Интеграл (Разбоки по поводу int 1/x = ln|x| + C )

[ewert]

Echo-Off писал(а):

modz писал(а):

Проверьте если кому не лень

Правильно; правда, опять забыли модуль под логарифмом.

Ну, между прочим, как раз в последнем-то случае модуль и не нужен. Даже неприличен.

[Коровьев]

$\int \frac{dx}{x}=\ln |x| + C $
Это так, и в справочниках так пишут...
Но почему
$(\ln x)' $, а не $(\ln |x|) ' $,
Вот при $x=-1$ функция-то не существует а производная-то в этой точке есть!?

[Echo-Off]

ewert писал(а):

Ну, между прочим, как раз в последнем-то случае модуль и не нужен. Даже неприличен

Почему? Только потому что в самом интеграле логарифм без модуля?

[ewert]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

Ну, между прочим, как раз в последнем-то случае модуль и не нужен. Даже неприличен

Почему? Только потому что в самом интеграле логарифм без модуля?

Это в первую очередь, но не только -- ещё и по ходу интегрирования по частям никакие модули никоим боком не вылазят.

Так что если бы мне кто подсунул тут ответ с модулем -- я бы, скорее всего, не обратил внимания. Но если б был не в настроении, то оценку бы непременно снизил. За то, что человек не понимает смысла своих манипуляций.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

Это в первую очередь

Раньше modz уже забывал, по его словам, писать на этом форуме модуль. Может, и в формулировке нового интеграла тоже забыл.

[ewert]

Маловероятно. В таких примерах модуль в условии не ставят. Разве что из пижонства.

[незваный гость]

Коровьев писал(а):

Но почему
$(\ln x)' $, а не $(\ln |x|) ' $,
Вот при $x=-1$ функция-то не существует а производная-то в этой точке есть!?

Сделаю вид, что не понял риторичность вопроса. $\ln x$ и $\ln |x|$ — две разных функции, совпадающие на пересечении областей определения. Обе производных верны, но справочники дают производную только первой функциии. Подобно тому, как справочники дают только производную $x^k$, оставляя производные полиномов за кадром.

[Коровьев]

незваный гость писал(а):

:evil:

Коровьев писал(а):

Но почему
$(\ln x)' $, а не $(\ln |x|) ' $,
Вот при $x=-1$ функция-то не существует а производная-то в этой точке есть!?

Сделаю вид, что не понял риторичность вопроса. $\ln x$ и $\ln |x|$ — две разных функции, совпадающие на пересечении областей определения. Обе производных верны, но справочники дают производную только первой функциии. Подобно тому, как справочники дают только производную $x^k$, оставляя производные полиномов за кадром.

$( \ln |x| )'=\frac{1}{x}$
- верно для всей области действительных чисел. Отсюда и
$\int \frac{dx}{x} =\ln |x| + C$
А вот
$( \ln x)'=\frac{1}{x}$
- верно только при продолжении функции на комплексную область.
Для отрицательных $x$ имеем
( \ln x)'=[ \ln |x| + j \pi (2k+1)]'= \frac{1}{x}$
Отсюда при продолжении функции на комплексную область и при любых действительных $x$ верно и
$\int \frac{dx}{x}=\ln x + C$

Я вообще-то никогда не заморачиваюсь на абсолютной величине под логарифмом. Мне кажется это как-то сужает его определение, что ли. Ведь уходя в комплексную область легко берутся некоторые интегралы, что почему-то не приветствуется. К примеру, без всяких замен переменных
$\int \frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2j} ( \int \frac{dx}{x+j}-\int \frac{dx}{x-j})=\frac{1}{2j }\ln \frac{x+j}{x-j} + C=\frac{1}{2j }\ln \frac{ \sqrt {x^2+1}e^{j (arc tgx)} }{ \sqrt {x^2+1}e^{-j (arc tgx)} } + C =arc tg x + C$
В некоторых справочниках опускается постоянная интегрирования. И так ясно. То же, думаю, и с абсолютной величиной под логарифмом после интегрирования - и так ясно, что надо брать абсолютную величину, как и в производной логарифма, где абсолютную величину никогда не ставят.
А вот тут и появляются неудобные вопросы
Как же так, при $x=-1$ функция-то $ \ln x$ не существует а производная-то в этой точке существует!? Прям, Чеширский кот какой-то. Кота нет, а улыбка его есть
В прочем, это только моё мнение.

[bot]

Коровьев писал(а):

А вот тут и появляются неудобные вопросы
Как же так, при $x=-1$ функция-то $ \ln x$ не существует а производная-то в этой точке существует!? Прям, Чеширский кот какой-то. Кота нет, а улыбка его есть
В прочем, это только моё мнение.

Ну и заморочки же у Вас! На множестве $\mathbb{R}\backslash \{0\}$ формулой $f(x)=\frac{1}{x}$ можно задать функцию, но это не означает, что $\ln' x = \frac{1}{x}$ на всём $\mathbb{R}\backslash \{0\}$.
Предполагается, что студенту добравшемуся до таблицы интегралов уже не нужно напоминать, что в тождествах типа $\frac{x^2}{x}=x$ молчаливо предполагается, что оно имеет место для всех значений переменной, для которых обе части равенства определены.
Вот и в таблице интегралов, когда пишут $\int \frac{dx}{x}=\ln |x| + C$ считается неудобным напоминать, что первообразная определяется на промежутке, а потому и не пишут две формулы:

$\int \frac{dx}{x}=\ln x + C, \ x>0$
$\int \frac{dx}{x}=\ln (-x) + C, \ x<0$

Нет, неопределённый интеграл это не крючочек, а совокупность всех первообразных на промежутке для подинтегральной функции. Поскольку ппроизводная постоянной функции равна нулю и две функции имеющие одинаковые производные на промежутке (следствие из теоремы Лагранжа) отличаются на постоянное слагаемое, то совокупность всех первообразных и описывается указанным образом - любая первообразная это некоторая фиксированная первообразная плюс константа. Правильнее было бы писать:

$\int f(x) dx = \{F(x)+C | C\in \mathbb{R}\}$, где $F(x) - $ некоторая произвольно фиксированная первообразная.
Впрочем, если под $C$ понимать множество всех постоянных функций, то равенство $\int f(x) dx = F(x)+C$ можно интерпретировать как сдвиг множества $C$ на одну произвольно выбранную первообразную $F(x).$

[незваный гость]

Коровьев писал(а):

Я вообще-то никогда не заморачиваюсь на абсолютной величине под логарифмом

Позвольте порекомендовать обсуждение (несмотря на несколько косвенную связь с текущим).

[ewert]

незваный гость писал(а):

Коровьев писал(а):

Я вообще-то никогда не заморачиваюсь на абсолютной величине под логарифмом

Позвольте порекомендовать обсуждение (несмотря на несколько косвенную связь с текущим).

Там не в тему. Там обсасываются условия единственности решения задачи Коши. Но они заведомо могут относиться только к ситуации, когда область интегрирования как бы типа в некотором смысле связна (ну не произносить же, в самом деле, такое вульгарное слово как "промежуток").

[незваный гость]

В тему, в тему. Там обсуждается, что происходит при формальном подходе к интерпретации формул из справочника, и почему надо понимать, что читаешь. В частности, почему у $\ln |x| + C$ на самом деле разные константы $C$. Несмотря на то, что функция остаётся дифференцируемой на всём промежутке.