2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4084
ФТИ им. Иоффе СПб
Вот я у себя ошибку нашел. Забыт дифференциал дуги. Так что опять пауза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 17:59 
Аватара пользователя


09/10/15
01/07/20
3865
Torrance, California, USA
amon в сообщении #1201173 писал(а):
Вот я у себя ошибку нашел. Забыт дифференциал дуги. Так что опять пауза.


Amon
В нашем споре изначально условия не равны.
Вы решаете задачу аналитически для конкретного случая, что чревато ошибками в вычислениях.
Я же решаю задачу "топологически". Мне совсем уж конкретная форма задачи не трбуется.
Так что и труднее сделать ошибку в трех столбах.
Потом о каких перекрестных производных вы говорите?
В цилиндрических координатах их нет.
Константу при нулевом члене я выбрал нулем. Уж извините, это потенциал. Какую константу хочу, такую и выбираю.
А константа при перекрестном члене $rz$ обнуляется простой подстановкой.
Арифметика рулит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 18:08 


11/12/16
7057
Немного комментариев про упоминаемую выше статью.

0. Цитата из статьи
Цитата:
Теорема Ирншоу как будто бы исключает устойчивое равновесие каких-либо зарядов в каком-либо статическом потенциальном поле.

Это чушь. Магнитное поле - не потенциально, но статически (UPD: под "статически" тут понимается не только статическое положение подвешенного тела, но и неизменность "зарядов", для магнитного поля - магнитных моментов, а то опять пойдут ссылки на лягушку) ничего в нем подвесить нельзя. Поле задаваемое потенциалом $U = k(x^2+y^2+z^2)$ очевидно потенциально, но никого не удивляют подвесы на пружинках. Теорема Ирншоу запрещает подвесы в бездивергентных полях.

1. Автор очень оптимистичен.
2. Фотография "треножника" - фотошоп, а не реальная конструкция. Соответственно, выводы автора умозрительны (и неверны).
3. С тем, что невозможно "подвесить" точечный электрический заряд автор статьи согласен. Надеюсь, и участники топика - тоже.
4. Расширение теоремы Ирншоу на систему точечных зарядов приведено в википедии. Приведем его:

Цитата:
Идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть хотя бы малые поступательные смещения твердого тела (без поворотов). Тогда потенциальная энергия жесткой системы зарядов есть просто сумма каждого заряда, умноженного на потенциал в его окрестности, взятый каждый раз в точке, обусловленной общим смещением тела: $U(\delta\mathbf R) = \Sigma_i q_i \varphi(\mathbf r_i + \delta\mathbf R)$, где $\delta\mathbf R$ — вектор общего смещения тела, например, смещения его центра масс. Поскольку потенциал $\varphi(\mathbf r_i + \delta\mathbf R)$ в окрестности каждой точки удовлетворяет уравнению Лапласа (подразумевается, что заряды другого тела отсутствуют в бесконечной близости к зарядом данного в силу их непроницаемости), то ему удовлетворяет и их линейная комбинация (сумма с коэффициентами), то есть $U(\delta\mathbf R)$ — также удовлетворяет уравнению Лапласа


5. Из этой же идеи следует, что нас совершенно не волнует устойчивость по поворотам. Это неважно, в любом случае будет неустойчивость по линейным смещениям. Из этого следует, в частности, что "треножник" не обязательно сначала будет поворачиваться, а потом выскальзывать. Он сразу будет неустойчив по смещению по какой-то оси.

6. Обобщение теоремы Ирншоу на твердые тела с пространственными зарядами производится по той же "идее", путем замены в сумме зарядов на плотности зарядов и переходу от суммы к интегралу по объему.

7. Легко заметить, что такой переход не накладывает никаких ограничений на область интегрирования. Она может "сводиться" к сфере, а может не сводиться. Ограничение только одно: там где ненулевая плотность заряда для "подвешиваемого" тела - там должна быть нулевая плотность зарядов подвеса.

8. Очевидно, что в таких случаях все обобщается на диполи, а значит на магнитное поле.

А теперь вопрос. Автор статьи в качестве контрпримера приводит два равномерно заряженных кольца в виде звена цепи. Что произойдет с ними? Где будет положение равновесия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 19:40 


11/12/16
7057
UPD:

Цитата из википедии про теорему Ирншоу:

Цитата:
Достаточно очевидно, что теорема Ирншоу не применима к случаю взаимно проницаемых твердых тел. Например, нетрудно показать, что при взаимодействии двух равномерно заряженных (зарядами разного знака, одинаковыми или разными по величине) шаров (одинакового или разного диаметра, в том числе вместо одного из шаров можно взять точечный заряд) будет иметь место устойчивое равновесие в положении, когда их центры совпадают. Правда, не очень ясна практическая ценность такой теоретической модели, как взаимно проницаемые твердые тела.


Это очередная чушь в викпедии.
1. "Взаимпроницаемые тела", для которых теорема Ирншоу не применима - это когда точки подвешенного тела с ненулевой плотностью заряда совпадают с точками "подвеса" с ненулевой плотностью заряда.
2. Внутри равномерно заряженной сферы не будет устойчивого равновесия. Там будет безразличное равновесие, которое уравнением Лапласа и теоремой Ирншоу не запрещается (точнее - запрещается для точечных зарядов, но это несколько другая тема).

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 19:53 


05/09/16
7852

(Оффтоп)

Лаплас наносит ответный удар! 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
EUgeneUS в сообщении #1201196 писал(а):
Это чушь. Магнитное поле - не потенциально

Простите, магнитное поле статических магнитов - потенциально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:02 


05/09/16
7852
EUgeneUS в сообщении #1201196 писал(а):
Автор статьи в качестве контрпримера приводит два равномерно заряженных кольца в виде звена цепи. Что произойдет с ними? Где будет положение равновесия?

Для начала можно рассмотреть в невесомости равномерно заряженный бесконечный стержень с надетым на него равномерно одноименно заряженным кольцом. Без расчетов вроде бы мерещится, что кольцо должно устойчиво зависнуть в положении когда стержень совпадает с осью кольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
8734
Кентакска волост
EUgeneUS в сообщении #1201196 писал(а):
А теперь вопрос. Автор статьи в качестве контрпримера приводит два равномерно заряженных кольца в виде звена цепи. Что произойдет с ними? Где будет положение равновесия?
Да, интересно, что на это ответит Лаплас. Или опять пара-тройка теорем рухнет и окажется, что такие кольца нельзя зарядить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:07 


11/12/16
7057
Munin

Я уже тут облажался с размаху с переходом в плоский случай. А Вам возражать вообще страшно.
Но разве "потенциальное поле" - это не то, которое можно выразить через градиент скалярного потенциала?
А магнитное поле, например, соленоида нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:14 


05/09/16
7852
Munin в сообщении #1201246 писал(а):
Простите, магнитное поле статических магнитов - потенциально.

Скажите, а среди стационарных полей "безвихревое", "бездивергентное" и "потенциальное" -- не одно и то же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:15 


11/12/16
7057
wrest в сообщении #1201254 писал(а):
Для начала можно рассмотреть в невесомости равномерно заряженный бесконечный стержень с надетым на него равномерно одноименно заряженным кольцом. Без расчетов вроде бы мерещится, что кольцо должно устойчиво зависнуть в положении когда стержень совпадает с осью кольца.


Когда увидел у автора статьи идею с колечками... Понесся в магазин :lol: и купил четыре десятка мелких, но сильных, магнитиков. Собрал два колечка с радиальной намагниченностью, одинаковыми полюсами внутрь. И вы не поверите. Кольца друг друга невзлюбили и пытаются вытолкнуть одно из другого, вот прямо сейчас этим занимаются на подоконнике. Фактически притягиваются одноименными полюсами. Хехе. Понятно, что модель с магнитными колечками радиальной намагниченности не есть точная модель электростатически заряженных колец. Но почему-то думается, что будет тоже самое. Кольца будут выталкиваться друг из друга и соприкоснутся одной точкой. Что в случае распределенных зарядов не несет никакой катастрофы.

-- 17.03.2017, 20:16 --

wrest в сообщении #1201260 писал(а):
Скажите, а среди стационарных полей "безвихревое", "бездивергентное" и "потенциальное" -- не одно и то же?


Это всё разное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:19 
Аватара пользователя


09/10/15
01/07/20
3865
Torrance, California, USA
EUgeneUS в сообщении #1201258 писал(а):
Munin

Я уже тут облажался с размаху с переходом в плоский случай. А Вам возражать вообще страшно.
Но разве "потенциальное поле" - это не то, которое можно выразить через градиент скалярного потенциала?
А магнитное поле, например, соленоида нельзя.


А для меня физика - это как скольжение по волне на серфере.
В любой момент можно навернуться. Зато даже от процесса падения получаешь кайф.
А вы воспринимайте Мунина как просто стойку ворот в слаломе.
Не обязательно в нее врезаться.
Можно и обогнуть красиво. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4084
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1201193 писал(а):
В нашем споре изначально условия не равны.
Как сказать.. С зарядом в электрическом поле Вы правы. Подвесить его невозможно. Если включить полевую артиллерию, то:
Энергия заряда (не артиллерийского, электрического ;) в поле $U=-\frac{1}{2}q\varphi.$ Как известно, в аксиально-симметричном поле если мы знаем поле на оси симметрии $\varphi(z)=\varphi_0$, то мы знаем все:
$$
\varphi(z,\rho)=\varphi_0-\frac{1}{4}\rho^2\varphi_0''+\frac{1}{64}\varphi_0''''+\dots
$$
Тогда квадратичная часть $U=q(\varphi_0-\frac{1}{4}\rho^2\varphi_0'')$. Что бы получить минимум, квадратичная форма вторых производных должна быть положительно определенной, а тут такой облом:
$$
\begin{align}
\frac{\partial^2 U}{\partial z^2}&=\varphi_0''\\
\frac{\partial^2 U}{\partial \rho^2}&=-\frac{1}{4}\varphi_0''
\end{align}
$$
Это для. Тут я облажался, признаю. У меня были неотчетливые соображения, оказавшиеся неправильными.
Теперь от. Вы знаете почему висит диамагнитный шар в магнитном поле? Ведь в окрестности шара, в том числе и внутри него, выполнено тоже самое уравнение Лапласа (в окрестности шара я могу ввести магнитный скалярный потенциал, и задача сведется к чисто электростатической), а минимум потенциала (магнитного+гравитационного) есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:22 


05/09/16
7852

(О дивергенции ротора)

EUgeneUS в сообщении #1201261 писал(а):
Это всё разное.

То есть может быть безвихревое (ротор равен нулю везде) но НЕ потенциальное поле (интеграл по разным путям отличается)? Или потенциальное (интеграл по разным путям один и тот же) но НЕ бизвихревое (ротор не равен нулю везде)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:28 
Аватара пользователя


09/10/15
01/07/20
3865
Torrance, California, USA
Amon
Если честно, я магнитное поле недолюбливаю.
Есть пробелы в образовании.
Вот когда заделаю, тогда и смогу поговорить.
А пока все мои познания в этом деле носят весьма поверхностный школьный характер.
Поговорите пока с EUgeneUS
Он вроде лучше моего в этом плавает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 283 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group