2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 20:12 
Сразу замечу, что данное обобщение теоремы Ферма не является ни новым методом ее доказательства, ни открытием Америки; по большому счету, это скорее забавное следствие из ВТФ, позволяющее ее обобщить до матриц. Мы можем возводить матрицы в степень и складывать их, поэтому сформулировать для них ВТФ не трудно.
Итак, постановка теоремы следующая: "Не существует таких целочисленных матриц X, Y, Z, для которых бы выполнялось соотношение $X^n+Y^n=Z^n$, для $\forall$n>2"

Доказательство (Для случая n=3 и порядка матрицы 2х2) от противного:
Пусть $\exists$X, Y, Z, и пусть,
$X=\begin{pmatrix}
 a_1 & b_1  \\
 c_1 & d_1  \\ 
\end{pmatrix}
Y=\begin{pmatrix}$
 a_2 & b_2  \\
 c_2 & d_2  \\ 
\end{pmatrix}$
Z=\begin{pmatrix}
 a_3 & b_3  \\
 c_3 & d_3  \\ 
\end{pmatrix}$
и выполняется соотношение $X^3+Y^3=Z^3$.
Умножим слева обе части уравнения на $A^3$, где
$A=\begin{pmatrix}
 1 & 0  \\
 0 & 0  \\
\end{pmatrix}$, ($A^3\ne0$)
Получим: $(AX)^3+(AY)^3=(AZ)^3$ (*)
В свою очередь, $AX=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & d_1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}$, аналогично и AY, AZ
равны матрицам, в которых только первая строчка сохраняется ненулевой.
Т.к. $$\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix}
a^3 & a^2 b \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix},$$
То для исходного уравнения ВТФ (*) для n=3 получаем:
$$\begin{pmatrix}
a_1^3 & a_1^3 b_1  \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a_2^3 & a_2^2 b_2  \\
0 & 0 \\ 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_3^3 & a_3^2 b_3 \\
0 & 0 \\ 
\end{pmatrix},$$
из которого очевидно должно выполняться соотношение $a_1^3+a_2^3=a_3^3$. Но так как матрицы X,Y,Z - целочисленные, то $a_1,a_2,a_3$\in\mathbb{Z}$, для которых сумма кубов не равна кубу согласно обычной, "числовой" ВТФ. Следовательно, таких матриц, удовлетворяющих уравнению (*), не существует, ч.т.д..

Легко обобщить ВТФ на матрицы любого порядка и любой степени. В доказательстве также нужно брать матрицу А такую, чтобы только первый элемент ее был равен единице, а остальные - нулям. Тогда AX, AY, AZ также будут состоять лишь из первой строки, остальные обратятся в нули. И эти матрицы в степени n будут такими, что их первые элементы будут равны $a_i^n$, и доказательство также сводится к классической ВТФ для первых элементов матриц.
Мне это следствие крайне понравилось, поэтому решил с Вами поделиться ею. Не знаю, делал ли кто-нибудь подобное ранее; лично меня на это сподвигло знакомство с экспонентой матрицы и тригонометрическими функциями от матриц. Меня это ввело в такой когнитивный диссонанс, что я решил позабавить себя тем, чтобы обобщать все подряд для матриц :)

 
 
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 20:18 
Проверьте для
$X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$
Если после этого потребность в обсуждении не отпадет, оформите все формулы.

 
 
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 21:43 
Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.

 
 
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 21:50 
Зато сами матрицы $X, Y$ ненулевые. По аналогии с числами, именно этот случай должен был называться нетривиальным. Если у Вас на матрицы накладываются дополнительные условия, об этом надо говорить.

 
 
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 22:03 
Аватара пользователя
Andrey Bogatyryov в сообщении #1213192 писал(а):
Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.
А как насчет $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 + \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 $?

 
 
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 22:15 
Аватара пользователя
Andrey Bogatyryov в сообщении #1213182 писал(а):
Получим: $(AX)^3+(AY)^3=(AZ)^3$

Вы рассматриваете только матрицы, которые коммутируют с $A$?

 
 
 
 Re: ВТФ для матриц
Сообщение29.04.2017, 22:33 
Xaositect в сообщении #1213200 писал(а):
Andrey Bogatyryov в сообщении #1213192 писал(а):
Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 &  1 \\0 &  0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.
А как насчет $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 + \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 $?

А вот это уже аргумент. Видимо, я поспешил вот с этим: $A^3*X^3=(A*X)^3$. Ну, что же, это даже очень круто, что есть такие матрицы))

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group