Летающий волчок

[amon]

Вот я у себя ошибку нашел. Забыт дифференциал дуги. Так что опять пауза.

[fred1996]

amon в сообщении #1201173 писал(а):

Вот я у себя ошибку нашел. Забыт дифференциал дуги. Так что опять пауза.

Amon
В нашем споре изначально условия не равны.
Вы решаете задачу аналитически для конкретного случая, что чревато ошибками в вычислениях.
Я же решаю задачу "топологически". Мне совсем уж конкретная форма задачи не трбуется.
Так что и труднее сделать ошибку в трех столбах.
Потом о каких перекрестных производных вы говорите?
В цилиндрических координатах их нет.
Константу при нулевом члене я выбрал нулем. Уж извините, это потенциал. Какую константу хочу, такую и выбираю.
А константа при перекрестном члене $rz$ обнуляется простой подстановкой.
Арифметика рулит.

[EUgeneUS]

Немного комментариев про упоминаемую выше статью.

0. Цитата из статьи

Цитата:

Теорема Ирншоу как будто бы исключает устойчивое равновесие каких-либо зарядов в каком-либо статическом потенциальном поле.

Это чушь. Магнитное поле - не потенциально, но статически (UPD: под "статически" тут понимается не только статическое положение подвешенного тела, но и неизменность "зарядов", для магнитного поля - магнитных моментов, а то опять пойдут ссылки на лягушку) ничего в нем подвесить нельзя. Поле задаваемое потенциалом $U = k(x^2+y^2+z^2)$ очевидно потенциально, но никого не удивляют подвесы на пружинках. Теорема Ирншоу запрещает подвесы в бездивергентных полях.

1. Автор очень оптимистичен.
2. Фотография "треножника" - фотошоп, а не реальная конструкция. Соответственно, выводы автора умозрительны (и неверны).
3. С тем, что невозможно "подвесить" точечный электрический заряд автор статьи согласен. Надеюсь, и участники топика - тоже.
4. Расширение теоремы Ирншоу на систему точечных зарядов приведено в википедии. Приведем его:

Цитата:

Идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть хотя бы малые поступательные смещения твердого тела (без поворотов). Тогда потенциальная энергия жесткой системы зарядов есть просто сумма каждого заряда, умноженного на потенциал в его окрестности, взятый каждый раз в точке, обусловленной общим смещением тела: $U(\delta\mathbf R) = \Sigma_i q_i \varphi(\mathbf r_i + \delta\mathbf R)$, где $\delta\mathbf R$ — вектор общего смещения тела, например, смещения его центра масс. Поскольку потенциал $\varphi(\mathbf r_i + \delta\mathbf R)$ в окрестности каждой точки удовлетворяет уравнению Лапласа (подразумевается, что заряды другого тела отсутствуют в бесконечной близости к зарядом данного в силу их непроницаемости), то ему удовлетворяет и их линейная комбинация (сумма с коэффициентами), то есть $U(\delta\mathbf R)$ — также удовлетворяет уравнению Лапласа

5. Из этой же идеи следует, что нас совершенно не волнует устойчивость по поворотам. Это неважно, в любом случае будет неустойчивость по линейным смещениям. Из этого следует, в частности, что "треножник" не обязательно сначала будет поворачиваться, а потом выскальзывать. Он сразу будет неустойчив по смещению по какой-то оси.

6. Обобщение теоремы Ирншоу на твердые тела с пространственными зарядами производится по той же "идее", путем замены в сумме зарядов на плотности зарядов и переходу от суммы к интегралу по объему.

7. Легко заметить, что такой переход не накладывает никаких ограничений на область интегрирования. Она может "сводиться" к сфере, а может не сводиться. Ограничение только одно: там где ненулевая плотность заряда для "подвешиваемого" тела - там должна быть нулевая плотность зарядов подвеса.

8. Очевидно, что в таких случаях все обобщается на диполи, а значит на магнитное поле.

А теперь вопрос. Автор статьи в качестве контрпримера приводит два равномерно заряженных кольца в виде звена цепи. Что произойдет с ними? Где будет положение равновесия?

[EUgeneUS]

UPD:

Цитата из википедии про теорему Ирншоу:

Цитата:

Достаточно очевидно, что теорема Ирншоу не применима к случаю взаимно проницаемых твердых тел. Например, нетрудно показать, что при взаимодействии двух равномерно заряженных (зарядами разного знака, одинаковыми или разными по величине) шаров (одинакового или разного диаметра, в том числе вместо одного из шаров можно взять точечный заряд) будет иметь место устойчивое равновесие в положении, когда их центры совпадают. Правда, не очень ясна практическая ценность такой теоретической модели, как взаимно проницаемые твердые тела.

Это очередная чушь в викпедии.
1. "Взаимпроницаемые тела", для которых теорема Ирншоу не применима - это когда точки подвешенного тела с ненулевой плотностью заряда совпадают с точками "подвеса" с ненулевой плотностью заряда.
2. Внутри равномерно заряженной сферы не будет устойчивого равновесия. Там будет безразличное равновесие, которое уравнением Лапласа и теоремой Ирншоу не запрещается (точнее - запрещается для точечных зарядов, но это несколько другая тема).

[wrest]

(Оффтоп)

Лаплас наносит ответный удар!

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1201196 писал(а):

Это чушь. Магнитное поле - не потенциально

Простите, магнитное поле статических магнитов - потенциально.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1201196 писал(а):

Автор статьи в качестве контрпримера приводит два равномерно заряженных кольца в виде звена цепи. Что произойдет с ними? Где будет положение равновесия?

Для начала можно рассмотреть в невесомости равномерно заряженный бесконечный стержень с надетым на него равномерно одноименно заряженным кольцом. Без расчетов вроде бы мерещится, что кольцо должно устойчиво зависнуть в положении когда стержень совпадает с осью кольца.

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1201196 писал(а):

А теперь вопрос. Автор статьи в качестве контрпримера приводит два равномерно заряженных кольца в виде звена цепи. Что произойдет с ними? Где будет положение равновесия?

Да, интересно, что на это ответит Лаплас. Или опять пара-тройка теорем рухнет и окажется, что такие кольца нельзя зарядить?

[EUgeneUS]

Munin

Я уже тут облажался с размаху с переходом в плоский случай. А Вам возражать вообще страшно.
Но разве "потенциальное поле" - это не то, которое можно выразить через градиент скалярного потенциала?
А магнитное поле, например, соленоида нельзя.

[wrest]

Munin в сообщении #1201246 писал(а):

Простите, магнитное поле статических магнитов - потенциально.

Скажите, а среди стационарных полей "безвихревое", "бездивергентное" и "потенциальное" -- не одно и то же?

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1201254 писал(а):

Для начала можно рассмотреть в невесомости равномерно заряженный бесконечный стержень с надетым на него равномерно одноименно заряженным кольцом. Без расчетов вроде бы мерещится, что кольцо должно устойчиво зависнуть в положении когда стержень совпадает с осью кольца.

Когда увидел у автора статьи идею с колечками... Понесся в магазин и купил четыре десятка мелких, но сильных, магнитиков. Собрал два колечка с радиальной намагниченностью, одинаковыми полюсами внутрь. И вы не поверите. Кольца друг друга невзлюбили и пытаются вытолкнуть одно из другого, вот прямо сейчас этим занимаются на подоконнике. Фактически притягиваются одноименными полюсами. Хехе. Понятно, что модель с магнитными колечками радиальной намагниченности не есть точная модель электростатически заряженных колец. Но почему-то думается, что будет тоже самое. Кольца будут выталкиваться друг из друга и соприкоснутся одной точкой. Что в случае распределенных зарядов не несет никакой катастрофы.

-- 17.03.2017, 20:16 --

wrest в сообщении #1201260 писал(а):

Скажите, а среди стационарных полей "безвихревое", "бездивергентное" и "потенциальное" -- не одно и то же?

Это всё разное.

[fred1996]

EUgeneUS в сообщении #1201258 писал(а):

Munin

Я уже тут облажался с размаху с переходом в плоский случай. А Вам возражать вообще страшно.
Но разве "потенциальное поле" - это не то, которое можно выразить через градиент скалярного потенциала?
А магнитное поле, например, соленоида нельзя.

А для меня физика - это как скольжение по волне на серфере.
В любой момент можно навернуться. Зато даже от процесса падения получаешь кайф.
А вы воспринимайте Мунина как просто стойку ворот в слаломе.
Не обязательно в нее врезаться.
Можно и обогнуть красиво. :)

[amon]

fred1996 в сообщении #1201193 писал(а):

В нашем споре изначально условия не равны.

Как сказать.. С зарядом в электрическом поле Вы правы. Подвесить его невозможно. Если включить полевую артиллерию, то:
Энергия заряда (не артиллерийского, электрического ;) в поле $U=-\frac{1}{2}q\varphi.$ Как известно, в аксиально-симметричном поле если мы знаем поле на оси симметрии $\varphi(z)=\varphi_0$, то мы знаем все:

$$ \varphi(z,\rho)=\varphi_0-\frac{1}{4}\rho^2\varphi_0''+\frac{1}{64}\varphi_0''''+\dots $$

Тогда квадратичная часть $U=q(\varphi_0-\frac{1}{4}\rho^2\varphi_0'')$. Что бы получить минимум, квадратичная форма вторых производных должна быть положительно определенной, а тут такой облом:

$$ \begin{align} \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}&=\varphi_0''\\ \frac{\partial^2 U}{\partial \rho^2}&=-\frac{1}{4}\varphi_0'' \end{align} $$

Это для. Тут я облажался, признаю. У меня были неотчетливые соображения, оказавшиеся неправильными.
Теперь от. Вы знаете почему висит диамагнитный шар в магнитном поле? Ведь в окрестности шара, в том числе и внутри него, выполнено тоже самое уравнение Лапласа (в окрестности шара я могу ввести магнитный скалярный потенциал, и задача сведется к чисто электростатической), а минимум потенциала (магнитного+гравитационного) есть?

[wrest]

(О дивергенции ротора)

EUgeneUS в сообщении #1201261 писал(а):

Это всё разное.

То есть может быть безвихревое (ротор равен нулю везде) но НЕ потенциальное поле (интеграл по разным путям отличается)? Или потенциальное (интеграл по разным путям один и тот же) но НЕ бизвихревое (ротор не равен нулю везде)?

[fred1996]

Amon
Если честно, я магнитное поле недолюбливаю.
Есть пробелы в образовании.
Вот когда заделаю, тогда и смогу поговорить.
А пока все мои познания в этом деле носят весьма поверхностный школьный характер.
Поговорите пока с EUgeneUS
Он вроде лучше моего в этом плавает.