Просьба. Учебник по теории множеств.

[Vitte]

kp9r4d

Интересует математический смысл "натуральности" ноля.

[Xaositect]

Vitte в сообщении #1215361 писал(а):

Интересует математический смысл "натуральности" ноля.

Смысл,например, такой - натуральные числа это мощности конечных множеств, мощность пустого множества равна 0.

[Anton_Peplov]

Какой традиции придерживаться - дело вкуса. Никаких серьезных последствий это не имеет, они обе удобны в равной степени.

[kp9r4d]

Anton_Peplov
Про "равную степень" не согласен совершенно, в 99% случаев с нуля нумеровать естественнее.

[Vitte]

Xaositect в сообщении #1215362 писал(а):

Смысл,например, такой - натуральные числа это мощности конечных множеств, мощность пустого множества равна 0.

Это определение или свойство?

[Xaositect]

Vitte в сообщении #1215370 писал(а):

Это определение или свойство?

Это мотивация того, зачем нужны натуральные числа, одна из возможных.
Как определение это плохо работает, потому что понятие мощности непростое. Считайте это свойством.

[Vitte]

Xaositect

Если говорить по простому, то неважно как в контексте наивной теории множеств я буду рассматривать ноль, доказательность от этого не потеряет математического смысла?

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1215367 писал(а):

Про "равную степень" не согласен совершенно, в 99% случаев с нуля нумеровать естественнее.

Приведите примеры.

Vitte в сообщении #1215373 писал(а):

Если говорить по простому, то неважно как в контексте наивной теории множеств я буду рассматривать ноль, доказательность от этого не потеряет математического смысла?

Разумеется. Множество целых положительных чисел имеет ту же мощность, что и множество целых неотрицательных чисел (вообще мощность бесконечного множества не меняется от добавления или изъятия конечного числа элементов; говоря строже, если $A$ бесконечно и $B$ конечно, то $|A \cup B| = |A \setminus B| = |A|$. Докажите эту теорему как упражнение).

[Vitte]

Anton_Peplov

Спасибо. Теперь многое стало более понятным.

[kp9r4d]

Anton_Peplov
Размерности пространств (векторных, многообразий) нумеруются с 0.
Если у нас есть моноид, то можно говорить о "моноидальном произведении" некоторого натурального числа элементов, в том числе и нулевого. В частности: конкатенация пустого списка строк - пустая строка (всевозможные длины строк образуют натуральный ряд), произведение пустого множества чисел 1, сумма пустого множества чисел 0, связная сумма пустого множества 2-многообразий - сфера, тензорное произведение пустого семейства модулей - основное кольцо, конъюнкция пустого множества утверждений $True$, дизъюнкция пустого множества утверждений $False$.
В большинстве современных языков программирования массивы нумеруются с нуля, это не случайно, потому что обычно мыслят полуинтервалами, что делает арифметику проще: их легче конкатенировать, считать их размер, сплитить и т.д. Сравните: в полуинтервале $[0..n)$ ровно $n$ элементов, в то время как в полуинтервале $[1..n)$ уже $n-1$ элементов. Эти $\pm 1$ раздражают невероятно, особенно если алгоритм более-менее сложный.

[ET]

kp9r4d в сообщении #1215382 писал(а):

Anton_Peplov
В большинстве современных языков программирования массивы нумеруются с нуля, это не случайно, потому что обычно мыслят полуинтервалами, что делает арифметику проще: их легче конкатенировать,

Насколько я понимаю, все по-другой причине
Те языки, где массивы всегда нумеруются с нуля - это все языки основанные на си. То есть это пришло с си. А в си они нумеровались всегда с нуля по другой причине. А именно потому, что маcсив это ссылка, а обращение a[i] это всегда было *(a+i) (можно было так даже обращаться вместо стандартного способа), кажется можно было даже поменять в нем i[a] А эта ссылка (a) всегда указывала на "первый элемент", то есть на нулевой
То есть, если в си было
float a[10]
то вполне возможно было написать
*a=5; - это было то же самое, что и a[0]=5
*(a+1)=3; - это то же самое, что и a[1]=3;
Там вообще массивы от ссылок мало отличались.

[Vitte]

ET в сообщении #1215384 писал(а):

Там вообще массивы от ссылок мало отличались.

Не просто не отличались, в "чистом си" массивы и строки - суть указатели на их первые элементы. Причем, по соглашению, строка всегда должна заканчиваться символом конца строки, иначе при наличии механизма прямого доступа к памяти можно было серьёзно загадить эту самую память.

В своё время долго вникал в смысл мозголомной конструкции двухмерного массива в си: двойной указатель на область памяти.

[kp9r4d]

То, что $a[k]$ должно обозначать $\text{адресс a}+ k \cdot \operatorname{sizeof}(\text{тип элементов в a} )$ это отражение того же принципа работы с полуинтервалами.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1215382 писал(а):

Размерности пространств (векторных, многообразий) нумеруются с 0.

Принято. Хотя в общей топологии вводится и размерность пустого множества, равная $-1$.

kp9r4d в сообщении #1215382 писал(а):

произведение пустого множества чисел 1

Этот контринтуитивный кошмар приводить как обоснование "естественности" чего бы то ни было весьма странно.

kp9r4d в сообщении #1215382 писал(а):

Эти $\pm 1$ раздражают невероятно

Меня, напротив, невероятно раздражало, что длина массива на единицу больше индекса последнего элемента. То есть в массиве "месяцы" декабрь будет иметь индекс 11, а в массиве "пальцы руки" мизинец - индекс 4. Потом смирился, привык, но удобства за много лет программирования так и не обнаружил.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #1215395 писал(а):

Принято. Хотя в общей топологии вводится и размерность пустого множества, равная $-1$.

Это уже negative thinking ^^ В некоторых ситуациях удобнее считать что $\operatorname{dim} \emptyset = -\infty$

Anton_Peplov в сообщении #1215395 писал(а):

Меня, напротив, невероятно раздражало, что длина массива на единицу больше индекса последнего элемента. То есть в массиве "месяцы" декабрь будет иметь индекс 11, а в массиве "пальцы руки" мизинец - индекс 4. Потом смирился, привык, но удобства за много лет программирования так и не обнаружил.

Ну странно очень. Скажем, если у вас есть класс "отрезок" и вы хотите написать метод $split([a..b],k)$ то он должен вернуть $([a..k],[k+1..b])$ или $([a..k-1],[k..b])$? По-моему такие штуки гораздо существеннее раздражают.