Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом

[vicvolf]

Немного подправлю пример.

Система линейных уравнений (224) имеет решение:
$b_1=-1,b_2=0,b_3=1$,

т.е. в качестве собственного вектора возьмем целочисленный вектор:
$c$ = $\left( \begin {array} {ccc} -1\\ 0\\ 1 \\ \end {array} \right)$.

Следствие из утверждения 2

Пусть матрица квадратичной формы $F(x_1,...,x_n)$ имеет собственные значения: $t_1,...,t_n$ и собственные вектора с целыми координатами: $(c_{11},...,c_{1n}),...,(c_{n1},...,c_{nn})$.
Тогда с помощью обобщенного ортогонального преобразования с матрицей:

$C$ $=\left( \begin {array} {ccc} c_{11} & ... & c_{n1}\\ ...\\ c_{1n} & ... & c_{nn}\\ \end {array} \right)$

однородное диофантово уравнение второго порядка $F(x_1,...x_n)=0$ приводится диагональному однородному диофантову уравнению с целыми коэффициентами:

$F(x'_1,...,x'_n)=(\sum_{i=1}^n {c^2_{1i}})t_1(x'_1)^2+...+(\sum_{i=1}^n {c^2_{ni}})t_n(x'_n)^2=0$. (226)

Доказательство

На основании утверждения 2 и формулы (169) с помощью обобщенного ортогонального преобразования:

$C$ $=\left( \begin {array} {ccc} c_{11} & ... & c_{n1}\\ ...\\ c_{1n} & ... & c_{nn}\\ \end {array} \right)$

однородное диофантово уравнение второго порядка $F(x_1,...x_n)=0$ приводится к однородному диагональному диофантову уравнению с целыми коэффициентами:

$F(x'_1,...,x'_n)=k_1^2t_1(x'_1)^2+...+k_n^2t_n(x'_n)^2$, (227)

где $t_1,...,t_n$ - собственные значения матрицы квадратичной формы $F(x_1,...x_n)$, а $k_j(1 \leq j \leq n)$ - коэффициент деформации по $j$ - ой координате определяется следующим образом:

$k_j=\sqrt {\sum_{i=1}^n{c_{ji}^2}}}$. (228)

Подставим формулу (228) в (227) и получим выражение (226).

[vicvolf]

Продолжим решение примера.

На основании (226), полученное после обобщенного ортогонального преобразования диагональное диофантово уравнение, будет иметь вид:

$F(x'_1,...,x'_n)=9(x'_1)^2+36(x'_2)^2-4(x'_3)^2=(3x'_1)^2+(6x'_2)^2-(2x'_3)^2=0$. (229)

Уравнение (229) является уравнением Ферма 2-ого порядка относительно переменных: $3x'_1,6x'_2,2x'_3$.

Натуральные решения уравнения (226) можно записать в виде:

$3x'=(m^2-n^2)l,6x'_2=2mnl,2x'_3=(m^2+n^2)l$, (230)
где $m,n,l(m>n)$ - натуральные числа.

Из (230) видно, что максимальное значение принимает переменная:
$2x'_3=(m^2+n^2)l$ или $x'_3=(m^2+n^2)l/2$. (231)

Для того, чтобы значение $(m^2+n^2)l/2$ было натуральным числом, требуется чтобы $(m^2+n^2)l$ было четным. Последнее возможно в случаях, когда либо $l$ - четно, либо $m^2+n^2$ - четно. Значение $m^2+n^2$ будет четно, если $m$ и $n$ являются четными, либо $m$ и $n$ являются нечетными, т.е. в половине случаев значений $m,n$. Таким образом, $(m^2+n^2)l$ ,будет четным в $3/4$ случаев значений $m,n,l$. В этом случае на основании (231) количество натуральных решений уравнения (229) в кубе со стороной $N$ находится из условия:

$(m^2+n^2)l \leq 2N$. (232)

Следовательно, надо найти количество точек с натуральными координатами, удовлетворяющих условию (232), при которых $(m^2+n^2)l $ будет четно.

При значении $l=1$ из (232) получаем неравенство $m^2+n^2 \leq 2N$. Учитывая, что $m>n$ получаем, что необходимо найти количество точек с натуральными координатами внутри сектора с радиусом равным $(2N)^{1/2}$ выше главной диагонали.

На основании [Бухштаб "Теория чисел"] количество таких точек будет:
$\pi N/4 +O(N^{1/2})$. (233)

При значении $l=l_{max}$ на основании (232) получим неравенство:
$m^2+n^2 \leq 2N/l_{max}$. (234)

Аналогично получаем количество точек с натуральными координатами, удовлетворяющих условию (234):
$\pi N/4l_{max} +O(N^{1/2})$. (235)

На основании (233), (235) получаем следующую оценку сверху для всех случаев:
$\pi N/4(1+1/2+...+1/l_{max})+O(N^{1/2})$. (236)

Функция $1/k$ является строго убывающей и на основании формулы Эйлера-Маклерона получаем:
$\sum_{k=1}^{l_{max}} {1/k}= \int _{k=1}^{l_{max}} {dx/x}+C+O(1/l_{max})$, (237)
где $C$ - постоянная.

Подставим (237) в (236) и получим следующую оценку сверху:
$\pi N/4[ \ln(l_{max})+C+O(1/l_{max})]+O(N^{1/2})$. (238)

Учитывая, что $l_{max}<N$, на основании (238) и учитывая $3/4$ случаев, при которых $(m^2+n^2)l $ будет четно, получаем оценку сверху для количества натуральных решений уравнения (229):
$R^{+}_3(N) \leq 3\pi N \ln(N)/16+O(N)$. (239)

Функция $F(x'_1,x'_2,x'_3)$ в уравнении (229) является четной по всем переменным, поэтому целые решения уравнения (229) могут находиться в любом из 8 октантов куба со стороной $[-N,N]$ по сравнению с одним октантом для натуральных значений, поэтому для получения оценки количества целых решений уравнения (229) надо оценку (229) умножить на $8$ и получим:
$R_3(N) \leq 3\pi N \ln(N)/2+O(N)$. (240)

Учитывая, что $3\pi N\ln(N)/2=O(N \ln(N))$ выражение (240) можно записать в виде:
$R_3(N) << N \ln(N)$. (241)

Так как при целочисленном обобщенном ортогональном преобразовании асимптотика количества целых решений алгебраических диофантовых уравнения сохраняется, то оценка (241) справедлива для количества целых решений исходного диофантова уравнения нашего примера (216).

[vicvolf]

Диофантово уравнение (229) являются однородными, поэтому естественно точка начала координат является его решением.

Кроме того, решениями уравнения (229) являются целые точки на двух прямых, находящиеся в плоскости $x'_1=0$:
$3x'_1+x'_3=0,3x'_1-x'_3=0$, (242)
а также целые точки на двух прямых, находящиеся в плоскости $x'_2=0$:
$3x'_1+2x'_3=0,3x'_1-2x'_3=0$. (243)

Асимптотика целых решений (242) и (243) не превосходит $O(N)$, поэтому оценка количества целых решений диофантова уравнения (229) и соответственно уравнения (216) остается без изменений и определяется формулой (240) и соответственно (241).

Все целые решения уравнений (229) и (216) находятся на прямолинейных образующих соответствующих конусов. На основании оценки (241) верхняя оценка количества таких образующих равна $O(\ln(N))$.

Приведение алгебраических диофантовых уравнений к диагональному виду является также способом его решения. Найти целочисленные решения уравнения (216) значительно сложнее, чем для уравнения (229).

Рассмотрим следующие две точки натуральных решения уравнения (229):
1) $l=6, m=2, n=1$, которому соответствует точка $x'_1=6,x'_2=4,x'_3=15$ и целые точки на прямолинейной образующей $x'_1=6t_1,x'_2=4t_1,x'_3=15t_1$, где переменная $t_1$ принимает любые целые значения;
2) $l=6, m=3, n=1$, которому соответствует точка $x'_1=16,x'_2=6,x'_3=30$ и целые точки на прямолинейной образующей $x'_1=16t_2,x'_2=6t_2,x'_3=30t_2$, где переменная $t_2$ принимает любые целые значения.

С помощью обратного преобразования:
$x_1=x'_1+x'_2-x'_3+1,x_2=-x'_1+2x'_2-2,x_3=x'_1+x'_2+x'_3-1$ (244)
легко найти соответствующие решения уравнения (216).

Например, точка 1) решений уравнения (229) соответствует на основании (244) следующей точке решения уравнения (216): $x_1=-4,x_2=0,x_3=24$, т.е. прямолинейной образующей конуса: $x_1=-4t_3,x_2=0,x_3=24t_3$, а точка 2) решений уравнения (229) соответствует на основании (244) следующей точке решения уравнения (216): $x_1=-7,x_2=-6,x_3=51$, т.е. прямолинейной образующей конуса: $x_1=-7t_4,x_2=-6t_4,x_3=51t_4$.

Аналогично можно получить другие целые решения диофантова уравнения (216).

[vicvolf]

До сих пор в теме рассматривались асимптотические оценки количества целых решений диагональных алгебраических диофантовых уравнений. Затем рассматривались целочисленные обобщенные ортогональные преобразования, приводящие алгебраическое диофантово уравнения к диагональному виду, сохраняющие асимптотику его целых решений.

Однако, как было показано, не любое алгебраическое диофантово уравнение (даже однородные второго порядка) могут быть приведены с помощью целочисленного обобщенного ортогонального преобразования к диагональному виду, сохраняющему асимптотику его целых решений.

Поэтому представляет интерес ответ на вопрос. Можно ли с помощью целочисленного неортогонального преобразования привести любое однородное алгебраическое уравнение второго порядка к диагональному виду, сохраняющему асимптотику количества его целых решений?

Ответ на этот вопрос положительный. Далее постараюсь доказать это.

[vicvolf]

Утверждение 3
Существует линейное преобразование (возможно неортогональное), матрица которого содержит только рациональные числа, приводящее квадратичную форму с целыми коэффициентами к каноническому виду (с рациональными коэффициентами).

Доказательство

Будем решать эту задачу индукцией по числу переменных.

Пусть имеется квадратичная форма от $n$ переменных в исходном базисе:
$\varphi(x_1,...,x_n)=\sum_{i,k=1}^n {a_{ik}x_ix_k}$, (245)
где $a_{ik}$- целые коэффициенты.

1. Рассмотрим случай, когда хотя бы одно $a_{ii}$ в (245) не равно 0. Не умаляя общность будем считать, что $a_{11}$ не равно 0.
При $n=1$ форма $\varphi(x_1)$ имеет вид $a_{11}x_1^2$, т.е. она уже приведена к каноническому виду и так как $a_{11}$ по условию целое число, то уже является рациональным.

Далее используем метод Лагранжа.

Выражение $(a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n)^2/a_{11}$ является квадратичной формой от $n$ переменных с рациональными коэффициентами, (так как $a_{11},...,a_{1n}$- целые числа) в которой члены содержащие $x_1$ такие же, как и в $\varphi(x_1,...,x_n)$.

Поэтому:
$\varphi(x_2,...,x_n)=\varphi(x_1,...,x_n) - (a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n)^2/a_{11}$ (246)
является квадратичной формой от $n-1$ переменных.

В силу индуктивного предположения существует линейное (возможно неортогональное) преобразование переменных $x_2,...,x_n$ с матрицей $C$, которая содержит только рациональные коэффициенты:
$x_2=c_{22}x'_2 +...+c_{2n}x'_n,...x_n=c_{n2}x'_2+...+c_{nn}x'_n$, (247)
где $\det(C)$ не равен 0,
приводящее форму $\varphi(x_2,...,x_n)$ к каноническому виду с рациональными коэффициентами:
$a'_2(x'_2)^2+...+a'_n(x'_n)^2$.

На основании (246), (247) получаем равенство:
$\varphi(x_1,...,x_n)=(a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n)^2/a_{11}+a'_2(x'_2)^2+...+a'_n(x'_n)^2$. (248)

Положим в (248):
$x'_1=a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n, a'_1=1/a_{11}$
и запишем (248) в виде:
$\varphi(x_1,...,x_n)=a'_1(x'_1)^2+a'_2(x'_2)^2+...+a'_n(x'_n)^2$. (249)
Форма (249) имеет канонический вид, в котором все коэффициенты рациональные числа.

Разрешим (249) относительно $x_1$ и получим:
$x_1=x'_1/a_{11}- a_{12}x_2/a_{11} -...- a_{1n}x_n/a_{11}$. (250)
Подставляя в (250) вместо $x_2,...,x_n$ их выражения через : $x'_2,...x'_n$ и учитывая (247) получим линейное преобразование с матрицей $C_1$:
$x_1=c_{11}x'_1+c_{12}x'_2+...+c_{1n}x'_n,x_2=c_{22}x'_2+$ $...+c_{2n}x'_n,...x_n=c_{n1}x'_2+...+c_{nn}x'_n$, (251)
где $\det(C_1)=c_{11} \cdot \det(C)$ не равен 0, так как $c_{11}=1/a_{11}$ не равно 0.

Таким образом, все коэффициенты $c_{ij}$ в матрице преобразования $C_1$ в (251) рациональные числа.

Далее рассмотрим случай 2, когда все $a_{ii}=0$.

[vicvolf]

2. Рассмотрим случай, когда все $a_{ii}=0$.

В этом случае имеются целые коэффициенты квадратичной формы $a_{ik}$ не равные 0 при $i$ не равным $k$.
Пусть, например, $a_{12}$ не равно 0, тогда $\varphi(x_1,...x_n)=2a_{12}x_1x_2+...$.

Сделаем целочисленное линейное преобразование:
$x_1=x'_1-x'_2;x_2=x'_1+x'_2,x_3=x'_3,...,x_n=x'_n$, (252)
детерминант которого отличен от 0.

Преобразование (252) переводит квадратичную форму $\varphi(x_1,...x_n)$ в форму $\varphi(x'_1,...x'_n)=2a_{12}(x'_1)^2-2a_{12}(x'_2)^2$ плюс члены содержащие $x'_3,...,x'_n$, которые не могут сокращаться с коэффициентами при $x'_1,x'_2$, поэтому форма $\varphi(x'_1,...x'_n)$ содержит при $x'_1^2$ целый коэффициент $2a_{12}$, отличный от 0.

Это значит, что форма $\varphi(x'_1,...x'_n)$ (на основании первой части доказательства) с помощью линейного преобразования с рациональными коэффициентами может быть приведена к форме $\varphi(x''_1,...x''_n)$ с каноническим видом и рациональными коэффициентами.

Таким образом, в случае 2 требуется последовательное применение целочисленного линейного преобразования (252) и линейного преобразования (251) с рациональными коэффициентами. В результате получаем линейное преобразование с рациональными коэффициентами, которое приводит квадратичную форму с целыми коэффициентами в случае 2 к каноническому виду с рациональными коэффициентами.

Следствие 1
Существует целочисленное линейное (не обязательно ортогональное) преобразование, которое приводит однородное уравнение или уравнение Туэ второго порядка к диагональному виду с сохранением асимптотики их целых решений.

Доказательство
На основании утверждения 3 существует линейное (не обязательно ортогональное) преобразование с рациональными коэффициентами, которое приводит квадратичную форму с целыми коэффициентами к каноническому виду с рациональными коэффициентами. После указанного преобразования выполним преобразование гомотетии с коэффициентом равным наименьшему общему знаменателю рациональных коэффициентов первого преобразования. В результате получим целочисленное линейное (не обязательно ортогональное) преобразование, которое приводит однородное уравнение или уравнение Туэ второго порядка к диагональному виду.
Как было показано выше любое целочисленное аффинное преобразование сохраняет асимптотику целых решений алгебраического диофантова уравнения, поэтому указанное выше результирующее целочисленное линейное преобразование также сохраняет указанную асимптотику.

[vicvolf]

Следствие 2
В случае, если алгебраическое диофантово уравнение соответствует центральной поверхности второго порядка, у которой центр имеет целочисленные координаты, то с помощью целочисленного аффинного (не обязательно ортогонального) преобразования данное диофантово уравнение можно привести к диагональному виду.

Доказательство
С помощью целочисленного переноса алгебраическое диофантово уравнение, соответствующее центральной поверхности второго порядка, у которой центр имеет целочисленные координаты, можно привести либо к однородному уравнению, либо уравнению Туэ второго порядка.
Далее на основании следствия 1 существует целочисленное линейное (не обязательно ортогональное) преобразование, которое приводит однородное уравнение или уравнение Туэ второго порядка к диагональному виду.
Последовательное применение целочисленного переноса и целочисленного (не обязательно ортогонального) преобразования в результате дает целочисленное аффинное (не обязательно ортогональное) преобразование.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1185926 писал(а):

Утверждение 3
Существует линейное преобразование (возможно неортогональное), матрица которого содержит только рациональные числа, приводящее квадратичную форму с целыми коэффициентами к каноническому виду (с рациональными коэффициентами).
Доказательство..

Для справки: в любом подробном учебнике линейной алгебры после док-ва т. Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду есть замечание: "поскольку все действия по преобразованию переменных происходят в поле, то, если коэффициенты формы были рац. числами, то и преобразование будет иметь рац. коэффициенты" См, например, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Федорчук В.В., 1990., стр. 249, п.23.4

[vicvolf]

Спасибо, что потратили время и отыскали это примечание у Федорчука.
В свое время занимался по Александрову и там его нет.
Сначала тоже думал указать, что преобразование Лагранжа выполняется в поле чисел. Поскольку я рассматриваю диофантовы уравнения с целыми коэффициентами, то в поле рациональных чисел.

[vicvolf]

Целочисленное преобразование по методу Лагранжа, в общем случае, не сохраняет перпендикулярность базисных векторов, как обобщенное ортогональное преобразование. Поэтому расстояние между точками, прямыми и плоскостями целочисленных решений алгебраических диофантовых уравнений после данного преобразования не увеличивается в $(|det(C)|)^{1/n}$ раз, где $C$ - матрица преобразования, а $n$- степень уравнения, как при обобщенном ортогональном преобразовании. Поясним сказанное на примере.

Рассмотрим снова уравнение Туэ (184):
$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-1=0$.

Данное уравнение имеет целочисленные решения, находящиеся на двух параллельных прямых: $x_2=-x_1-1,x_2=-x_1+1$.
Расстояние между этими прямыми равно $\sqrt {2}$.

Выполним приведение уравнения (184) к диагональному виду по методу Лагранжа. Для этого преобразуем уравнение (184) к виду:
$(x_1+x_2)^2-1=0$. (253)

Сделаем замену переменных в (253):
$x'_1=x_1+x_2, x'_2=x_2$ или $x_1=x'_1-x'_2, x_2=x'_2$. (254)

Определитель преобразования (254) равен:
$det(C)=1$. (255)

После преобразования (254) уравнения (184) получим уравнение:
$(x'_1)^2-1=0$, (256)
которое совпадает с уравнением (187), полученным после обобщенного ортогонального преобразования с $det(C_d)=2$.

Уравнение (256) имеет целочисленные решения, находящиеся на двух параллельных прямых:
$x'_2=-1,x'_2=1$. (257)

Расстояние между прямыми (257) равно 2, т.е. увеличилось в $\sqrt{2}$, что полностью соответствует свойству обобщенного ортогонального преобразования:
$(|det(C_d)|)^{1/2}=\sqrt{2}$.

Целочисленное обобщенное ортогональное преобразование, которое применялось в первый раз для приведения уравнения (184) к диагональному виду, сохраняющему асимптотику количества целых решений, состояло из ортогонального преобразования и последующего преобразования деформации (гомотетии с $k=2$).

Преобразование по методу Лагранжа в данном случае оказалось целочисленным, поэтому не потребовалось дополнительное преобразование деформации (растяжения) базисных векторов. Преобразование по методу Лагранжа, как говорилось выше, также сохраняет асимптотику количества целых решений алгебраического диофантова уравнения.

С другой стороны, $(|det(C)|)^{1/2}=1$ (не равен $\sqrt{2}$). Таким образом, как говорилось выше, по определителю преобразования по методу Лагранжа нельзя определить, как изменится расстояние между целочисленными решениями диофантова уравнения после данного преобразования.

[vicvolf]

Доказательство утверждения 3 дает также алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду с использованием преобразования по методу Лагранжа.

Из данного алгоритма вытекает, что матрица преобразования по методу Лагранжа $C$ при $n=2$ имеет вид:

$C$ = $\left( \begin {array} {ccc}1 & a_{12}/a_{11} \\0 & 1\\\end {array}\right)$. (258)

Учитывая (258), в приведенном выше примере $a_{11}=1$, поэтому матрица преобразования по методу Лагранжа получилась сразу целочисленная и не потребовалось дополнительное преобразование деформации.
В общем случае такое преобразование необходимо.

Использовать в качестве преобразования деформации гомотетию удобно только при доказательстве.
На практике в случае $n>2$ для получения меньших коэффициентов результирующей квадратичной формы удобнее в качестве дополнительного преобразования деформации использовать различное растяжение по базисным векторам.

В этом случае дополнительное преобразование деформации будет иметь вид:
$x'_1=k_1x''_1,...x'_n=k_n x''_n$, (259)
где в качестве $k_i$ берется наименьшее общее кратное знаменателей $i$-ой колонки матрицы преобразования $C$ по методу Лагранжа.

Поясним это на примере.

[vicvolf]

Предположим, что после преобразования по методу Лагранжа к каноническому виду квадратичная форма имеет вид:
$f=\sum_{i=1}^{n}{a'_{ii}(x'_i)^2$.

Тогда после преобразования (259) получим квадратичную форму:
$f'=\sum_{i=1}^{n}{a''_{ii}(x''_i)^2$, (260)
где $a''_{ii}=(k_i)^2a'_{ii}$.

Поясним на примере.
Пусть имеется квадратичная форма:
$f=2x_1^2+3x_2^2+6x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3-6x_2x_3$. (261)

Требуется найти целочисленное преобразование, являющееся комбинацией преобразования по методу Лагранжа и деформации (c различным растяжениям по базисным векторам), которое приводит форму (261) к каноническому виду.

После приведения формы (261) к каноническому виду по методу Лагранжа получаем:
$f=2(x_1-x_2/2+x_3)^2+5/2(x_2-4x_3/5)^2+44x_3^2/10$. (262)

Сделаем замену переменных в (262):
$x'_1=x_1-x_2/2+x_3,x'_2=x_2-4x_3/5,x'_3=x_3$

Получим линейное преобразование:
$x_1=x'_1+x'_2/2+7x'_3/2,x_2=x'_2+4x'_3/5,x_3=x'_3$. (263)

[vicvolf]

На основании (263) в данном примере матрица преобразования по методу Лагранжа имеет вид:

$C$ $=\left( \begin {array} {ccc} 1 & 1/2 & 7/2\\ 0 & 1 & 4/5\\ 0 & 0 & 1\\ \end {array} \right)$. (264)

Далее на основании (259) и (264) мы выбираем следующие значения коэффициентов растяжения:

$k_1=1,k_2=2,k_3=10$. (265)

Учитывая (264) и (265) мы получаем следующую целочисленную матрицу результирующего линейного преобразования, приводящую квадратичную форму (261) в канонический вид:

$C'$ $=\left( \begin {array} {ccc} 1 & 1 & 35\\ 0 & 1 & 20\\ 0 & 0 & 10\\ \end {array} \right)$. (266)

После выполнения целочисленного преобразования (266) на основании (260) мы получаем следующую каноническую форму с целыми коэффициентами:

$f'=2(x'_1)^2+10(x'_2)^2+440(x'_3)^2$. (267)

[vicvolf]

Исправление в примере

Пусть имеется квадратичная форма:
$f=2x_1^2+3x_2^2+6x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3-6x_2x_3$. (261)

Требуется найти целочисленное преобразование, являющееся комбинацией преобразования по методу Лагранжа и деформации (c различным растяжениям по базисным векторам), которое приводит форму (261) к каноническому виду.

После приведения формы (261) к каноническому виду по методу Лагранжа получаем:
$f=2(x_1-x_2/2+x_3)^2+5/2(x_2-4x_3/5)^2+12x_3^2/5$. (262)

Сделаем замену переменных в (262):
$x'_1=x_1-x_2/2+x_3,x'_2=x_2-4x_3/5,x'_3=x_3$

Получим линейное преобразование:
$x_1=x'_1+x'_2/2+7x'_3/2,x_2=x'_2+4x'_3/5,x_3=x'_3$. (263)

На основании (263) в данном примере матрица преобразования по методу Лагранжа имеет вид:

$C$ $=\left( \begin {array} {ccc} 1 & 1/2 & 7/2\\ 0 & 1 & 4/5\\ 0 & 0 & 1\\ \end {array} \right)$. (264)

Далее на основании (259) и (264) мы выбираем следующие значения коэффициентов растяжения:

$k_1=1,k_2=2,k_3=10$. (265)

Учитывая (264) и (265) мы получаем следующую целочисленную матрицу результирующего линейного преобразования, приводящую квадратичную форму (261) в канонический вид:

$C'$ $=\left( \begin {array} {ccc} 1 & 1 & 35\\ 0 & 1 & 20\\ 0 & 0 & 10\\ \end {array} \right)$. (266)

После выполнения целочисленного преобразования (266) на основании (260) мы получаем следующую каноническую форму с целыми коэффициентами:

$f'=2(x'_1)^2+10(x'_2)^2+240(x'_3)^2$. (267)

[vicvolf]

Известно, что аффинное преобразование сохраняет параллельность гиперпрямых и гиперплоскостей, поэтому гиперкуб при аффинном преобразовании, в общем случае, преобразуется в наклонный гиперпараллелепипед. При обобщенном ортогональном преобразовании, сохраняющем углы, гиперкуб переходит в прямой гиперпараллелепипед, а при ортогональном преобразовании, сохраняющем углы и расстояния гиперкуб преобразуется в такой же гиперкуб.

На основании свойств аффинного преобразования, как уже говорилось (178), объем наклонного гиперпараллелепипеда, полученного после аффинного преобразования с матрицей $C$ $n$ - мерного асимптотического гиперкуба со стороной $[-N,N]$ равен: $V_p=(2N)^n \cdot |det(C)|$.

При целочисленном аффинном преобразовании все целые точки, находящиеся в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ переходят в соответствующие целые точки, находящиеся в полученном после преобразования наклонном гиперпараллелепипеде. Отсюда из формулы (178) вытекает, что если $|det(C)|>1$, то плотность целочисленных решений диофантова уравнения при данном преобразовании уменьшается (под плотностью целочисленных решений диофантова уравнения понимается частное от деления количества целых решений диофантова уравнения в гиперкубе на объем гиперкуба).

Известно, что под унимодулярным преобразованием понимается линейное целочисленное преобразование с матрицей $U$, для которого $|det(U)|=1$.

Из сказанного выше следуют два утверждения.

Утверждение 4
При унимодулярном преобразовании плотность целых решений диофантова уравнения сохраняется, а количество целых решений диофантова уравнения, находящихся в гиперкубе равно количеству целых решений диофантова уравнения, полученного после преобразования, находящихся в полученном, в общем случае, наклонном гиперпараллелепипеде.

Следствие из утверждения 4
Если преобразование по методу Лагранжа является целочисленным, а все угловые миноры его детерминанта отличны от нуля, то оно с одной стороны является унимодулярным, поэтому к нему применимо утверждение 4. С другой стороны оно приводит квадратичную форму диофантова уравнения к каноническому виду:
$M_1x_1^2+(M_2/M_1)x_2^2+...+(M_r/M_{r-1})x_r^2$, (268)
где $M_i$-угловой минор $i$-ого порядка, а $r$ - ранг квадратичной формы.

Доказательство
Так как все угловые миноры детерминанта преобразования отличны от нуля, то матрица преобразования Лагранжа имеет верхнетреугольный вид с единицами на диагонали. Поэтому детерминант такой матрицы равен 1 и так как по условию преобразование является целочисленным, то оно является унимодулярным. С другой стороны, так как по условию все угловые миноры детерминанта преобразования отличны от нуля, то выполняется условие теоремы Якоби, которая утверждает, что канонический вид квадратичный формы в этом случае определяется формулой (268).

Немного позже утверждение 4 и его следствие поясню на примере.

Утверждение 5
Любое целочисленное линейное ортогональное преобразование является унимодулярным и количество целых решений диофантова уравнения, находящихся в гиперкубе при данном преобразовании сохраняется. Если к тому же данное преобразование приводит квадратичную форму диофантова уравнения к каноническому виду, то полученное диагональное диофантово уравнение имеет столько же целых решений в гиперкубе, что и исходное диофантово уравнение.

Долказательство
Если преобразование ортогональное, то модуль его детерминанта равен единице. Так как по условию данное преобразование также является линейным целочисленным, то оно по определению является унимодулярным. На основании утверждения 4 унимодулярное преобразование сохраняет количество целых решений диофантова уравнения, находящихся в гиперкубе. Так как при ортогональном преобразовании гиперкуб переходит в такой же гиперкуб, то в полученном гиперкубе содержится такое же количество целых решений диофантова уравнения, что и в исходном. Если целочисленное ортогональное преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду, то соответствующее данной форме диагональное диофантово уравнение имеет столько же целых решений в гиперкубе, что и исходное диофантово уравнение.

Примером матрицы целочисленного линейного ортогонального преобразования является: $C$ = $\left( \begin {array} {ccc}0 &-1 \\1 & 0\\\end {array}\right)$. Это поворот на угол $\pi/2$.