интеграл от экпоненты и цилиндрической функции

[Lia]

salang в сообщении #1214538 писал(а):

Благодарю, но у меня нет $x^{\nu-1}$

А что там буковка альфа вместо нуля, Вам не мешает?

salang в сообщении #1214538 писал(а):

т.к. ряд я потом не смогу еще раз проинтегрировать

Так и пишите сразу, что Вам нужно. Может, Вы вообще из Токио во Владивосток через Атлантику сейчас добираетесь.
Сумма ряда - тоже функция. По какой переменной интегрировать?

[salang]

последняя свертка- по времени (входит в состав всех 3-х коэффициентов).

[Lia]

Приведите исходную постановку задачи, пожалуйста.
Время в состав коэффициентов может входить как попало. Если оно именно этим и занимается, вряд ли что-то конкретное можно сказать.

[salang]

требуется выполнить интегрирование по азимуту: $\int_{0}^{2 \pi} \exp(-(a r \cos (\varphi)-b)^2-(f r \sin(\varphi)-d)^2)d\varphi$. Без $b$ и $d$ есть табличный интеграл. Время входит в радиус так: $r=\sqrt{Hct}$, где $H$ и $c$- константы до окончания расчета

[Lia]

Вы утверждаете, что Вам нужно интегрировать повторно. Это тоже осталось неясным - что и в каких пределах.
Приведите исходную задачу, пожалуйста. Надо понимать, что у Вас кратный интеграл.
(А возможно, он сам откуда-то возник).

[salang]

исходная задача состоит в выполнении двойной свертки:$\nolinebreak \exp[-a t^2]*\exp[-(b t+d)^2]*\int_{0}^{2 \pi} \exp[-(f \sqrt{Hct} \cos (\varphi)-g)^2-(n \sqrt{Hct} \sin(\varphi)-p)^2]d\varphi$

[Lia]

salang
Исходную - это исходную. :( Что ж за горе-то. Это Ваша третья тема, посвященная чему-то похожему. Почему бы не сказать сразу, чего Вы хотите, почему из Вас это каждый раз по новой выбивать нужно. :(

Правильно ли я Вас понимаю, что Вам по какой-то причине понадобилось сложить два независимых нормальных распределения с расстоянием до нуля нормально распределенной точки $(X,Y)$ с независимыми компонентами, с разными, вообще говоря матожиданиями и дисперсиями? То есть - у всех четырех нормальных матожидание и дисперсия разные?

Так?

Если так, то вряд ли что-то у Вас получится. Вы пробовали хотя бы стандартное нормальное с распределением Рэлея сложить? Это для начала. А если с.к.о. нормального не равно параметру распределения Рэлея? А если еще теперь у нормального и матожидание ненулевое? (Все распределения независимы.)

Это все приличные вполне задачи, и в них съедобный ответ.

Хорошо, а если теперь просто стандартное нормальное попытаться сложить с распределением Райса? То, которое возникает на месте распределения Рэлея, если всего лишь сдвинуть матожидание? То есть распределение = стандартному сферическому+постоянный вектор. Получится?
----

Конечно, я сама придумала за Вас задачу, и если я сейчас занимаюсь задачей, не имеющей к Вашей никакого отношения, то угадайте с трех раз, кто за это отвечает.
----

Признаться, я не могу придумать мало-мальски реальное приложение необходимости работать с четырьмя нормальными распределениями, все из которых разные.

[salang]

нет, всего одно распределение и оно нормальное ($\exp[-a t^2]$). Цель простая- вычислить мгновенную площадь эллипса, чтобы осталась зависимость от времени и его смещения по обоим осям. Проблем получилось 3:
1. при учете смещений ($g$ и $p$) показатель экспоненты усложняется и не получается взять последний интеграл
2. при расчете площади через $rdrd\varphi$ и стандартном выражении радиуса как $\sqrt{H c t}$ зависимость от времени пропадает, а она требуется для второй свертки
3. при использовании формулы для эллипса $\nolinebreak \exp[-(f \sqrt{Hct} \cos (\varphi)-g)^2-(n \sqrt{Hct} \sin(\varphi)-p)^2]$ центр cистемы координат при смещениях сдвигается из центра эллипса, а введение в это выражение $\cos$ и $\tg$ еще больше усложнит интегрирование.

п.2 получилось решить только без п.1 путем интегрирования по азимуту, а вместо интегрирования по радиусу берется интеграл по времени при второй свертке.
Или под выражением исходная понималась физика процесса?

[Lia]

salang
Опять Вы не договариваете. Поставьте задачу нормально. Какого эллипса? Что куда смещается? по какому закону? какая зависимость от времени? Что, какая случайная величина распределена с плотностью $\exp[-a t^2]$? Судя по Вашим дальнейшим действиям - явно какая-то линейная (в смысле размерности 1). Но тогда свертка - той же размерности, она не дает площади.

Давайте пусть эллипс вообще никуда не смещается. Что нужно найти в нулевой момент времени? Площадь? Чему она равна?

Это в общем. Пп. 2-3 пока не смотрела. Интеграл Ваш (последний) в общем случае, скорее всего, и не считается.
Но из Вашего описания пока не следует, что он Вам вообще нужен.

[salang]

из-за неточности стабилизации существует прецессия и эллипс может смещаться по случайному закону куда угодно- вперед-назад (растягивается малая полуось), влево-вправо (растягивается большая полуось) и их комбинации. Результат без смещения уже получен.
Используется гауссовское одномерное распределение $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp[\frac{-t^2}{2 \sigma^2}]$
Действительно, интеграл по азимуту недостаточен для площади, надо эту фразу изъять.
Во все моменты времени (в т.ч в начальный) нужно определить мгновенную площадь эллипса. Как записать площадь с учетом смещения еще не придумал, т.к. требуется учет разложения вектора отклонения на большую и малую полуоси
У меня очень малые углы отклонения, поэтому можно ввести некоторые допущения и интеграл хотелось бы получить

[salang]

полуоси придумал так записать: $\frac{a}{\theta_1 \cos \upsilon}$ и $\frac{b}{\theta_2 \cos \gamma}$, где $\upsilon$- тангаж, а $\gamma$-крен

[Lia]

Давайте по порядку. Каждая полуось в фиксированный момент времени - это случайная величина? или нет, или она меняется только в зависимости от времени?
Что именно распределено нормально с плотностью $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp[\frac{-t^2}{2 \sigma^2}]$? Вы так и не сказали. Вы же учитывайте, что Вы в своей задаче варитесь давно, а все остальные видят ее в первый раз, и что как там устроено - им неведомо.

[salang]

полуоси $a$ и $b$ вообще всегда константы в данной системе. Их проекции на поверхность при отсутствии отклонения тоже константы ($a_1=a$, $b_1=b$. Меняются их проекции только при одновременном отклонении по обоим осям, которое имеет случайную величину.
Высота поверхности (нижняя гориз. линия на рис.)

[Lia]

salang
А можно все сразу сказать?
Правильно ли я понимаю, что эллипс - в пространстве? И поскольку полуоси его постоянны, нужна Вам не площадь этого эллипса, а площадь его тени на земле, тоже, естественно, эллиптической? Так?
Каково, в таком случае распределение $\gamma$ и распределение $\upsilon$? Оба нормальны с нулевым матожиданием и одинаковой дисперсией?

[Это пока без всяких соображений о времени, поскольку закон движения в зависимости от времени нигде не фигурирует. Это все в фиксированный момент времени.]

[salang]

да, нужна площадь проекции конического эллипса на поверхность.
Да, оба с такими параметрами
Движение прямолинейное с постоянной скоростью. Конус появляется в дискретные моменты времени со стабильной периодичностью. Именно в эти моменты и требуется определить площадь проекции.