интеграл от экпоненты и цилиндрической функции

[salang]

$\int_{0}^{\infty} \exp(-a x^2+b x)I_0(c \sqrt{x})dx$. В справочнике есть решения только для $\int_{0}^{\infty} \exp(-a x^2)I_0(c x)dx$ и $\int_{0}^{\infty} \exp(-b x)I_0(c x)dx$, Mathematica тоже не считает . Что-то возможно решить?

[Aritaborian]

ИМХО, интеграл от Бесселя от квадратного корня это нечто в квадратурах уже заведомо неберущееся, не говоря уж об умножении его ещё на экспоненту от квадрата. Но ничего страшного, Mathematica посчитает вам численно с любой точностью ;-)

(Ваша ссылка)

Вы дали ссылку на «Альфу». Это совсем не то же самое, что Mathematica.

[Vince Diesel]

Для $b=0$ и $a,c>0$ математика таки считает:

$$ \frac{4 \sqrt{\pi } \sqrt{a} \, _0F_2\left(;\frac{1}{2},1;\frac{c^4}{256 a}\right)+c^2 \, _0F_2\left(;\frac{3}{2},\frac{3}{2};\frac{c^4}{256 a}\right)}{8 a}, $$

а для $b\ne0$ нет.

[Aritaborian]

Vince Diesel в сообщении #1214441 писал(а):

математика таки считает

Вы ж понимаете, что в данном случае она не столько считает, сколько отмазывается.

[salang]

to Aritaborian если аргумент функции Бесселя будет без корня, результат будет? Ccылку на сайт дал потому что результат одинаковый.
Исходно цилиндрическая функция появилась в результате интегрирования $\int_{0}^{2 \pi} \exp(-(a \cos (\varphi)-b)^2-(c \sin(\varphi)-d)^2)d\varphi$. А есть готовое решение для такого интеграла?

[Aritaborian]

salang в сообщении #1214449 писал(а):

если аргумент функции Бесселя будет без корня, результат будет?

Вы же сами уже сказали, что такое в справочнике есть.

[salang]

В справочнике есть решения только для $\int_{0}^{\infty} \exp(-a x^2)I_0(c x)dx$ и $\int_{0}^{\infty} \exp(-b x)I_0(c x)dx$, а для $\int_{0}^{\infty} \exp(-a x^2+b x)I_0(c x)dx$- нет. Для экспоненты с тригонометрией в нем тоже нет решения

[Aritaborian]

А типа если в экспоненту к квадрату добавить $bx$, это что-то сильно усложнит?

[salang]

в зависимости от отношения $a$ и $b$- результат изменится. Даже не знаю, что изменить в выражении $\int_{0}^{\infty} \exp(-a x^2)I_0(c x)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\exp(\frac{c^2}{8a})I_0(\frac{c^2}{8a})$ при добавлении $bx$.

[Lia]

salang
Формулы оформляйте.

Aritaborian в сообщении #1214518 писал(а):

я погорячился, прошу прощения. Не всё так просто ;-(

Я тоже ) Удалила.

[Aritaborian]

salang, я погорячился, прошу прощения. Не всё так просто ;-(

[Lia]

salang
В Прудникове есть для $\int_{0}^{\infty} x^{\nu-1} \exp(-a x^r-c x)I_\alpha(c x)dx$ - но в виде ряда. Для Вашего интеграла, ряд, конечно, немного упростится, но именно немного.
Том 2, 2.15.1, 7.

-- 06.05.2017, 20:26 --

А формулы правьте. post1214517.html#p1214517

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[salang]

Lia писал(а):

В Прудникове есть для $\int_{0}^{\infty} x^{\nu-1} \exp(-a x^r+b x)I_\alpha(c x)dx$ - но в виде ряда

Благодарю, но у меня нет $x^{\nu-1}$ и нужен результат виде функций, т.к. ряд я потом не смогу еще раз проинтегрировать