2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение07.05.2017, 10:31 


30/01/17
245
Моя исходная задача - твердое понимание/владение тем набором знаний, которые должны быть у любого будущего математика к моменту, когда ему нужно выбрать свою специализацию. Поставил я ее себе после прочтения всех тем, которые можно объединить под общим названием "Как стать математиком". Вывод из прочитанного - это очень сложно, требует много времни и рецепта нет. Поймав себя на том, что я не понимал что такое дифференциал(что это за зверь такой "линейная часть приращения..."), решил начать с самого начала, так что сейчас занимаюсь изучением мат. анализа по Фихтенгольцу и Демидовичу. Есть опасения, что не ту книгу выбрал: некоторые пишут, мол, устарел Фихтенгольц, но Зорича читать мне было сложно. Все сводилось к тому, что читаю Зорича - непонятно, читаю тоже в Фихтенгольце - понятно, возврвщаюсь обратно - понятно, но читать две книги очень долго, и путается в голове что из чего получилось в одной и во второй книге. В конце концов забросил Зорича. Вот думаю, не пожалею ли я об этом. Основной вопрос - это как выбирать упражнения из Демидовича, как узнать, что пора переходить к следующей теме, как проверить, что все, что нужно, понял. Решая упражнения на нахождение пределов, я разобрался(как мне кажется) с тем что такое дифференциал, но это заняло очень много времени(было бы проще где-нибудь прочесть, но где?). Да и упражнения поощряли поиск приема, который сработает только в упражнениях определенного типа, а не понимание того, что такое дифференциал. Еще один вопрос - это нужно ли эти приемы знать/помнить. То, что мне просто необходимо знать сейчас - это как оценивать свои знания, чтобы понять что читать дальше и/или решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение07.05.2017, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я боюсь, вы не очень представляете себе  пропасть  дистанцию между "не понимать, что такое дифференциал" и "как стать математиком".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение07.05.2017, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ivan_B в сообщении #1214664 писал(а):
Поймав себя на том, что я не понимал что такое дифференциал(что это за зверь такой "линейная часть приращения...")

Это не определение, а сорт оф эвристика. В Зориче определение дифференциала не такое, в Фихтенгольце, думаю, тоже. Если бы вы прочитали определение то, думаю, вам бы было легче.

Можете почитать ещё эту тему на MSE, ну и тут пару тем было, посмотрите в поиске.

Насчёт оценки знаний вопрос очень тонкий и меня самого волнует. Адекватно и самому - никак. Читайте как читается и делайте ставку на то, что поняли хоть что-то, мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение07.05.2017, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Разница между двумя учебниками вот в чем. Фихтенгольц излагает матан максимально просто, не вводя понятий, которые для этого, по большому счету, не нужны. Поэтому у него получился легкий и понятный учебник. Зорич стремится вписать матан в широкий контекст, показать, что используемые там конструкции - частные случаи важных математических понятий (топологическое пространство, линейный оператор и т.д.). Поэтому у него получитлся трудный учебник, освоить который с нуля может лишь достаточно сильный читатель. Мое глубокое убеждение - с нуля нужно спокойно
проработать Фихтенгольца, а потом уже Зорича. Да, если лень прочесть две книги вместо одной - за изучение математики лучше вообще не браться.
Про дифференциал лучше создайте отдельную тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение07.05.2017, 23:55 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Я согласен с общими оценками от Anton_Peplov, но не думаю, что стоит прорабатывать всего Фихтенгольца целиком прежде чем переходить к Зоричу:
- Займет слишком много времени.
- Начиная с какого-то момента может быть скучновато и есть риск потерять мотивацию. Более современные концепции не только красивее, но и более вдохновляющие. Приятно и понятнее смотреть на разные вещи с общей точки зрения, а не передоказывать много раз одно и то же, но в разных видах и разных измерениях (например, формулы Ньютона-Лейбница, Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса, узнав только значительно позже, что все они покрываются общей формулой Стокса). Это известный эффект: надо подняться на одну-две ступеньки на следующий уровень абстракции, чтобы лучше понять то, что было на более низком уровне. Это не значит, что надо всегда идти сразу на более высокий уровень, но и слишком долго задерживаться на нижних уровнях - тоже плохо.
- Зорич может быть менее понятен если начинать его с нуля, но после некоторого вникания "в тему", можно уже спокойно переходить к нему и проблем с пониманием больше быть не должно.

Ivan_B, я бы посоветовал такой путь (как, собственно, и я в свое время делал):
- Первые четыре главы по Фихтенгольцу, вплоть до начала функций многих переменных.
- После этого переключаться на Зорича как основной учебник (сначала одномерный анализ на более современном уровне, потом многомерный уже сразу по Зоричу), возможно иногда подсматривая в Фихтенгольца за дополнительными примерами и объяснениями. Например, если что-то не очень понятно в изложении интеграла по Зоричу, посмотрите соответствующие главы во втором томе Фихтенгольца.
- Параллельно с Фихтенгольцем и Зоричем, и до многомерного анализа, обязательно нормальный курс алгебры, включая линейную алгебру.
- Также параллельно будет полезен Зельдович, Яглом "Высшая математика для начинающих физиков и техников" для неформальных объяснений и дополнительных иллюстраций, включая примеры из физики.

И, да, без нескольких учебников по каждой теме не обойтись, поэтому придется побороть "читать две книги очень долго, и путается в голове что из чего получилось в одной и во второй книге". Если вы серьезно относитесь к занятиям математикой, то часто придется прорабатывать два, три или даже больше учебников по каждой теме. Понимать несколько вариантов доказательств и изложений как раз очень важно, поскольку позволяет посмотреть с разных сторон на вводимые понятия и благодаря этому лучше их усвоить (это еще один известный эффект в дополнение к тому, что лучше и понятнее становится видно "сверху" при переходе на следующий уровень абстракции).

Если при этом что-то путается - больше продумывайте новые понятия и теоремы сами (причем не только "за столом", например вы тратите какое-то время каждый день на дорогу? а это отличное место думать над тем, что изучили до этого), решайте задачи, рисуйте для себя картинки и схемы что и откуда следует и с чем связано (видели как детективы в кино рисуют на доске списки улик и подозреваемых?), составляйте резюме/конспекты пройденных разделов не подглядывая в учебники, пробуйте объяснять другим... Методов повышения эффективности обучения очень много. Постарайтесь в них тоже вникнуть и понять, что лучше подходит именно вам (и здесь, как и с учебниками, тоже надо будет сочетать несколько методов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 00:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kp9r4d в сообщении #1214851 писал(а):
В Зориче определение дифференциала не такое, в Фихтенгольце, думаю, тоже.

Во всех них ровно это, и это одно и то же, и это именно стандарт.

И это -- физический стандарт: "в первом приближении всё в этой жизни линейно". Фихтенгольц это формулировал, возможно, несколько брутальнее. Но и Зорич, насколько помню, от этой традиции ни разу не отказывался. Просто приправлял её более новомодными словечками.

-- Пн май 08, 2017 01:35:22 --

Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):
Разница между двумя учебниками вот в чем. Фихтенгольц излагает матан максимально просто, не вводя понятий, которые для этого, по большому счету, не нужны. Поэтому у него получился легкий и понятный учебник. Зорич стремится вписать матан в широкий контекст, показать, что используемые там конструкции - частные случаи важных математических понятий (топологическое пространство, линейный оператор и т.д.).

Вы не учитываете всё же хронологию. Тут разница в десятилетия, притом далеко не в одно.

И есть сугубо методическая проблема: склонность математики развиваться к как можно большей абстрактности -- и альтернативная склонность прикладников предыдущую склонность игнорировать, ибо им жить нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 07:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ewert в сообщении #1214901 писал(а):
Во всех них ровно это, и это одно и то же, и это именно стандарт.

И это -- физический стандарт: "в первом приближении всё в этой жизни линейно". Фихтенгольц это формулировал, возможно, несколько брутальнее. Но и Зорич, насколько помню, от этой традиции ни разу не отказывался. Просто приправлял её более новомодными словечками.

Не знаю, для меня стандарт: "линейное отображение из касательного пространства точки в касательное пространство образа точки такое, что лучше всего приближает данное". Про "линейную часть приращения" я слышал только в школе и не понял тогда ничего абсолютно. Может это только у меня так и было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 12:11 


30/01/17
245
Munin в сообщении #1214843 писал(а):
Я боюсь, вы не очень представляете себе пропасть дистанцию между "не понимать, что такое дифференциал" и "как стать математиком".

Если подходить к вопросу формально, то все(в том числе теперешние математики) на определенном этапе этого не понимали. На то, чтобы стать математиком, я и не претендую, а вот пройти часть пути в этом направлении собираюсь(Да, если бы была возможность, я бы поступил на соответствующую специальность и все было бы проще) Когда я говорил о непонимании, то имел в виду непонимание в широком смысле. Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет. Таже история с определителем: дано определение, дальше идут простые рассуждения, которые описывают и доказывают свойства, и вот, пользуясь этими свойствами можно систему уравнений решить. Дальше идут упражнения: вычисляем определители. После этого все дружно говорят, что они поняли. С тем же успехом можно написать программу, которая определитель считает, а потом заявить, что компьютер "понимает" что такое определитель. Точно так же все "понимают" что такое число $e$. Я хочу сказать, что знание определения наизусть не дает понимания. Понимание же дает возможность сформулировать определение, когда есть понимание нет нужды помнить определение, его легко записать настолько строго, насколько это необходимо в данном конкретном случае.
Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):
Да, если лень прочесть две книги вместо одной - за изучение математики лучше вообще не браться.

Если бы у меня была великолепная память и бесконечное количество времени, я бы прочел и далеко не одну, чтобы ничего не упустить. Но... там огромный мир, там много красоты и хочется посмотреть как можно больше. Вывод: нужно поскорей двигаться вперед. Не сломя голову, чтобы на красоты посмотреть, но и не отвлекаясь детали, без которых можно обойтись. Об этом мой вопрос.
Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):
Про дифференциал лучше создайте отдельную тему.

Для самопроверки? Все что я смогу спросить - это правильно ли то, что я написал. Да и тем таких уже много. Кто-то даже писал, что, мол, вопросы про дифференциал уже оскомину набили.
Odysseus в сообщении #1214892 писал(а):
Я согласен с общими оценками от Anton_Peplov

Исходя из ответов, к Зоричу нужно вернуться, так и сделаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ivan_B
Не делайте слишком большую ставку на слово "понимание", в математике им оперируют не хуже, чем в политике оперируют словом "свобода". Иногда и зубрёжка весьма эффективна. И индукция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет.

Все не так. Обычно доказательство методом мат. индукции лишь делает рассуждение логически безупречным. А доказываемую им формулу сначала получают из иных соображений. Характерный пример: доказательство бинома Ньютона.
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Таже история с определителем: дано определение, дальше идут простые рассуждения, которые описывают и доказывают свойства, и вот, пользуясь этими свойствами можно систему уравнений решить.

И здесь все не так. Почитайте, например, лекцию $4$ из книги Тартышникова.
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Точно так же все "понимают" что такое число $e$.
Число $e$ имеет много разных определений, делающих прозрачным смысл этого числа. Например, это такое основание показательной функции, при котором ее производная совпадает с самой функцией.
Если вас плохо учили математике, то это не означает, что сама математика плоха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 12:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
знание определения наизусть не дает понимания

Конечно, не даёт. Понимание приходит лишь постепенно -- после энного к-ва свойств, следствий и упражнений. Но для этого сначала должно быть определение.

Пример с определителями очень характерен. Существует несколько (минимум три) стандартных исходных определений этого понятия, и ни одно из них не является изначально естественным и прозрачным. Ну тут ничего не поделаешь, штука-то нужная; остаётся лишь кушать что дают и постепенно привыкать.

-- Пн май 08, 2017 13:54:54 --

Brukvalub в сообщении #1215022 писал(а):
Например, это такое основание показательной функции, при котором ее производная совпадает с самой функцией.

Да, но тут проблема -- под это замечательное определение (действительно наиболее идейное) трудно выстроить курс. Поэтому подавляющее большинство народа предпочитает вычурное определение через последовательности.

(Я сам когда-то пытался определять через производные, но потом вынужден был отказаться -- плохо выходило. Но это на лекциях, а на практике я обязательно упоминаю это определение как вариант.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Но... там огромный мир, там много красоты и хочется посмотреть как можно больше. Вывод: нужно поскорей двигаться вперед. Не сломя голову, чтобы на красоты посмотреть, но и не отвлекаясь детали, без которых можно обойтись.
Определитесь - Вы хотите знать математику или почитать о математике. Если первое, то в первую очередь необходимо усвоить материал, не "плавать" в нем. А уж когда это сделано - любоваться красотами. Вот Зорич - это про красоты, а материал по нему осваивать трудно.
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Все что я смогу спросить - это правильно ли то, что я написал.
Ну и спросите. Это, в общем, и есть самый приятный тип вопроса - когда человек разбирается и хочет только убедиться, что разбирается.
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Да и тем таких уже много.
Раз много - почитайте их. Если после этого Ваши сомнения рассеются, тем лучше.
Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Кто-то даже писал, что, мол, вопросы про дифференциал уже оскомину набили.
Это личная проблема того, кому они ее набили. ПРР на то и ПРР, что здесь вопросы по учебному материалу.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):
Когда я говорил о непонимании, то имел в виду непонимание в широком смысле. Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет.
Мне знакомо это ощущение. Я бы описал его так. Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не шахматы. Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.
Именно это я сам чувствую в некоторых вопросах даже того же матана. Почему инвариантна форма только первого дифференциала, а не второго и так далее? Почему для дифференцируемости функции двух переменных недостаточно существования частных производных, а требуется еще их непрерывность? Я могу проследить доказательства доказанного и опровержения опровергнутого. Что там могу – я давно сделал это. Я согласен, что ходы сделаны по правилам. Но черт, я – не – понимаю – что – происходит!
Трудность в том, что "понимаю" - это ощущение, как добиться ощущения - вопрос неформализуемый. Я придумал следующие рецепты:

1. Выяснить геометрический/физический смысл. Например, я долго не понимал, что такое определитель. Выяснилось, что определитель - это (снабженный знаком) объем параллелепипеда, натянутого на вектора, координаты которых заданы матрицей (UPD: в $\mathbb R^n$, а то меня тут ниже пинают). Выяснять можно из учебников или задавая вопросы.

2. Просто попросить мотивировать определение. Откуда оно такое взялось и почему именно такое? Я так делал с определением размерности в общей топологии. Понял, не жалуюсь.

3. Конкретизировать свои вопросы. Допустим у меня нет ощущения, что я до конца понимаю, что такое производная. Придумаем конкретный вопрос про производную, ответа на который я не знаю. Для начала - правда ли, что производную можно заменить пределом средней скорости? Оказалось, что можно, если у функции нет устранимого разрыва. Что еще мне непонятно? Ну, допустим, кое-что про бесконечную производную (этот вопрос я не буду формулировать здесь, задам в соответствующей теме в свое время). Чем больше таких вопросов (главное - математически точных, на уровне "доказать или опровергнуть"), тем лучше. Глядишь, со всех сторон понятие обсосешь, ощущение понимания и появится.

4. Порешать задачи на доказательство. Обычно, когда чего-то не понимаешь, но не можешь выразить, чего именно, это непонимание выливается в конкретные затруднения при доказательствах. И тогда в ПРР можно задать вопрос "как доказать, что", слушать, что тебе подсказывают, и пошагово разбираться. Помогает.

5. Забить. Если не помогло ничего из вышеперечисленного, не исключено, что голову просто глючит, и никакого мистического "понимания", кроме того, которым ты уже обладаешь, не существует. В конце концов, математика - штука для человека новая в эволюционном масштабе времени, и никто не сказал, что все математические понятия должны быть для нашего разума так же легки и естественны, как "если уронить банан, он упадет". С другой стороны, и в самых естественных вещах можно при определенном настрое пытаться найти "скрытый смысл". Трудно ответить на вопрос, почему $2 + 2 = 4$ иначе, чем "по определению". Некоторые личности с философским складом ума всю жизнь медитируют на формулу $0 = 0$, но это не значит, что стоит уподобляться. Так можно всю жизнь гоняться за призраком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 14:17 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Ivan_B, а вот, например, $e^{i \pi} + 1 = 0$ это для вас абсолютно прозрачно или не совсем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1215040 писал(а):
1. Выяснить геометрический/физический смысл. Например, я долго не понимал, что такое определитель. Выяснилось, что определитель - это (снабженный знаком) объем параллелепипеда, натянутого на вектора, координаты которых заданы матрицей.

Теперь вам еще осталось выяснить, что это всего лишь широко разрекламированное заблуждение. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выбирать упражнения и оценивать свои знания
Сообщение08.05.2017, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Brukvalub в сообщении #1215066 писал(а):
Теперь вам еще осталось выяснить, что это всего лишь широко разрекламированное заблуждение. :D
Ну почему заблуждение.
Если у нас в $n$-мерном евклидовом пространстве введён ортонормированный базис, а мера введена стандартным образом и так, чтобы объём куба, натянутого на векторы базиса, был равен $1$, то объём любого параллелепипеда, натянутого на $n$ линейно независимых векторов, с точностью до знака равен определителю соответствующей матрицы.
Это неверное утверждение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group