Как выбирать упражнения и оценивать свои знания

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1215071 писал(а):

Это неверное утверждение?

Верное, конечно. Однако ценятся определители далеко не в первую очередь за это.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1215071 писал(а):

Это неверное утверждение?

Это совсем другое утверждение. Прочтите утверждение, которое я оспаривал и найдите $10$ отличий.
Если бы мне объясняли смысл определителя так, как в критикуемом мной утверждении, то я бы точно запутался.

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #1215080 писал(а):

Если бы мне объясняли смысл определителя так, как в критикуемом мной утверждении, то я бы точно запутался.

Если бы я сейчас кому-то объяснял смысл определителя, я бы тоже выразился аккуратнее.

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1215083 писал(а):

Если бы я сейчас кому-то объяснял смысл определителя, я бы тоже выразился аккуратнее.

На мой взгляд, в математике не должно быть изложения в стиле "попса", нужно либо излагать аккуратно, либо не излагать совсем.

[Anton_Peplov]

Я бы все же разделял математику и разговоры о математике за чаем, в которых все участники помнят строгую формулировку и автоматически восстанавливают ее по нестрогой.

[Ivan_B]

Brukvalub в сообщении #1215022 писал(а):

Обычно доказательство методом мат. индукции лишь делает рассуждение логически безупречным. А доказываемую им формулу сначала получают из иных соображений.

Пользуясь случаем, привожу еще один пример. Это не попытка спорить с Вами, а попытка разобраться с еще одним вопросом. Формула Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.
Моя попытка построить приближение к заданной функции, которая имеет производные до n-ной в окрестности $x_0$:
Можно сделать из функции бесконечно малую в точке $x_0$ (это возможно т.к. функция дифференцируема и, следовательно, непрерывна) следующим образом: $f(x)-f(x_0)$, из полученной бесконечно малой вычесть ее дифференциал $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$ и в результате получить $o(x-x_0)$(возможно, т.к. функция дифференцируема) Дальше продолжить у меня не получается(вычитать из функции ее приближение, которое строится из ее дифференциалов): перед дифференциалами должны появиться коэффициенты, а вот откуда и как - непонятно.
Доказательство по индукции. $r(x)$ - дополнительный член. $r(x_0)=0, r'(x_0)=0$(исходя из того как построен полином). Доказываем, что $r(x)=o(x-x_0)$
$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{r(x)}{x-x_0}=$$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{r(x)-r(x_0)}{x-x_0}=r'(x_0)=0$
пусть $r(x_0)=r'(x_0)=...=r^{(n)}(x_0)=r^{(n+1)}(x_0)=0$(здесь скрыто как получаются коэффициенты перед дифференциалами произвольной функции, вместо них используются коэффициенты, полученные при дифференцировании специально построенного полинома) По предположению $r'(x)=o((x-x_0)^n)$
Теперь нужно воспользоваться теоремой о среднем $r(x)=r(x)-r(x_0)=r'(c)(x-x_0)=o((c-x_0)^n)(x-x_0)$
$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{o((c(x)-x_0)^n)(x-x_0)}{(x-x_0)^{(n+1)}}=$ $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{o((c(x)-x_0)^n)}{(c(x)-x_0)^n}\frac{(c(x)-x_0)^n}{(x-x_0)^n}$
$c(x)$ лежит между $x$ и $x_0$ из чего следует, что $0 < \frac{(c(x)-x_0)^n}{(x-x_0)^n} < 1$ и что при $x \to x_0$ и $c(x) \to x_0$. Получается под знаком предела стоит произведение бесконечно малой на ограниченную функцию. Значит предел равен 0. Предположение доказано, как получились коэффициенты - непонятно.

Brukvalub в сообщении #1215022 писал(а):

Почитайте, например, лекцию $4$ из книги Тартышникова.

Спасибо, думаю, что мне стоит прочесть их все.

Anton_Peplov в сообщении #1215040 писал(а):

Ну и спросите.

Спасибо за рекомендацию. Сам бы не решился спрашивать. Спрошу, когда закончу с текущим вопросом.

Anton_Peplov в сообщении #1215040 писал(а):

4. Порешать задачи на доказательство.

А где их лучше брать?
Отдельное спасибо за список рекомендаций, попробую им следовать.

Aritaborian в сообщении #1215056 писал(а):

а вот, например, $e^{i \pi} + 1 = 0$ это для вас абсолютно прозрачно или не совсем?

Если коротко, совсем не прозрачно. Уточнение. Формулу я знаю, и чему синус и косинус $\pi$ равны тоже. Про то, что умножением на $e^{i \alpha}$ поворот получается тоже. И как вообще вектор поворачивать, если обе оси действительные(это понимаю хорошо, знаю вывод, отсюда же получается формула для косинуса разности, из которой все остальные) А вот на кватернионах меня заклинило - абракадабра какая-то. Про быстрое преобразование Фурье тоже знаю(там корни из 1 используются) А вот, когда говорят, что эти самые корни из 1 образуют группу с такими-то свойствами, из чего следует, что можно использовать не корни из 1, но это тоже будет преобразование Фурье, вот тут взрыв мозга... Но... все это я читал сам, системы в этом нет. Не знаю откуда $e$ берется в исходной формуле, с Фурье каша в голове: интеграл Фурье, быстрое преобразование Фурье, свертки, как со всем этим соотносится разложение в ряд Фурье... Написал я это, чтобы дать какое-то представление о том, что я знаю, надеюсь, Ваш вопрос - не тонкая издевка...

Спасибо Всем за Ваши советы и комментарии, надеюсь, что у меня получится их учесть. Буду рад любым дополнительным советам.

[kp9r4d]

Док-во члена пеано тонкое, потому что факт тонкий, он рзличает случаи $f \in C^k$ и $f \in C^{k+1}$, редко в каких науках подобное различание нужно. Так что я бы не заморачивался на вашем месте.

[Anton_Peplov]

Ivan_B в сообщении #1215226 писал(а):

А где их лучше брать?

По алгебре есть задачник Кострикина. Около матана есть Очан. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного - там задачи про множества, функции, непрерывность. Сборников задач на доказательство по дифференциальному и интегральному исчислению не знаю, сам бы не отказался.

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1215226 писал(а):

Буду рад любым дополнительным советам.

Я дам совет из личного опыта. Если Вам придётся учиться по учебнику / книге самостоятельно, старайтесь (при прочих равных) выбирать такой учебник, в котором после каждой главы есть упражнения и задачи. Вот решение этих упражнений и будет наиболее адекватной обратной связью (напомню -- при самостоятельном изучении) соответствия Вашего понимания ожиданиям автора. Если упражнения Вы большей частью решить не можете, или бросьте этот учебник (пусть даже Вам теоретический материал кажется понятным и простым), или приходите к нам (условно) за помощью.

[Brukvalub]

Ivan_B в сообщении #1215226 писал(а):

Предположение доказано, как получились коэффициенты - непонятно.

Коэффициенты многочлена Тейлора подбираются так, чтобы значения его производных в выбранной точке совпадали со значениями производных рассматриваемой функции в этой точке. Тогда производные разности функции и многочлена равны нулю до определенного порядка, и это соответствует бесконечной малости этой разности соответствующего порядка.

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1215226 писал(а):

Предположение доказано, как получились коэффициенты - непонятно.

Перед формулой Тейлора должен идти многочлен в форме Тейлора. Для $x_0=0$ он достаточно очевиден -- достаточно задаться вопросом: а не связаны ли как-нибудь коэффициенты многочлена с производными?... На произвольные $x_0$ обобщение совсем тривиально -- с помощью сдвига. Затем можно задуматься о том, что останется после вычитания из функции её многочлена Тейлора.

kp9r4d в сообщении #1215233 писал(а):

Док-во члена пеано тонкое, потому что факт тонкий, он рзличает случаи $f \in C^k$ и $f \in C^{k+1}$

И даже гораздо тоньше: для Пеано даже и $C_{k-1}$ несколько избыточно.

[Ivan_B]

ewert в сообщении #1215957 писал(а):

достаточно задаться вопросом: а не связаны ли как-нибудь коэффициенты многочлена с производными?

Brukvalub в сообщении #1215292 писал(а):

Коэффициенты многочлена Тейлора подбираются так, чтобы значения его производных в выбранной точке совпадали со значениями производных рассматриваемой функции в этой точке.

Это я понимаю.

ewert в сообщении #1215957 писал(а):

Затем можно задуматься о том, что останется после вычитания из функции её многочлена Тейлора.

Полученная разность и

Brukvalub в сообщении #1215292 писал(а):

производные разности функции и многочлена равны нулю до определенного порядка

Это я понимаю.

Brukvalub в сообщении #1215292 писал(а):

и это соответствует бесконечной малости этой разности соответствующего порядка

Это утверждение доказывается по индукции исходя из того, что полученная разность и производные разности функции и многочлена равны нулю до определенного порядка.

Brukvalub в сообщении #1215022 писал(а):

доказываемую им формулу сначала получают из иных соображений.

Из каких соображений получено утверждение о бесконечной малости определенного порядка?

Чувствую себя неловко из-за того, что люди Вашего уровня потратили на этот мой вопрос свое время. Боюсь надоесть глупыми вопросами(причиной которых может быть переклин, который со временем сам пройдет) Или того, что из-за переклина ерунду написал, на которую и ответить ничего невозможно. Возможно, мне стоит вопрос о дополнительном члене отложить на потом и двигаться дальше? Очень ценю возможность получать Ваши ответы и не хотел бы ее потерять.

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1216012 писал(а):

Из каких соображений получено утверждение о бесконечной малости определенного порядка?

Ну хотя бы из тех, что если многочлен приблизить по Тейлору многочленом низшей степени, то утверждение окажется тривиально верным.

Для произвольных функций, естественно, сложнее. Но вот хотя бы на то, что поправка окажется много меньше всего предыдущего -- хоть на это-то почему бы и не надеяться?... -- Ну и нацеливаемся.