Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1091023 писал(а):

Этому вопросу посвящена данная работа.

Нет, эта "работа" не содержит самостоятельных идей и посвящена исключительно монотонному переписыванию формул из чужих монографий на данный форум.

[vicvolf]

Сделаем оценку сверху количества натуральных решений следующего неоднородного уравнения диагонального вида с явно выраженной переменной в гиперкубе со стороной $N$:
$x_1=a_{n2}x_2^n+...+a_{12}x_2+....+a_{nk}x_k^n+...+a_{1k}x_k$, (129)
где все $a_{ij}$- натуральные числа.

Для начала сделаем оценку количества натуральных решений следующего неоднородного уравнения диагонального вида с явно выраженной переменной в гиперкубе со стороной $N$:
$x_1=x_2^n+...+x_k^n$. (130)

Докажем индукцией по $k$ оценку количества натуральных решений неоднородного уравнения (130):
$R_k^{+}(N)=O(N^{(k-1)/n})$, (131)

Для $k=2$ получаем уравнение $x_1=x_2^n$, для которого оценка количества натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$: $R_2^{+}(N)=N^{1/n}$, что соответствует (131).

Предположим, что для $k=i$ справедлива оценка количества натуральных решений неоднородного уравнения (130):$R_i^{+}(N) = O(N^{(i-1)/n})$, что соответствует (131).

Тогда для $k=i+1$ справедлива оценка количества натуральных решений неоднородного уравнения (130):$R_{i+1}^{+}(N)= R_i^{+}(N) \cdot O(N^{1/n})=O(N^{(i-1)/n}) \cdot O(N^{1/n})=O(N^{i/n}) $, что соответствует (131) ч.т.д.

В частном случае, рассмотрим оценку количества натуральных решений уравнения $x_1=x_2^2+x_3^2+x_4^2$ в гиперкубе со стороной $N$ другим способом.

Количество натуральных решений в данном гиперкубе определяется, как количество натуральных решений неравенства: $x_1=x_2^2+x_3^2+x_4^2 \leq N$, которое равно количеству точек c натуральными координатами внутри шара с радиусом $N^{1/2}$:
$R_4^{+}(N)=\pi N^{3/2}/6+O(N)=O(N^{3/2})$. (132)

Формула (132) соответствует (131) при $n=2,k=4$.

Учитывая выполнение неравенств:
$x_2^n \leq a_{n2}x_2^n+...+a_{12}x_2$,
...
$x_k^n \leq a_{n2}x_k^n+...+a_{12}x_k$,
количество натуральных решений уравнения (129) в гиперкубе со стороной $N$ не будет превосходить количество натуральных решений уравнения (130).

Поэтому справедлива следующая оценка сверху количества натуральных решений уравнения (129) в гиперкубе со стороной $N$:

$R_k^{+}(N) << N^{(k-1)/n}$. (133)

[vicvolf]

Теперь рассмотрим уравнение:
$x_1=a_2x_2^n+...+a_kx_k^n$, (134)
где $a_i$ - целые числа, а $n$ - натуральное число.

Математической индукцией по $k$ покажем, что верхняя граница количества целых решений уравнения (134) в гиперкубе $[-N,N]$ равна:
$R_k(N) << N^{(k-1)/n}$. (135)

При $k=2$ имеем уравнение:
$x_1=a_2x_2^n$.

В случае, если $a_2$ - натуральное число, то на основании (133) верхняя граница количества натуральных решений:
$R_2^{+}(n) <<N^{1/n}$, (136)
что соответствует (135).

В случае, если $a_2$ -отрицательное целое число, то верхняя граница количества целых решений равна:
$R_2(n) <<N^{1/n}$, (137)
что соответствует (135).

Предположим по индукции, что формула (135) справедлива для $k=l$, т.е.
$R_l(N) << N^{(l-1)/n}$.

Тогда для $k=l+1$, получим, что верхняя граница количества целых решений равна:
$R_{l+1}(N) << N^{(l-1)/n} \cdot N^{1/n}= N^{l/n} $. ч.т.д.

Рассмотрим доказательство частного случая другим методом.

Уравнение:
$x_1=a_2x_2^2+a_3x_3^2$, (138)
если $a_2,a_3$ - натуральные числа соответствует эллиптическому параболоиду.

Уравнение (138) имеет только неотрицательные целые решения с верхней оценкой их количества на основании (133):
$R_3(N)<<N$. (139)

Эллиптический параболоид образуется движением подвижной параболы, у которой усы смотрят вверх, по неподвижной параболе, у которой усы также смотрят вверх.

Рассмотрим фигуру, образованную движением такой же параболы, но у которой усы смотрят вниз, по такой же неподвижной параболе, у которой усы смотрят вверх. Такая фигура является гиперболическим параболоидом.

Уравнение такого гиперболического параболоида имеет вид:
$x_1=a_2x_2^2-a_3x_3^2$, (140)
где $a_2,a_3$ - натуральные числа.

Естественно площади поверхностей (138) и (140) совпадают. Поэтому верхняя оценка количества целых решений уравнения (140) определяется также формулой (139), что соответствует формуле (135) при $k=3,n=2$.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1131537 писал(а):

Естественно площади поверхностей (138) и (140) совпадают.

Обе эти поверхности неограничены, поэтому сравнивать их площади бессмысленно и безграмотно.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1131537 писал(а):

верхняя граница количества целых решений уравнения (134) в гиперкубе $[-N,N]$ .

В данном частном случае рассмотрение ведется в кубе со стороной $[-N,N]$ .

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1131537 писал(а):

Естественно площади поверхностей (138) и (140) совпадают.

А почему это "естественно"? Мне вот непонятно, почему эти площади совпадают.

[vicvolf]

Согласен. Площадь поверхности (140) больше, чем (138). Неправильна также оценка (135).

Сделаем оценку другим методом. Назовем его методом сечений.

Рассмотрим сечение гиперболического параболоида (140) плоскостью $x_3=h$ и получим параболу, сдвинутую относительно начала координат:
$x_1+a_3h^2=a_2x_2^2$. (141)

В квадрате со стороной $[-N,N]$ для параболы (141) справедлива следующая асимптотическая оценка количества целых решений:
$R_2(N) << N^{1/2}$.

Учитывая, что гиперболический параболоид (140) не ограничен по оси $x_3$, то на отрезке данной оси $[-N,N]$ будет $2N+1$ таких парабол или $O(N)$.
Поэтому верхняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (140) в кубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_3(N)<< N^{3/2}$. (142)

Уравнение (134) можно представить в виде:
$x_1=b_2x_2^n+...+b_mx_m^n-b_{m+1}x_{m+1}^n-...-b_kx_k^n$, (143)
где все $b_i$ - натуральные числа.

Методом математической индукции по $k$ покажем, что верхняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (143) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ равна:

$R_k(N)<< N^{(m-1)/n+k-m}$. (144)

На первом шаге индукции рассмотрим уравнение:
$x_1=b_2x_2^n+...+b_mx_m^n-b_{m+1}x_{m+1}^n$. (145)

При сечении гиперповерхности (145) плоскостью $x_{m+1}=h$ мы получаем сдвинутую относительно начала координат гиперповерхность (129):
$x_1+b_{m+1}h^n=b_2x_2^n+...+b_mx_m^n$. (146)

В соответствии с (133) справедлива следующая асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (146) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$:
$R_m(N) <<N^{(m-1)/n}$. (147)

Учитывая, что гиперповерхность (145) не ограничена по $x_{m+1}$, то на отрезке данной оси $[-N,N]$ гиперповерхность (145) содержит $2N+1$ или $O(N)$ сечений (146).
Поэтому справедлива следующая асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (145) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$:
$R_{m+1}(N) <<N^{(m-1)/n+1}$. (148)

Теперь предположим, что формула (144) справедлива для $k=l$, т.е выполняется:
$R_l(N)<< N^{(m-1)/n+l-m}$. (149)

Исходя из (149) докажем справедливость оценки (144) для $k=l+1$:
$R_{l+1}(N)<< N^{(m-1)/n+l-m} \cdot N= N^{(m-1)/n+l+1-m} $,
так как сечений с оценкой (149) - $O(N)$ ч.т.д.

Формула (142) получается из (144) при $n=2, k=3,m=2$.

[vicvolf]

Формулы (133) и (144) справедливы для четных значений $n$, а также для неотрицательных значений переменных при нечетном значении $n$.

При нечетном значении $n$ для оценки сверху количества целых решений неприводимых уравнений $n$-ой степени в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ вместо формул (133), (144) справедлива формула Pila, которая легко доказывается по индукции от числа переменных $k$:
$R_k(N)<<N^{k-1+1/n+\epsilon}$.(150)

[vicvolf]

При $k=2, n >2$ известно, что количество целых решений уравнения Туэ конечно. Поэтому рассмотрим другие случаи.

Сначала рассмотрим уравнение Туэ при количестве переменных $k>2$ и степени $n=2$:
$F_2(x_1,...x_k)+F_0=0$, (151)
где $F_2(x_1,...x_k)$ - квадратичная форма c целыми коэффициентами, а $F_0$ - целое число.
Уравнение (151) соответствует центральной гиперповерхности 2-ого порядка.

С помощью аффинного (ортогонального преобразования и переноса начала координат в центр гиперповерхности) любую центральную гиперповерхность 2-ого порядка можно привести к диагональному виду:
$a_1x_1^2+...+a_kx_k^2+c=0$. (152)

Для того, чтобы все $a_i, c$ уравнения (152) были целочисленными должно существовать такое целочисленное аффинное преобразование (об этом поговорим отдельно).

Рассмотрим уравнение (152), у которого все $a_i, c$ целые числа.

В случае, если знаки $a_i, c$ совпадают, то уравнение (152) соответствует мнимому эллипсоиду и действительных решений не имеет.

В случае, если все $a_i$ одного знака. а $c$ -противоположного, то уравнение (152) соответствует эллипсоиду, поэтому имеет конечное число целых решений и справедлива следующая оценка:
$R_k(N)<<N^\epsilon$, (153)
где $\epsilon$- малое положительное число.

В случае, если коэффициенты $a_i$ при $i \leq m$ имеют знаки противоположные $c$, а при $i>m$ имеют знаки совпадающие с $c$, то уравнение (152) можно представить в виде:
$b_1x_1^2+...+b_mx_m^2-b_{m+1}x_{m+1}^2-...-b_kx_k^2+c=0$, (154)
где $b_i$- натуральные числа, а $c$ - целое число.
Уравнение (154) соответствует гиперболоиду индекса $m$.

Для уравнения (154) справедлива следующая оценка сверху количества целых решений в гиперкубе $[-N,N]$:
$R_k(N)<< N^{k-m+\epsilon}$. (155)

Немного позже докажем формулу (155) в более общем случае.

А сейчас заметим, что когда $N$ стремится к бесконечности, то гиперболоид (154) стремится к своему асимптотическому конусу направлений:
$b_1x_1^2+...+b_mx_m^2-b_{m+1}x_{m+1}^2-...-b_kx_k^2=0$, (156)
т.е. однородное уравнение (156) имеет туже асимптотику количества целых решений (155).

[vicvolf]

Вернемся к вопросу - при каких условиях уравнение Туэ (151) с помощью аффинного преобразования может быть приведено к уравнению (152) с целыми коэффициентами.

Здесь все просто. Пусть $F_2(x_1,...x_k)= \Sigma_{i,j=1}^k {a_{ij}x_ix_j$ - квадратичная форма с матрицей $A=(a_{ij})$.

При ортогональном преобразовании координат любая квадратичная форма $F_2$ приводится к диагональному виду:
$d_1x_1^2+...+d_kx_k^2$, (157)

где $d_i$ являются корнями характеристического уравнения:
$|A-dE|=0$, (158)

а $E$ - единичная матрица.

Таким образом, на основании (157) в уравнении (152) $a_i=d_i$, поэтому требуется, чтобы все корни уравнения (158) были целые числа.

С другой стороны, $c=F_0$, так как $c$ является инвариантом при ортогональном преобразовании, а $F_0$ является целым числом по определению.

Поэтому, в данном случае, условие, чтобы все корни характеристического уравнения (158) являлись целыми числами является достаточным.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим более общее диагональное уравнение Туэ:
$a_1x_1^n+...a_mx_m^n-a_{m+1}x_{m+1}^n-...-a_kx_k^n+c=0$, (159)
где все $a_i$-натуральные числа, а $c$ -целое число.

Покажем с помощью метода математической индукции по $k$, что количество целых решений уравнения (159) для четных значений $n$ в гиперкубе со стороной $[-N.N]$ имеет оценку (155).

На первом шаге рассмотрим уравнение:
$a_1x_1^n+...a_mx_m^n-a_{m+1}x_{m+1}^n+c=0$. (160)

При сечении гиперповерхности (160) гиперплоскостью $x_{m+1}=h$ мы получим уравнение:

$a_1x_1^n+...a_mx_m^n=a_{m+1}h^n-c$,
которое имеет конечное число решений, т.е.:

$R_m(N)<<N^{\epsilon}$, где $\epsilon$ - малое положительное число.

Это соответствует формуле (155) при $k=m$.

Предположим, что для $k=l$ выполняется:
$R_l(N)<<N^{l-m+\epsilon}$. (161)

Выполним сечение гиперплоскостью $x_{l+1}=h$ гиперповерхности:

$a_1x_1^n+...a_mx_m^n-a_{m+1}x_{m+1}^n-...-a_{l+1}x_{l+1}^n+c=0$. (162)

В сечении мы получим гиперповерхность:

$a_1x_1^n+...a_mx_m^n-a_{m+1}x_{m+1}^n-...-a_{l}x_{l}^n=a_{l+1}h_{l+1}^n-c$,
для которой выполняется оценка количества целых решений (161).

Учитывая, что таких сечений не более $2N+1$ или $O(N)$, то на основании (161) получим оценку количества целых решений для уравнения (162):
$R_{l+1}<<N^{l-m+\epsilon} \cdot N=N^{l-m+1+\epsilon}$, что соответствует (155).

В случае нечетного значения $n$ формула (155) справедлива для оценки количества натуральных решений уравнения (159) в гиперкубе со стороной длины $N$.

Для оценки сверху количества всех целых решений уравнения (159) при нечетном значении $n$ в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ справедлива формула Pila (150).

Учитывая, что асимптотическим конусом направлений для поверхности (159) является поверхность:

$a_1x_1^n+...a_mx_m^n-a_{m+1}x_{m+1}^n-...-a_kx_k^n=0$, (163)

то для уравнения (163) справедлива оценка (155) количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$.

[vicvolf]

В случае, если в уравнении (159) знаков минус больше, чем плюсов, т.е. $k-m>m$ или $k>2m$, то уравнение (159) можно заменить на эквивалентное:
$a_{m+1}x_{m+1}^n+...+a_kx_k^n-a_1x_1^n-...-a_mx_m^n-c=0$,
которое имеет больше знаков плюс, поэтому верхняя оценка количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ не превосходит:
$R_k(N)<<N^{[k/2]+\epsilon}$. (164)

Формула (155) справедлива при малых и больших значениях $k$. Заметим, что ранее рассматривалась формула оценки количества целых решений для диагонального однородного уравнения степени $n$ при большом числе переменных:

$a_1x_1^n+...+a_kx_k^n=0$, (165)
где все $a_i$ - целые числа.

Для уравнения (165), с помощью Кругового метода Харди-Литтлвуда в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ при большом числе переменных $k$, была доказана формула:
$R_k<<N^{k-n+\epsilon}$, (166)
где $\epsilon$ - малое положительное число.

Так как уравнение (165) является асимптотическим конусом направлений, то формула (166) справедлива для уравнения Туэ при большом числе переменных:
$a_1x_1^n+...+a_kx_k^n+c=0$. (167)

Теперь, в качестве примера, рассмотрим оценку количества целых решений для уравнения:
$x_1^2+x_2^2-x_3^2-1=0$. (168)

Уравнение (168) эквивалентно уравнению:
$(x_1+x_3)(x_1-x_3)+(x_2+1)(x_2-1)=0$,
которое имеет решения:
$x_1=-x_3,x_2=1$;
$x_1=-x_3,x_2=-1$;
$x_1=x_3,x_2=1$;
$x_1=x_3,x_2=-1$.

Следовательно, данное уравнение имеет в кубе со стороной $[-N,N]$ следующее количество целых решений:
$R_3(N)=4(2N+1)=O(N)$.(169)

С другой стороны, на основании (155) для уравнения (168) справедлива оценка:
$R_3(N)<<N^{1+\epsilon}$,
что соответствует (169).

[victor.l]

А например что проще, найти количество решений для диофантова уравнения $x^2+11y^2=n$ или для уравнения $x^2+13y^2=n$. Или доказать что диофантово уравнение $x^2+11y^2=n$ может иметь пять решений, но не может иметь семь решений.

-- 25.06.2016, 22:16 --

А для случая $x^2+y^2=z^2+1$ количество решений определятся каноническим разложением числа $z^2+1$.

[vicvolf]

Вы приводите пример определения количества целых решений уравнения Туэ, у которых слева находится положительно определенная квадратичная форма. Такие уравнения соответствуют эллипсу и поэтому имеют конечное число решений. Используемый для этого метод сравнений по модулю давно известен (Бухштаб "Теория чисел" 1966 г. стр.286). Этим методом действительно можно показать при конкретном $n$, сколько целых решений имеет уравнение и даже найти эти решения. Однако, даже в этом случае, только для конкретных $n$ уравнение может иметь 5 или 7 решений. В общем случае, количество решений зависит от модуля, который кратен $n$.
Меня интересует асимптотическая оценка количества целых (натуральных) решений уравнения Туэ. В данном случае, при конечном числе целых решений, асимптотическая оценка по $n$.
Для уравнения Туэ вида:
$a_1x_1^k+...+a_sx_s^k=n$, (170)
где все $a_i$ -натуральные числа,
тривиальная асимптотическая оценка количества целых решений:
$R_s(n)<<n^{s/k}$. (171)
Более точная асимптотическая оценка, полученная методом Харди-Литтлвуда для уравнения (170):
$R_s(n)<<n^{s/k-1+\epsilon}$, (172)
где $\epsilon$-малое положительное число.
Однако, оценка (172) справедлива, когда $s$ значительно больше $k$, поэтому не подходит в нашем случае.
В нашем случае $s=2,k=2$ можно использовать тривиальную оценку (171):
$R_2(n)<<n$.
Если бы справа стояла бы не положительно определенная форма, то указанный Вами метод уже нельзя было бы использовать. Уравнение Туэ в этом случае вообще может иметь бесконечное число решений, например в случае уравнения Вейля. Тем более в случае большего количества переменных и более высокой степени уравнения. В этом случае меня интересует асимптотическая оценка количества целых решений уравнения Туэ в гиперкубе со стороной $[-N,N]$. Указанная оценка дается формулой (155).

-- 26.06.2016, 18:13 --

victor.l в сообщении #1133985 писал(а):

А для случая $x^2+y^2=z^2+1$ количество решений определятся каноническим разложением числа $z^2+1$.

Это просто пример, показывающий использование (155).

[vicvolf]

Оценки количества решений диофантовых уравнений в данной работе проводились в основном для диагональных уравнений, которые соответствуют каноническим уравнениям поверхностей. Отсюда возникает вопрос - любое ли диофантово уравнение можно привести к диагональному виду?

Известно, что любую поверхность 2-ого порядка с помощью аффинного преобразования можно привести к каноническому виду (в некоторых частных случаях поверхности более высоких порядков). Однако, даже в этих случаях канонические уравнения поверхностей, в общем случае, не имеют целочисленные коэффициенты, поэтому не являются диофантовыми.

Для того, чтобы после преобразования диофантова уравнения у него были целочисленные коэффициенты требуется, чтобы данное преобразование было целочисленным, т.е. все коэффициенты преобразования являлись целыми числами. В этом случае, каждому целому решению уравнения $F(x_1.,,,x_n)=0$ будет соответствовать целое решение уравнения $G(x_1,...x_n)=0$, полученного после целочисленного преобразования. Кроме того уравнение $G(x_1,...x_n)=0$ будет иметь целые коэффициенты, т.е. являться диофантовым.

Надо также учесть, что для того, чтобы между количеством целых решений уравнений $F(x_1.,,,x_n)=0$ и $G(x_1,...x_n)=0$ было взаимное однозначное соответствие, то целочисленное преобразование должно быть аффинным.

Продолжение следует.