ВТФ для матриц

[Andrey Bogatyryov]

Сразу замечу, что данное обобщение теоремы Ферма не является ни новым методом ее доказательства, ни открытием Америки; по большому счету, это скорее забавное следствие из ВТФ, позволяющее ее обобщить до матриц. Мы можем возводить матрицы в степень и складывать их, поэтому сформулировать для них ВТФ не трудно.
Итак, постановка теоремы следующая: "Не существует таких целочисленных матриц X, Y, Z, для которых бы выполнялось соотношение $X^n+Y^n=Z^n$, для $\forall$n>2"

Доказательство (Для случая n=3 и порядка матрицы 2х2) от противного:
Пусть $\exists$X, Y, Z, и пусть,
$X=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \\ \end{pmatrix} Y=\begin{pmatrix}$ a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \\ \end{pmatrix}$ Z=\begin{pmatrix} a_3 & b_3 \\ c_3 & d_3 \\ \end{pmatrix}$
и выполняется соотношение $X^3+Y^3=Z^3$.
Умножим слева обе части уравнения на $A^3$, где
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, ($A^3\ne0$)
Получим: $(AX)^3+(AY)^3=(AZ)^3$ (*)
В свою очередь, $AX=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, аналогично и AY, AZ
равны матрицам, в которых только первая строчка сохраняется ненулевой.
Т.к.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix} a^3 & a^2 b \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},$$

То для исходного уравнения ВТФ (*) для n=3 получаем:

$$\begin{pmatrix} a_1^3 & a_1^3 b_1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_2^3 & a_2^2 b_2 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_3^3 & a_3^2 b_3 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},$$

из которого очевидно должно выполняться соотношение $a_1^3+a_2^3=a_3^3$. Но так как матрицы X,Y,Z - целочисленные, то $a_1,a_2,a_3$\in\mathbb{Z}$, для которых сумма кубов не равна кубу согласно обычной, "числовой" ВТФ. Следовательно, таких матриц, удовлетворяющих уравнению (*), не существует, ч.т.д..

Легко обобщить ВТФ на матрицы любого порядка и любой степени. В доказательстве также нужно брать матрицу А такую, чтобы только первый элемент ее был равен единице, а остальные - нулям. Тогда AX, AY, AZ также будут состоять лишь из первой строки, остальные обратятся в нули. И эти матрицы в степени n будут такими, что их первые элементы будут равны $a_i^n$, и доказательство также сводится к классической ВТФ для первых элементов матриц.
Мне это следствие крайне понравилось, поэтому решил с Вами поделиться ею. Не знаю, делал ли кто-нибудь подобное ранее; лично меня на это сподвигло знакомство с экспонентой матрицы и тригонометрическими функциями от матриц. Меня это ввело в такой когнитивный диссонанс, что я решил позабавить себя тем, чтобы обобщать все подряд для матриц :)

[Lia]

Проверьте для
$X=Y=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{pmatrix}$
Если после этого потребность в обсуждении не отпадет, оформите все формулы.

[Andrey Bogatyryov]

Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.

[Lia]

Зато сами матрицы $X, Y$ ненулевые. По аналогии с числами, именно этот случай должен был называться нетривиальным. Если у Вас на матрицы накладываются дополнительные условия, об этом надо говорить.

[Xaositect]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1213192 писал(а):

Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.

А как насчет $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 + \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 $?

[grizzly]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1213182 писал(а):

Получим: $(AX)^3+(AY)^3=(AZ)^3$

Вы рассматриваете только матрицы, которые коммутируют с $A$?

[Andrey Bogatyryov]

Xaositect в сообщении #1213200 писал(а):

Andrey Bogatyryov в сообщении #1213192 писал(а):

Случай $X=Y=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{pmatrix}$ - тривиален, так как $X^3, Y^3$ - нулевые матрицы.

А как насчет $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 + \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^3 $?

А вот это уже аргумент. Видимо, я поспешил вот с этим: $A^3*X^3=(A*X)^3$. Ну, что же, это даже очень круто, что есть такие матрицы))