Летающий волчок

[EUgeneUS]

wrest

(О дивергенции ротора)

wrest в сообщении #1201267 писал(а):

То есть может быть безвихревое (ротор равен нулю везде) но НЕ потенциальное поле (интеграл по разным путям отличается)? Или потенциальное (интеграл по разным путям один и тот же) но НЕ бизвихревое (ротор не равен нулю везде)?

Таких не бывает. Но определения разные, а эквивалентность доказывается, как теорема. Я привык к такому.

-- 17.03.2017, 20:38 --

fred1996

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1201271 писал(а):

Поговорите пока с EUgeneUS
Он вроде лучше моего в этом плавает.

Ни в коем случае! У меня остаточные знания и чего-то разложить в ряд без шпаргалок уже"ниасилю".

-- 17.03.2017, 21:02 --

wrest в сообщении #1201254 писал(а):

Для начала можно рассмотреть в невесомости равномерно заряженный бесконечный стержень с надетым на него равномерно одноименно заряженным кольцом. Без расчетов вроде бы мерещится, что кольцо должно устойчиво зависнуть в положении когда стержень совпадает с осью кольца.

Кстати! Этот случай легко рассмотреть аналитически в плоскости, перпендикулярной стержню. И вот тогда двумерная дивергенция в плоскости будет ноль. А значит никаких устойчивых равновесий. Зря только деньги на магнитики потратил.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1201272 писал(а):

Ни в коем случае!

Ну хорошо, тогда рассказываю. Для магнитного поля в области, где нет токов можно ввести скалярный потенциал $\mathbf{H}=-\nabla\Psi,$ поскольку там ротор и дивергенция - ноль. Подробности - да хоть в Тамме. Тогда задача о диамагнетике сведется к задаче о диэлектрическом шаре в электрическом поле с той лишь разницей, что диэлектрическая проницаемость будет меньше единицы. Как мы тут установили, создать поле, которое стабилизирует шар в плоскости - дело не великое, поэтому сосредоточимся на вертикальной составляющей. Шар эквивалентен в первом приближении диполю, и по вертикали для $\varepsilon<1$ выталкивается убывающим полем. Приложив гравитационное поле мы можем стабилизировать шар в вертикальном направлении не изменив наведенного дипольного момента. Всякое электрическое или магнитное поле момент изменит, причем сделает это так, что бы убить положение равновесия (в великие теоремы мы, все-таки, верим), а гравитационное поле независимо от электрического, и спокойно может нарушать всякие граничные условия электростатики. Математически задача сводится к тому, что бы так подобрать конфигурацию поля и форму тела, что бы где-нибудь квадратичная форма его вторый производных (гравитационное поле на них не влияет) оказалась положительно определенной (как только я это вспомнил, так сразу выяснил, что облажался с точечным зарядом), а потенциал в горизонтальной плоскости имел бы минимум (по вертикали в этом месте минимума, и вообще, экстремума, быть не может). Тогда гравитационным полем мы загоним туда и минимум по вертикальной оси. Доказано, что это возможно только для $\varepsilon<1$. Так что в принципе в магнитном поле тела левитировать могут несмотря на принцип максимума.

[fred1996]

amon
Спасибо.
На пальцах вроде понятно.
Но надо как-то осмыслить.
А без конкретных задачек я плохо умею.
Так уж мозги устроены.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1201258 писал(а):

Я уже тут облажался с размаху с переходом в плоский случай. А Вам возражать вообще страшно.
Но разве "потенциальное поле" - это не то, которое можно выразить через градиент скалярного потенциала?
А магнитное поле, например, соленоида нельзя.

Ага! Поэтому я и сказал "статических магнитов" :-)

Соленоида - можно, если разрешить совершить "разрез пространства", затягивающий проём соленоида двумерной поверхностью. Это  мои любимые мыши-медуницы  моя любимая теорема Гельмгольца о разложении векторного поля, со своими топологическими оговорками.

fred1996 в сообщении #1201263 писал(а):

А вы воспринимайте Мунина как просто стойку ворот в слаломе.
Не обязательно в нее врезаться.
Можно и обогнуть красиво. :)

Вообще-то я не просто так болтаю. Моя цель - не чтобы меня "обогнули красиво", а чтобы сменили направление мысли в нужную сторону.

Вот щас немножко оскорблю мэтра Лапласа:

Представьте себе игрушку типа "детской пирамидки из колечек". И сделаем её колечки магнитами, с полюсами сверху и снизу. С противоположной ориентацией, то есть одноимёнными полюсами друг к другу. Сомневается ли кто-нибудь в том, что верхний магнитик может "левитировать" над нижним, причём вбок сдвинуться ему не даст стержень "пирамидки"?

При этом, Лаплас нерушим, конечно же :-) И Ирншоу.

fred1996 в сообщении #1201271 писал(а):

Если честно, я магнитное поле недолюбливаю.

А может ли ровно так же висеть диэлектрический шар в поле электрическом? :-)

[amon]

fred1996 в сообщении #1201296 писал(а):

А без конкретных задачек я плохо умею.

Можете глянуть, если интересно.

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1201293 писал(а):

Доказано, что это возможно только для $\varepsilon<1$.

Доказано. Через знание, что диамагнетики ($\mu < 1$), могут левитировать. Нуок.

amon в сообщении #1201293 писал(а):

Так что в принципе в магнитном поле тела левитировать могут несмотря на принцип максимума.

Могут, если $\mu < 1$, кто же с этим спорит.

[Munin]

wrest в сообщении #1201260 писал(а):

Скажите, а среди стационарных полей "безвихревое", "бездивергентное" и "потенциальное" -- не одно и то же?

И среди стационарных, и среди нестационарных:
- безвихревое - $\operatorname{rot}\mathbf{v}=0$;
- бездивергентное - $\operatorname{div}\mathbf{v}=0$;
- потенциальное - $\mathbf{v}=\operatorname{grad}\varphi.$

При этом, факты о них таковы:

БВ $\nLeftrightarrow$ БД;
П $\Rightarrow$ БВ;
П $\stackrel{?}{\Leftarrow}$ БВ:

П $\Leftarrow$ БВ только в специально устроенной области пространства, в которой любой контур можно стянуть в точку - в частности, в полном трёхмерном пространстве;
$(\text{БВ}\wedge\text{БД})\quad\nRightarrow\quad\mathbf{v}=0$;
поля, для которых выполняется (БВ $\wedge$ БД), играют отдельную роль в векторном анализе, и называются гармоническими (Laplacian field).

Существует явная формула для вычисления потенциала заданного потенциального поля.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1201300 писал(а):

Сомневается ли кто-нибудь в том, что верхний магнитик может "левитировать" над нижним, причём вбок сдвинуться ему не даст стержень "пирамидки"?

Кто бы сомневался. Есть и более интересные штуки (а по сути - тоже самое). Приводил выше пример - "мотор Мендосино". Штука левитирует, то есть скомпенсирована вертикальная сила тяжести, причем может вращаться, а устойчивость обеспечивается горизонтальным упором в одной точке с минимальной силой.

Munin в сообщении #1201300 писал(а):

А может ли ровно так же висеть диэлектрический шар в поле электрическом?

А у нас есть материалы с $\varepsilon < 1$?

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1201303 писал(а):

Через знание

Это доказано в 1939 году, и тогда же было впервые продемонстрировано.

[Munin]

wrest в сообщении #1201267 писал(а):

То есть может быть безвихревое (ротор равен нулю везде) но НЕ потенциальное поле (интеграл по разным путям отличается)?

Может, если поле задано не везде, а за вычетом какой-то линии. Эта линия должна не иметь концов: она может быть замкнутой, уходить на бесконечность, и так далее.

Именно этот пример привёл EUgeneUS:
Магнитное поле соленоида или витка с током. Сам провод как бы "выпадает" из пространства, и в пространстве ротора нет, но циркуляция по контуру, охватывающему провод, есть. Такой контур нельзя стянуть в точку. И из-за такого контура, нельзя ввести потенциал.

wrest в сообщении #1201267 писал(а):

Или потенциальное (интеграл по разным путям один и тот же) но НЕ бизвихревое (ротор не равен нулю везде)?

Не может быть. $\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=0.$ Это теорема, в том числе легко проверямая вычислением напрямую.

-- 17.03.2017 21:51:07 --

amon в сообщении #1201293 писал(а):

Шар эквивалентен в первом приближении диполю

Эх если бы. Линейно поляризующемуся диполю. А это совсем другое дело в вопросах устойчивости.

[EUgeneUS]

amon

(Оффтоп)

amon в сообщении #1201310 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1201303
писал(а):
Через знание Это доказано в 1939 году, и тогда же было впервые продемонстрировано.

Нисколько не сомневаюсь, что такое знание существует, корректно доказано и продемонстрировано, в том числе на лягушках. Мой комменатрий относился к конкретному посту, а не к знанию вообще.

Munin в сообщении #1201311 писал(а):

Тут нужен $\varepsilon<0$

Это уже выше моего текущего понимания, почему для магнитной левитации достаточно $\mu < 1$, а для электростатической требуется $\varepsilon<0$.

[Xey]

EUgeneUS в сообщении #1201307 писал(а):

Munin в сообщении #1201300 писал(а):

Сомневается ли кто-нибудь в том, что верхний магнитик может "левитировать" над нижним, причём вбок сдвинуться ему не даст стержень "пирамидки"?

Кто бы сомневался. Есть и более интересные штуки (а по сути - тоже самое). Приводил выше пример - "мотор Мендосино". Штука левитирует, то есть скомпенсирована вертикальная сила тяжести, причем может вращаться, а устойчивость обеспечивается горизонтальным упором в одной точке с минимальной силой.

Пирамидку лучше перевернуть, большое кольцо горизонтально висит над малым. Если наоборот , то малое пытается перевернуться и заклинивается на стержне.
Кстати, может в левитроне имеет смысл разместить большой магнит над малым , вращающимся.

Мендосино не поясняет, почему он не поставил парочку магнитов в том месте, где ось упирается в стойку. Видимо закончились средства
мотор Мендосино.

Если смотреть со стороны " пружинок" , то все трудности подвеса в различии свойств контакта через твердое тело и через магнитное поле. В контакте через поле нормальная сила преобразуется в поперечную и контакт скользит в поперечном направлении.

[Xey]

EUgeneUS в сообщении #1200070 писал(а):

Xey

Ни одна теорема, даже теорема Ирншоу, не запретит мне занять устойчивое равновесное положение на пружинном матраце.

А с полевого , на соленоидах, можно соскользнуть, если чуть пошевелиться? Лучше на железных магнитах, в таком можно сделать потенциальную ямку?

[amon]

Как-то задело, поэтому продолжил попытки обмануть принцип максимума, и уже практически обманул, и тут вспомнил, что все уже украдено до нас. Есть такая штука - Orbitrap, электростатическая ионная ловушка, применяется в масс-спектроскопии и работает в железе. В ней создано электрическое поле вида

$$ U(\rho,z)=\frac{k}{2}\left(z^2-\frac{\rho^2}{2}\right)+\frac{kR^2}{2}\ln\frac{\rho}{R} $$

Для этого надо иметь хитрой формы электроды. Подробности здесь (это - прямая ссылка на pdf статьи автора). Прямая проверка показывает, что по $z$ это осциллятор, а по $\rho$ потенциал имеет минимум при $\rho=R$. Т.е. имеется круговая канава с горизонтальным дном, в которой положенный с нулевой скоростью заряд будет лежать неподвижно, а при конечной скорости - кататься по кругу. Великие принципА при этом не нарушаются, поскольку строгого минимума нет. В этой штуке даже гравитационного поля не надо - все и так держится. Изобретателям левитронов предлагается подумать в этом направлении.

[Munin]

График функции $U(r,0)=-\dfrac{r^2}{4}+\dfrac{1}{2}\ln r$:



Что-то мне в упор не кажется это минимумом.

(Отрицательный заряд электрона не виноват, поскольку иначе максимум возникает по $z,$ что, надеюсь, убедительно и без графика.)

-- 19.03.2017 03:27:33 --

Ну и самое главное:

amon в сообщении #1201702 писал(а):

Великие принципА при этом не нарушаются, поскольку строгого минимума нет.

Они и нестрогие запрещают. То есть, если в точке сигнатура квадратичной формы $(+,+,0)$ или $(+,0,0),$ уравнение Лапласа всё равно нарушено. Если есть плюс, то должон быть и минус - вот что гласят великие принципа.