Коровьев писал(а):
А вот тут и появляются неудобные вопросы
Как же так, при

функция-то

не существует а производная-то в этой точке существует!?
Прям, Чеширский кот какой-то. Кота нет, а улыбка его естьВ прочем, это только моё мнение.
Ну и заморочки же у Вас! На множестве

формулой

можно задать функцию, но это не означает, что

на всём

.
Предполагается, что студенту добравшемуся до таблицы интегралов уже не нужно напоминать, что в тождествах типа

молчаливо предполагается, что оно имеет место для всех значений переменной, для которых обе части равенства определены.
Вот и в таблице интегралов, когда пишут

считается неудобным напоминать, что первообразная определяется на промежутке, а потому и не пишут две формулы:
Нет, неопределённый интеграл это не крючочек, а совокупность всех первообразных на промежутке для подинтегральной функции. Поскольку ппроизводная постоянной функции равна нулю и две функции имеющие одинаковые производные на промежутке (следствие из теоремы Лагранжа) отличаются на постоянное слагаемое, то совокупность всех первообразных и описывается указанным образом - любая первообразная это некоторая фиксированная первообразная плюс константа. Правильнее было бы писать:

, где

некоторая произвольно фиксированная первообразная.
Впрочем, если под

понимать множество всех постоянных функций, то равенство

можно интерпретировать как сдвиг множества

на одну произвольно выбранную первообразную
