Дифференциальные формы в физике

[misha.physics]

Здравствуйте. Читая "Гравитацию" МТУ, первый раз столкнулся с дифференциальными формами, пока что только с 1-формой. Иллюстрация в виде конфигурации поверхностей волн де Бройля оказалась для меня совсем непонятной (или я неправильно понял). Понял только, что это геометрический обьект, который работает как "машина": вводим вектор, и на выходе получаем действительное число, и что машина эта линейна. Может надо было читать дальше и понимание пришло бы потом, на примерах. Но я решил посмотреть в других книгах, нашел что-то похожее под тегами "теория гомологий", "внешние дифференциальные формы", "дифференциальное исчисление тензоров"...
И собственно вопрос: что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО? А то боюсь утонуть в этой науке (дифференциальной геометрии). Может она проще чем мне кажется, но иллюстрация в МТУ на примере плоскостей, которые пересекает вектор меня запутала. С другой стороны формальное математичесское определения через какие-то сечения и расслоения мне тоже непонятны. Не знаю, может мне нужны только практические умения, считать?

[Metford]

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):

иллюстрация в МТУ на примере плоскостей, которые пересекает вектор меня запутала

Мне этот подход тоже не понравился, когда я с ним впервые столкнулся. Потом я о нём забыл, о чём ещё ни разу не пожалел.

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):

что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО?

Ну, само понятие дифференциальной формы и того, как их дифференцировать и интегрировать, очень полезно. Могу посоветовать книгу Н.В. Ефимова "Введение в теорию внешних форм", а когда хотя бы две трети этой книги в голове улягутся - книгу С.П. Новикова и И.А. Тайманова "Современные геометрические структуры и поля". В этих двух книгах всё очень понятно написано.

[warlock66613]

Мне нравится книга с весьма красноречивым названием: "Геометрические методы математической физики". Автор Б. Шутц. По-моему весьма доходчиво написано.

[Munin]

Metford в сообщении #1201506 писал(а):

Мне этот подход тоже не понравился, когда я с ним впервые столкнулся. Потом я о нём забыл, о чём ещё ни разу не пожалел.

Для меня это был и остаётся (почти) единственный способ думать о внешних формах и дифформах.

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):

И собственно вопрос: что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО?

Только то, что написано в МТУ. Этим можете ограничиться. Но там в конце 1 тома достаточно увесистый прогон на все эти темы.

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):

Может она проще чем мне кажется, но иллюстрация в МТУ на примере плоскостей, которые пересекает вектор меня запутала. С другой стороны формальное математичесское определения через какие-то сечения и расслоения мне тоже непонятны. Не знаю, может мне нужны только практические умения, считать?

Сечения и расслоения вам сейчас тоже не нужны.

Вопрос такой. Вы читали ЛЛ-2. Помните там, что такое ковариантный тензор (тензор с только нижними индексами)?

Так вот, если взять чисто ковариантный тензор, и к тому же антисимметризовать его по всем перестановкам индексов, то получится ровно то самое, что называется:
- внешняя форма, если берём тензор в точке, или в отдельном векторном пространстве;
- дифференциальная форма, если берём тензорную функцию на многообразии (в пространстве с аффинной связностью - символами Кристоффеля).

А то, что пишут МТУ, - это некий способ "визуализировать" это дело, придать ему наглядный геометрический образ, чтобы про него было удобней "рассуждать на пальцах".

Можете ограничиться умением считать. Но полезно этот (или другой) образ освоить, и связать его с расчётом, разобрав какие-то простые примеры. Есть на эту тему книжка (подозреваю, Metford она не понравится)
Burke. Div, grad, curl are dead. (web draft II, October 1995)

[Metford]

Munin в сообщении #1201517 писал(а):

Есть на эту тему книжка

Не видел. Нужно будет посмотреть. Но даже если мне не понравится - ну и ладно. Я ведь никакой не образец.

Munin в сообщении #1201517 писал(а):

- дифференциальная форма, если берём тензорную функцию на многообразии

На касательном пространстве к многообразию в рассматриваемой точке - для 1-формы. С соответствующим развитием для $k$-форм.

Munin в сообщении #1201517 писал(а):

Но полезно этот (или другой) образ освоить, и связать его с расчётом, разобрав какие-то простые примеры.

Таких примеров в двух упомянутых мной книгах достаточно. Но сравнивать книги не могу по уже указанной причине.

[misha.physics]

Metford, warlock66613, спасибо за рекомендуемые книги.
Первую начал читать, пока только до места о сопряженных пространствах и взаимных базисах. И вот возник вопрос, ковариантными координатами тензора называют величины $T_{i,j,k...}$, єто если в базисе $\boldsymbol{e_i}$? А в $\boldsymbol{e^i}$ тогда как? Просто я нигде не видел чтобы ковариантные компоненты обозначались как $T^{i,j,k...}$, значит всегда имеют ввиду только $\boldsymbol{e_i}$? Но ведь вводят взаимные базисы, и в "Будаке-Фомине" написано что координата вектора $x^i$ может быть ковариантной или контравариантной в зависимости от базиса.
Munin, с тензорами в ЛЛ2 я еще не знакомился. Ковариантный тензор для меня означает пока только что: это обьект координаты которого при переходе от старой системы координат к новой преобразуются с помощью матриц прямого перехода от старого базиса к новому. Но это мне мало о чем говорит, чтобы понять, например, почему внешняя форма это только чисто ковариантный тензор. И еще непонятно различие между "отдельным векторным пространством" и многообразием, а значит и различие между внешней и дифференциальными формами.
Так что буду пока читать МТУ, и может загляну в Шутца, вроде на пальцах обьясняют.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):

почему внешняя форма это только чисто ковариантный тензор

По определению.

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):

ковариантными координатами тензора называют величины $T_{i,j,k...}$, єто если в базисе $\boldsymbol{e_i}$?

Нет. Понимаете, вектор существует, ничего не зная о том, в какой системе координат мы его хотим рассматривать. Если мы выбрали некоторую систему координат, то в ней у вектора есть вполне определённые координаты. И если мы захотим поменять систему координат, то существует вполне определённая связь старых координат с новыми. Выбрали Вы, допустим, базис $\{e_i\}$. В нём для вектора $x$ (стрелочку не ставлю: для элементов произвольного линейного пространства не принято) $x=x^ie_i$. По немому - т.е. повторяющемуся - индексу проводится суммирование. При этом индексы, по которым суммируют должны находиться один сверху, другой - снизу. Это правило, которое делает запись удобной в использовании. Так вот теперь если Вы захотите перейти к другому базису, то базисные векторы преобразуются с помощью матрицы перехода, а компоненты $x^i$ - с помощью обратной матрицы перехода. Сам вектор $x$ при этом никаких изменений не испытывает, как и должно быть (напоминаю, ему всё равно, из какой системы координат мы на него смотрим). Эти компоненты контравариантные.

С каждым линейным пространством связывают сопряжённое ему, элементы которого - линейные функционалы, действующие на данном линейном пространстве. Для них тоже можно ввести координаты. Но они будут преобразовываться при выборе нового базиса с помощью прямой матрицы перехода, поэтому их принято записывать с нижними индексами - как базисные векторы $e_i$ в примере выше. Соответственно, и запись будет другая: $f=f_ie^i$. Теперь $e^i$ - взаимный базис, его обычно для удобства выбирают так, что $e^i(e_k)=\delta_k^i$. Никакой особой премудрости. Куча соглашений.

[Red_Herring]

А кто такой МТУ?

[Slav-27]

Быстрое введение в дифференциальную геометрию можно найти во 2-й главе книжки Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. Она, кстати, как раз про ОТО и для физиков. (Но не для начинающих.)

misha.physics в сообщении #1201501 писал(а):

что из этого (или не этого) мне нужно применительно к физике, в частности к ОТО? А то боюсь утонуть в этой науке (дифференциальной геометрии).

Я не знаю. Про тензоры, в том числе векторы и формы, можно думать (хотя бы первое время) как про символы с верхними и нижними индексами, которые при замене координат преобразуются так-то и так-то, и не задумываться про остальное. Изучать ОТО во всяком случае можно так, чтобы дифференциальной геометрии было меньше, чем у МТУ. Много учебников, где её меньше:
Дирак. Общая теория относительности.
Хриплович. Общая теория относительности.
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
Вайнберг. Гравитация и космология...

"Дифференциально-геометрические" части у МТУ мне не нравятся, потому что я их не понимал, пока не прочитал про то же в других книжках.

Red_Herring в сообщении #1201533 писал(а):

А кто такой МТУ?

Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. (3-томный учебник по общей теории относительности.)

[misha.physics]

Metford, а если ми сначала выберем базис, и обозначим его ${e^i}$ и распишем в этом базисе $x=x_ie^i$, то теперь контравариантными координатами будут $x_i$? Я это имел ввиду. То есть так как вы написали выше, получается, потому что мы сначала выбираем (по соглашению) базис ${e_i}$, и кажем что $x^i$ - контравариантные, а когда переходим в сопряженное пространство (для того пространства в котором мы имеем $x=x^ie_i$) и рассматриваем елементы этого пространства - функционалы... Правильно ли что эти функционалы это обьекти которые ми получаем за каким-то правилом из елементов первого пространства? То есть взяв любой вектор первого пространства $x=x^ie_i$ ми получим новый отвечающий эму обьект, который живет в сопряженном пространстве относительно даного (откуда мы взяли $x=x^ie_i$). И если теперь мы введем базис в этом пространстве и распишем полученный обьект по етому базису то его координаты будут преобразоваться по "обратному "закону, поэтому этот базис мы обозначим ${e^i}$, а координаты $x_i$ чтобы подразумевалось неявное суммирование. То есть в этом пространстве $x=x_ie^i$?

Возникает главный вопрос: правильно ли то, что другой закон преобразования координат обьекта сопряженного пространсва относительно закона в первом пространстве обьясняется тем, за каким правилом мы получили этот обьект из вектора первого пространства. Привильно ли что такие обьекты называют ковекторами?
А за каким правилом нам из елемента даного пространства (вектора) получить обьект соответсвующий эму в сопряженном пространстве? Для чего нам этот обьект? Для чего с каждым линейным пространством связывают сопряжённое ему?

Можно ли сказать что задание функционала это: отображение даного пространства в сопряженное эму? То есть областю определения функционала есть множество елементов даного пространства, а областью значений - елементы сопряженого пространства?

Думаю, я вас уже замучил своими вопросами, мне стоило бы систематически читать об этом в книгах.

[Slav-27]

Векторы выражаются как линейная комбинация базисных векторов $\mathbf e_i$, а ковекторы (или 1-формы) -- базисных ковекторов $\mathbf e^i$.

Как устанавливается взаимно-однозначное соответствие между векторами и ковекторами, если в векторном пространстве задано скалярное произведение $\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$? Очень просто: рассмотрим линейный функционал $f(\mathbf x) = \langle \mathbf a, \mathbf x \rangle$. Получается, что мы вектору $\mathbf a$ сопоставили линейный функционал на множестве векторов, то есть ковектор; этот линейный функционал сопоставляет каждому вектору $\mathbf x$ число. Это и есть нужное соответствие.

В координатах $\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle=g_i_ja^ib^j$, и если координаты вектора $\mathbf a$ в базисе $\mathbf e_i$ суть $a^i$, то координаты соответствующей 1-формы в сопряжённом базисе $\mathbf e^j$ (сопряжённого пространства) суть $a_j=g_i_ja^i$.

misha.physics в сообщении #1201555 писал(а):

Можно ли сказать что задание функционала это: отображение даного пространства в сопряженное эму? То есть областю определения функционала есть множество елементов даного пространства, а областью значений - елементы сопряженого пространства?

Функционалом обычно называют функцию, которая возвращает число, так что ваше соответствие так лучше не называть.

misha.physics в сообщении #1201555 писал(а):

мне стоило бы систематически читать об этом в книгах.

Да.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):

И вот возник вопрос, ковариантными координатами тензора называют величины $T_{i,j,k...}$, єто если в базисе $\boldsymbol{e_i}$? А в $\boldsymbol{e^i}$ тогда как?

Этот второй базис - сам "производный" от первого.

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):

Munin, с тензорами в ЛЛ2 я еще не знакомился.

Ох, ну тогда вам рано браться за МТУ!
Порядок такой:
Тейлор-Уилер
Ландау-Лифшиц
Мизнер-Торн-Уилер
и не перепрыгивать!

misha.physics в сообщении #1201522 писал(а):

Так что буду пока читать МТУ, и может загляну в Шутца, вроде на пальцах обьясняют.

Мне не показалось, что в Шутце "на пальцах". В Бёрке - да, на пальцах.

Ещё есть "топорно-инженерная книжка" как раз по быстрому введению в тензоры
Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. Глава 5.

Slav-27 в сообщении #1201544 писал(а):

Быстрое введение в дифференциальную геометрию можно найти во 2-й главе книжки Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени.

Имхо, эту книжку надо читать строго после МТУ.

Slav-27 в сообщении #1201544 писал(а):

Изучать ОТО во всяком случае можно так, чтобы дифференциальной геометрии было меньше, чем у МТУ. Много учебников, где её меньше

И по одному этому, сами эти учебники хуже. (Вайнберг - не хуже, потому что там не меньше.)

ОТО - геометрическая теория. Изучать её, пытаясь обойтись без геометрии, - абсурд.

Slav-27 в сообщении #1201544 писал(а):

"Дифференциально-геометрические" части у МТУ мне не нравятся, потому что я их не понимал, пока не прочитал про то же в других книжках.

Есть истории гораздо хуже: когда человек начинает изучать ОТО по ЛЛ-2, и дифференциально-геометрическую суть ОТО вообще не понимает.

[Alex-Yu]

misha.physics в сообщении #1201555 писал(а):

То есть областю определения функционала есть множество елементов даного пространства, а областью значений - елементы сопряженого пространства?

Нет. Область значений --- числа. Сопряженное пространство --- это пространство линейных функционалов.

Если в пространстве есть скалярное произведение, то любой (!) линейный функционал можно представить как скалярное произведение аргумента на фиксированный вектор (т.Рисса).

[Red_Herring]

Это даже не дифференциальная геометрия, а то, что называется Calculus II. Рассмотрим вначале прямолинейную, но не прямоугольную систему координат. Тогда позиция это вектор состоящий из координат. А вот есть другой вектор -- градиент какой-нибудь функции (ну, к примеру, сила--градиент потенциала). И мы тут же обнаруживаем, что при переходе в другую такую же систему координат эти векторы преобразуются по разному, но при этом связанным образом, потому что дифференциал функции

$$d\phi = \phi_{x^j} dx^j$$

скаляр и от системы координат не зависит. Значит эти пространства (позиций и градиентов) взаимно сопряжены (поскольку они конечномерные, то никаких дополнительных заклинаний не надо). Итак, у нас есть два сорта векторов, математики говорят о векторах и ковекторах, а физики когда-то использовали слова ковариантный и контрвариантный. По записи у векторов индекс вверху, а у ковекторов внизу.

Если рассмотрим криволинейные координаты, то позиции уже не будут векторами, но скорости все равно будут. Только это будут вектора в касательном (в данной точке) пространстве. Почему его называют касательным?--Рассмотрим движение по кривой или поверхности. Вектор скорости в каждый момент будет направлен по касательной.

Ну и градиенты останутся векторами. Только лежать они будут в кокасательном пространстве.

$$\frac{d\phi }{dt}= \phi_{x^j} \frac{dx^j}{dt}$$

скорость изменения скаляра $\phi$ и значит тоже скаляр.

Скорости и ускорения--векторы, импульсы и силы--ковекторы (тут уже Ньютоново соотношение не действует).

[specialist]

какая знакомая тема, я сам мучился с дифформами, лучше всех помогли 2 книги: В.С. Булдырев "линейная алгебра и теория функций многих переменных" (читать её лучше с самого начала и желательно расписывать выражения в координатной форме) и как не странно книга У. Бёрке "пространство геометрия космология" (там собственно много картинок аналогичных МТУ). Еще можно заглянуть в учебник В.И. Арнольда "математические методы классической механики", есть конечно книжка Картрана по формам, но она ужасна на мой взгляд.