2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 20:12 


10/12/15
8
Сразу замечу, что данное обобщение теоремы Ферма не является ни новым методом ее доказательства, ни открытием Америки; по большому счету, это скорее забавное следствие из ВТФ, позволяющее ее обобщить до матриц. Мы можем возводить матрицы в степень и складывать их, поэтому сформулировать для них ВТФ не трудно.
Итак, постановка теоремы следующая: "Не существует таких целочисленных матриц X, Y, Z, для которых бы выполнялось соотношение $X^n+Y^n=Z^n$, для $\forall$n>2"

Доказательство (Для случая n=3 и порядка матрицы 2х2) от противного:
Пусть $\exists$X, Y, Z, и пусть,
$X=\begin{pmatrix}
 a_1 & b_1  \\
 c_1 & d_1  \\ 
\end{pmatrix}
Y=\begin{pmatrix}$
 a_2 & b_2  \\
 c_2 & d_2  \\ 
\end{pmatrix}$
Z=\begin{pmatrix}
 a_3 & b_3  \\
 c_3 & d_3  \\ 
\end{pmatrix}$
и выполняется соотношение $X^3+Y^3=Z^3$.
Умножим слева обе части уравнения на $A^3$, где
$A=\begin{pmatrix}
 1 & 0  \\
 0 & 0  \\
\end{pmatrix}$, ($A^3\ne0$)
Получим: $(AX)^3+(AY)^3=(AZ)^3$ (*)
В свою очередь, $AX=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & d_1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}$, аналогично и AY, AZ
равны матрицам, в которых только первая строчка сохраняется ненулевой.
Т.к. $$\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix}
a^3 & a^2 b \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix},$$
То для исходного уравнения ВТФ (*) для n=3 получаем:
$$\begin{pmatrix}
a_1^3 & a_1^3 b_1  \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a_2^3 & a_2^2 b_2  \\
0 & 0 \\ 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_3^3 & a_3^2 b_3 \\
0 & 0 \\ 
\end{pmatrix},$$
из которого очевидно должно выполняться соотношение $a_1^3+a_2^3=a_3^3$. Но так как матрицы X,Y,Z - целочисленные, то $a_1,a_2,a_3$\in\mathbb{Z}$, для которых сумма кубов не равна кубу согласно обычной, "числовой" ВТФ. Следовательно, таких матриц, удовлетворяющих уравнению (*), не существует, ч.т.д..

Легко обобщить ВТФ на матрицы любого порядка и любой степени. В доказательстве также нужно брать матрицу А такую, чтобы только первый элемент ее был равен единице, а остальные - нулям. Тогда AX, AY, AZ также будут состоять лишь из первой строки, остальные обратятся в нули. И эти матрицы в степени n будут такими, что их первые элементы будут равны $a_i^n$, и доказательство также сводится к классической ВТФ для первых элементов матриц.
Мне это следствие крайне понравилось, поэтому решил с Вами поделиться ею. Не знаю, делал ли кто-нибудь подобное ранее; лично меня на это сподвигло знакомство с экспонентой матрицы и тригонометрическими функциями от матриц. Меня это ввело в такой когнитивный диссонанс, что я решил позабавить себя тем, чтобы обобщать все подряд для матриц :)

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 20:18 
Модератор


20/03/14
7804
Проверьте для
$X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$
Если после этого потребность в обсуждении не отпадет, оформите все формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 21:43 


10/12/15
8
Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 21:50 
Модератор


20/03/14
7804
Зато сами матрицы $X, Y$ ненулевые. По аналогии с числами, именно этот случай должен был называться нетривиальным. Если у Вас на матрицы накладываются дополнительные условия, об этом надо говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5929
Andrey Bogatyryov в сообщении #1213192 писал(а):
Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.
А как насчет $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 + \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 $?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4901
Andrey Bogatyryov в сообщении #1213182 писал(а):
Получим: $(AX)^3+(AY)^3=(AZ)^3$

Вы рассматриваете только матрицы, которые коммутируют с $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 22:33 


10/12/15
8
Xaositect в сообщении #1213200 писал(а):
Andrey Bogatyryov в сообщении #1213192 писал(а):
Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.
А как насчет $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 + \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 $?

А вот это уже аргумент. Видимо, я поспешил вот с этим: $A^3*X^3=(A*X)^3$. Ну, что же, это даже очень круто, что есть такие матрицы))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group