Дифференциальные формы в физике

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1202960 писал(а):

Ну а что поделать.

Не называть это скалярным произведением. Почему бы не назвать "псевдоскалярным" ?

Https://ru.wikipedia.org/wiki/Псевдоевклидово_пространство писал(а):

Псе́вдоевкли́дово простра́нство — конечномерное вещественное векторное или аффинное пространство с невырожденным индефинитным скалярным произведением, которое называют также индефинитной метрикой. Индефинитная метрика не является метрикой в смысле определения метрического пространства, а представляет собой частный случай метрического тензора.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1202990 писал(а):

Не называть это скалярным произведением. Почему бы не назвать "псевдоскалярным" ?

Можно, когда человек педант. Но в физике это ненужное многословие, которое просто мешает. Например, мы рассматриваем теорию, в которой всюду одно сплошное "псевдо-". Если его везде произносить, то даже объём текста вырастет на 25 %!

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1202995 писал(а):

Если его везде произносить, то даже объём текста вырастет на 25 %!

А что, в тексте ничего другого, кроме "скалярное произведение" нигде нет? Ta же

Википедия писал(а):

Псе́вдори́маново многообра́зие — многообразие, в котором задан метрический тензор (квадратичная форма), невырожденный в каждой точке, но не обязательно положительно определённый. Обычно предполагается, что сигнатура метрики постоянна (в случае связного многообразия это автоматически следует из условия невырожденности).

Ну, да ладно, можно где нибудь в предисловии указать, что "для простоты мы будем называть .... " Если это не сделать, некоторые будут думать что разные няшечки из линейной алгебры в евклидовых пространствах остаются... ан нет. А то и начнут думать об анализе в таких пространствах. Он действительно существует. Гуглим "псевдогильбертово пространство". И Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодоров "Общие принципы квантовой теории поля". И авторы называют это пространство псевдогильбертовым. ПС. Речь идет он индефинитной метрики без указания сигнатуры.

[g______d]

"Лоренцево произведение" не то что бы и длиннее. В книге "Глобальная Лоренцева геометрия" Бима и Эрлиха так и говорят.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1203003 писал(а):

"Лоренцево произведение"

И это будет точнее, поскольку указывает сигнатуру

[Munin]

Вот так всегда. Соберутся физики поговорить между собой на своём жаргоне, - нет, набегут математики, и будут  этими же пальцами  указывать, что говорить правильно, а что - неправильно.

Поймите, когда люди говорят между собой - для них всё правильно, если они друг друга понимают. И слова, которые не точны, но обращаются к удобной интуиции, предпочтительны.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1203013 писал(а):

Поймите, когда люди говорят между собой - для них всё правильно, если они друг друга понимают. И слова, которые не точны, но обращаются к удобной интуиции, предпочтительны.

Да исполать. Только помните, что кое-каких полезных свойств уже нет.

[Munin]

Каких, например? Впрочем, это офтопик.

[maximav]

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):

я только что это сделал, и моей радости нет предела Именно сделав эти преобразования координат я понял сущность векторов и ковекторов, и то что понятие это относительно, и зависит от того какой базис мы преобразовываем

misha.physics в сообщении #1202559 писал(а):

значит, вообще говоря, скалярное произведение двух векторов не имеет смысла, нужно говорить о скалярном произведении вектора на ковектор? Или когда говорят о скалярном произведении двух векторов то подразумевают, что один из этих векторов заменен на соответствующий ковектор, но все равно называют этот скалярный инвариант произведением двух векторов?

Вы фактически сейчас поняли, что такое функционал. Это хорошо, но не увлекайтесь выплескиванием младенца с водой, вытесняя сущность инструкцией/названием. Да действительно, не только скалярно можно умножать только вектор на ковектор, но и, строго говоря, скалярного произведения двух элементов одного векторного пр-ва (векторов) даже не существует; функционалы первичны. Построить скалярную величину из координат двух векторов просто и не получится, если вы имеете на руках исключительно голое векторное пространство $V$. Любое такое пространство не просто голое, но и абсолютно бесполезное, поскольку именно из-за того, что на нем ничего нельзя посчитать, оно безжизненно даже для математики, не только физики. Все, что вы в нем сможете - это переписывать вектора из одного базиса в другой, ну и "радоваться/вычислять" какая у пр-ва размерность . В таком виде оно нечто вроде голого множества, с которым ничего не сделаешь. Смыслы - математические и физические - возникают только после естественного желания/необходимости иметь инвариантные/скалярные числовые величины (углы, работы, вероятности и т.д.), являющиеся функциями от элементов такого пространства. Ясно, что иметь нечто, не являющееся инвариантым числом было бы бессмыслицой. Поэтому их так и называют скалярами/инвариантами. Эти числа и есть те самые, что вам тут объясняли как значения функционалов. Но не забывайте, что первичность - в (числовой) скалярности, быть может дифференциальной. Она все также будет называться уже знакомым вам функционалом. Линейность у нас сейчас само собой подразумевающаяся: линейный функционал = просто линейная функция. Слово функционал для того, чтобы обозначить, что это не просто функция от аргументов, а от объектов, являющихся элементами некоторой структуры; например, векторного пр-ва. Да и вид этой функции постоянно меняется. Записи ее через координаты с нижними индексами - это представление этой функции, когда аргумент берется через свое представление в $V$: набора координат с верхними индексами. Если, далее, вы начнете рассматривать всякие звездочки Ходжа или, как запросили в начале темы, скажем, формы типа объемов $\sqrt{\det g\,}\cdot dx^1 \wedge dx^2 \wedge\cdots\wedge dx^N$, то формальное определение отрезает центральную задумку/идеологию (ну-ка, примите здесь, как естественную, конструкцию-функционал), в то время как "незабывание" про скалярный тип не даст запутаться и вы сможете расшифровывать определения и терминологию других. Добавлю еще, теория тензоров/форм имеет чисто алгебраическую сторону и дифференциально-геометрическую. Зная про первую, можно не знать про вторую, хорошо оперировать всякими $\otimes$-произведениями и их (анти)симметризациями. Но я догадываюсь, что вам нужна, в силу ОТО, именно вторая, поэтому вы можете идти даже более коротким путем. Масса физиков (да и небось "Леви-Чивиты"), так и справляются на таком языке. Там по-прежнему можно "не учить" слово функционал, но хорошо осознавать, что есть "отрезок со стрелочкой", преобразующийся как градиент, а есть и другого типа "стрелочка"; как векторное поле. Более менее этого будет достаточно. Вам виднее, что больше нужно и в какой момент. Соображения выше про склярность как были, так и остаются. Это, кстати, в точности и называется инвариантное/бескоординатное описание/определение. В общем, здесь все просто. Понять - вопрос времени и здесь вам помогут.

[Munin]

maximav в сообщении #1203103 писал(а):

Вы фактически сейчас поняли, что такое функционал.

На самом деле, нет. Функционал - штука намного более крутая, чем линейный функционал.

[maximav]

misha.physics в сообщении #1202268 писал(а):

Просто их одинаковыми буквами позначают, вот и я построил аналогию с функцией $y=y(x)$

Сколько себя помню, воюю с этим. Даже иногда с самим собой. Сначала пишите всегда длинно и полностью, сокращать научитесь со временем. Потом, как Наполеон, будете утверждать в кодексах типа "писать законы надо коротко и мутно" ... что собственно и делаю математики

-- 24.03.2017, 17:49 --

Munin в сообщении #1203112 писал(а):

На самом деле, нет. Функционал - штука намного более крутая, чем линейный функционал.

Я думаю ТС пока с головой информации хватит. Если он вдруг не запросит что-нибудь про полевую теорию струн "ребята, там что, функционал функционалов?"

[arseniiv]

Функционал — это отображение в кольцо. В частном случае в поле. В частном случае в поле $\mathbb R$ или $\mathbb C$. В частном случае, в поле скаляров интересующего векторного пространства (которое в данном случае как раз $\mathbb R$).

[misha.physics]

maximav, спасибо за широкое обьяснение.
Я очень ценю Вашу (всех участников этой темы) готовность помогать, и обьяснять.

[misha.physics]

Наконец дошел к метрическому тензору в книге Рашевского. "Нашел" замечательное свойство свертки ковариантного с контравариантным метрическими тензорами. При расчетах можно не беспокоится в каком порядке записаны индексы, если встречаются два одинаковых индекса (один внизу и один вверху), то результат всегда будет равен символу Кронекера с двумя свободными индексами. То есть
$g^{ip}g_{pk}=g_{kp}g^{pi}=g^{pi}g_{kp}=g_{pk}g^{ip}=g^{pi}g_{pk}=g_{pk}g^{pi}=g^{ip}g_{kp}=g_{kp}g^{ip}=\delta ^i_k$
И все это получается из двух требований: $g_{ik}=g_{ki}$ и $g^{ip}g_{pk}=\delta ^i_k$, ну и ёще из невырожденности.
А то я раньше всегда проверял чтобы индексы стояли так чтобы строка первой матрицы умножалась на столбец второй :) Наибольше меня беспокоило что оба индекса суммирования не обязательно должны быть внутренними или внешними.
Вообще за последние дни я более уверенно начал чувствовать себя в этих индексных обозначениях, мне это даже нравиться, это изящно
Кстати в Рашевском мне не очень понравилось обозначение для матриц прямого и обратного перехода с помощью штрихов над верхним или над нижним индексами. Я у себя обозначаю просто $A^i_k$ и $B^m_n$, а для координат в новой системе использую "тильду".

Пока не понятно как записать тензор как обьект с помощью его координат и базисных векторов (как, например, $\vec x=x^i\vec e_i$). Где-то читал о прямом произведении, но пока не вникал.

Кстати, в Рашевском я впервые нашел то определение линейной, биллинейной и т.д функций где у меня не возникло путаницы, которой я раньше Вас мучил. Теперь когда я в этом разобрался, мне действительно кажется что удобно обозначать функционал и его значение той же буквой (если речь идет о значение, то в скобках пишем аргумент). (То, как я пришел к этому пониманию было некоторой "подпоркой", и теперь необходимось в ней отпала, теперь я это понимаю инстиктивно и даже недоумываю как это вначале вызывало у меня трудности. Это чем-то напоминает то о чем говорил Пенроуз в книге "Путь к реальности", и я с ним полностью согласен).

И ёще что меня немного потрясло в Рашевском, это как мы строим афинное пространство, как множество векторов и точек. Надеюсь я правильно понял что здесь под "вектором" понимается именно "обьект со стрелочкой :)" а не вообще елемент векторного пространства (например, матрица $n\times n$ или многочлен степени $n$. Как я понял, афинное пространство, это когда мы берем векторное простанство "обычних векторов со стрелочкой", и "рассматриваем" множество точек как начала и концы векторов.

А из линейной алгебры ёще не понятно чем отличается линейное пространство геометрических векторов и координатное пространство $K_n$. Возникает вопрос, а можно ли рассматривать елементы координатного пространство как обычние векторы? Ведь и те и другие задаються набором $n$ чисел. Но в таком случае в книге Ефимова их бы не рассматривали как различные примеры векторных простраств (я так думаю).

[Metford]

misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):

Пока не понятно как записать тензор как обьект с помощью его координат и базисных векторов (как, например, $\vec x=x^i\vec e_i$). Где-то читал о прямом произведении, но пока не вникал.

А вникнуть придётся, если Ваша цель - внешние формы.

misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):

А из линейной алгебры ёще не понятно чем отличается линейное пространство геометрических векторов и координатное пространство $K_n$.

Я сейчас не могу с ходу найти определение, которое даёт Ефимов. Но по-моему после того, как Вы задали векторы их координатами, Вам уже неважно, что это было изначально. Есть $n$ чисел в определённой последовательности, для которых определены некоторые действия. Вы ведь читали, что такое изоморфизм пространств?