Просьба. Учебник по теории множеств.

[arseniiv]

Никогда не лишне уточнить. А так-то, конечно, это всё теории первого порядка с языком $\{{=},{\in}\}$ и большим количеством общих теорем и в том числе аксиом.

[george66]

arseniiv в сообщении #1214592 писал(а):

Никогда не лишне уточнить. А так-то, конечно, это всё теории первого порядка с языком $\{{=},{\in}\}$ и большим количеством общих теорем и в том числе аксиом.

NBG - теория второго порядка с двумя сортами переменных (по множествам и по классам)

[arseniiv]

NBG, насколько помню, можно сформулировать с одним сортом переменных, сформулировав ограничения для схемы подстановки выделения по-другому, если вообще не заменить её конечным числом её следствий. Второй порядок — с чего бы?

[george66]

arseniiv в сообщении #1214609 писал(а):

NBG, насколько помню, можно сформулировать с одним сортом переменных, сформулировав ограничения для схемы подстановки выделения по-другому, если вообще не заменить её конечным числом её следствий. Второй порядок — с чего бы?

Ну, грубо говоря, если два этажа, то теория второго порядка, а если один, то первого. Формально в теориях второго порядка два сорта переменных и "простая" аксиома образования объектов второго порядка (в данном случае классов). В NBG, грубо говоря, классы можно делать почти без ограничений (но не каждый класс является множеством).

[arseniiv]

george66 в сообщении #1214620 писал(а):

Ну, грубо говоря, если два этажа, то теория второго порядка, а если один, то первого.

А если не грубо, то надо, чтобы были не предметные (а пропозициональные, предикатные или функциональные) переменные. А в NBG все переменные предметные, даже если формулировать её с двумя сортами.

george66 в сообщении #1214620 писал(а):

В NBG, грубо говоря, классы можно делать почти без ограничений (но не каждый класс является множеством).

Спасибо, знаю.

[george66]

По крайней мере, NBG можно считать теорией второго порядка, поверьте специалисту.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Восхитительно. Вообще, кстати, любая формула первого порядка является и формулой второго порядка, так что любая теория первого порядка является и теорией второго порядка, потому что логическое следствие в ограничении на формулы первого порядка в логике второго порядка остаётся тем же самым.

[Someone]

А нафиг в NBG нужны переменные двух сортов? Кроме некоторого удобства для читателя. Там же исходным понятием является класс, а множество — определяемое понятие.

[george66]

Борюсь с искушением объяснять сложные вещи. Например, есть результат "NBG не сильней ZF". Это значит, любая формула, не содержащая переменных по классам (то есть, формула ZF) доказуема в NBG если и только если она доказуема в ZF. Так вот, реально это неправда. Переменные по классам позволяют записывать выводы короче. Есть доказательства, которые можно выписать в NBG, но нельзя реально выписать в ZF (при переводе выводов NBG в выводы ZF длина вывода растёт ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО)

[Xaositect]

Я в паре статей видел хорошее терминосочетание "теория первого порядка в языке второго порядка" (применительно к системам из reverse mathematics), вот NBG под него тоже замечательно подходит, ибо формировать классы можно не для произвольных предикатов, а по сути только для выразимых формулами.

[Someone]

george66 в сообщении #1214881 писал(а):

Есть доказательства, которые можно выписать в NBG, но нельзя реально выписать в ZF (при переводе выводов NBG в выводы ZF длина вывода растёт ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО)

Фиг с ней, пускай растёт. Главное — что вывод существует. Пусть и настолько длинный, что его нельзя написать на бумаге по причине недостатка оной.

george66 в сообщении #1214881 писал(а):

Например, есть результат "NBG не сильней ZF".

Мне почему-то припоминается противоположное утверждение: сильнее, но ненамного. "Ненамного" в том смысле, что ZFC + аксиома существования сильно недостижимого кардинала может определить модель NBG.

[Xaositect]

Someone в сообщении #1215119 писал(а):

Мне почему-то припоминается противоположное утверждение: сильнее, но ненамного. "Ненамного" в том смысле, что ZFC + аксиома существования сильно недостижимого кардинала может определить модель NBG.

Нет, не сильнее, в смысле NBG консервативна над ZFC. Для того, чтобы построить модель ZFC тоже ведь нужен недостижимый кардинал

[george66]

Давайте для смеха дам ещё несколько оригинальных учебников

New Foundations
Теория, в которой есть множество всех множеств $U$ и можно образовать множество всех его подмножеств $P(U)$, но оно не больше $U$, потому что подмножества можно образовывать не по любым формулам. Ещё там есть ординал всех ординалов. Теория ничем не хуже ZF, при другом стечении обстоятельств могла бы быть главной.

Антифундированные множества
Аксиома фундированности заменяется на прямо противоположную. Существуют бесконечные убывающие цепочки по включению, существует множество, являющееся единственным элементом самого себя и т.п.

Инфинитезимальный анализ
Теория множеств для нестандартного анализа, в котором есть бесконечно большие натуральные числа, которые Лейбниц делил друг на друга. Самая живая часть теории множеств!

[Vitte]

Господа, я снова встрял. В некоторых учебниках считается, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел, в некоторых нет. Как с этим быть, и какой литературе верить?

P.S.: Нахожусь ещё в самом начале изучения, поэтому не могу сам провести серьёзный анализ, хорошо или плохо считать ноль натуральным числом.

[kp9r4d]

Vitte
Есть две традиции, но по мне весьма логично считать $0$ натуральным. Это согласуется и с высокой теорией, и с педагогической традицией (дети в детском саду уже знают что такое $0$ но могут не знать что такое $-1$) и с опытом программирования (у кого он есть, тот поймёт) ^^