно смотреть по-разному: иногда (когда внутренняя структура важна и играет какую-то роль) представляя их как множества, а иногда (когда внутренняя структура неважна или в данном случае не играет роли) как числа/элементы/объекты/точки и т.д., названия для последних могут меняться в зависимости от терминологии данной теории. В этом и есть вся сермяжная правда "мыслить категориями множеств". И если подумать, то эта сермяжная правда очень простая и естественная.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1215454 писал(а):

Право-то каждый имеет, но проблем от этого прибавляется:)

Не очень. Разумный автор этим правом обычно не злоупотребляет, а в случае известных разночтений поясняет читателю, в каком смысле он употребляет тот или иной термин.

[arseniiv]

Жалко, что разумности авторам приходится учиться, как правило, с нуля — никаких курсов по ней нет, если не считать нескольких статей (скажем, известная «Как писать математические тексты»), не покрывающих всё равно всего.

По поводу индексирования в языках программирования: вообще нет особых причин предпочитать полуоткрытые интервалы $[m; m+n)_{\mathbb Z}$ замкнутым $[k; \ell]_{\mathbb Z}$, если язык достаточно хорош, чтобы поддерживать и те, и те. Часто нужны первые, но вторые тоже бывают нужны . Например, ваш тип $A$ перечисляемый (изоморфен промежутку $\mathbb Z$) и ограниченный, тогда все его значения разумнее иметь как диапазон $[\mathsf{minBound}_A;\mathsf{maxBound}_A]$, а не как $[\mathsf{minBound}_A;\mathsf{minBound}_A+\mathsf{valueCount}_A)$. Если язык поддерживает удобное обращение только с одним видом интервалов, будут проблемы в обоих случаях.

[Z1X]

Someone в сообщении #1215437 писал(а):

Но для определения модели ZFC в NBG никаких дополнительных гипотез не требуется.

Xaositect в сообщении #1215439 писал(а):

Модель-класс и модель-множество это все-таки немного разные объекты.

А разве бывает модель-множество ZFC ?

[Xaositect]

Z1X в сообщении #1215577 писал(а):

А разве бывает модель-множество ZFC ?

Ну, если ZFC непротиворечива, то бывают.

[Z1X]

Хорошо, ну а какая тогда мощность у этой модели-множества?

[Xaositect]

Z1X в сообщении #1215582 писал(а):

Хорошо, ну а какая тогда мощность у этой модели-множества?

Любая, из Левенгейма-Сколема следует существование счетных моделей.

[Z1X]

Для того, чтобы использовать Левенгейма-Сколема необходимо, чтобы у теории множеств какая-то бесконечная модель существовала. А согласно парадоксу Кантора, множества всех множеств не существует.

[george66]

Если ZF непротиворечива, то у неё есть модель (всякая непротиворечивая теория первого порядка имеет модель, теорема о полноте). Более того, у неё есть счётная модель (всякая непротиворечивая теория в счётном языке имеет счётную модель, теорема Лёвенгейма-Скулема). Эта модель является "нестандартной", это совсем не множество всех множеств, а чёрт знает что такое.

-- 11.05.2017, 00:18 --

Вообще, такие вещи обсуждать вредно.

[Z1X]

george66 в сообщении #1215593 писал(а):

всякая непротиворечивая теория в счётном языке имеет счётную модель, теорема Лёвенгейма-Скулема

Неверно. Рассмотрим теорию с равенством и одной дополнительной аксиомой: $ \forall a,b \ a=b $. У нее есть одноэлементная модель, но нет счетной.

[george66]

Не более чем счётную, конечно. Просто это далеко от какой бы то ни было реальности.

[arseniiv]

Z1X в сообщении #1215588 писал(а):

А согласно парадоксу Кантора, множества всех множеств не существует.

Давайте троллить в другой теме, OK?

[Z1X]

Либо укажите явно, в чем моя неправота, либо идите сами в другую тему, ОК?

[george66]

Модель ZF - это не обязательно "множество всех множеств". Бывают "неожиданные маленькие модели".