Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1140549 писал(а):

Известно, что любую поверхность 2-ого порядка с помощью аффинного преобразования можно привести к каноническому виду (в некоторых частных случаях поверхности более высоких порядков). Однако, даже в этих случаях канонические уравнения поверхностей, в общем случае, не имеют целочисленные коэффициенты, поэтому не являются диофантовыми.

Для того, чтобы после преобразования диофантова уравнения у него были целочисленные коэффициенты требуется, чтобы данное преобразование было целочисленным, т.е. все коэффициенты преобразования являлись целыми числами. В этом случае, каждому целому решению уравнения $F(x_1.,,,x_n)=0$ будет соответствовать целое решение уравнения $G(x_1,...x_n)=0$, полученного после целочисленного преобразования. Кроме того уравнение $G(x_1,...x_n)=0$ будет иметь целые коэффициенты, т.е. являться диофантовым.

Надо также учесть, что для того, чтобы между количеством целых решений уравнений $F(x_1.,,,x_n)=0$ и $G(x_1,...x_n)=0$ было взаимное однозначное соответствие, то целочисленное преобразование должно быть аффинным.

А еще, чтобы полопать, сначала нужно потопать, и вода мокрая, а зимой идет снег!
Какова научная ценность процитированного мной списка банальных утверждений? С какой целью все эти банальности, которые может изречь любой первокурсник мехмата, выдаются за "научную работу"?

[vicvolf]

Brukvalub это не банальность, если Вы не обратили внимание на существенную неточность.

Для взаимной однозначности решений уравнений $F=0,G=0$ не требуется, чтобы преобразование было аффинным.

Любое биективное отображение является взаимно-однозначным. Если функция имеет обратную функцию, то она осуществляет биективное отображение.
Примером биективного отображения является любой моном нечетной степени.

Однако, кроме взаимно-однозначности в данном случае важным является сохранение при преобразовании асимптотического количества решений диофантовых уравнений. Данному требованию удовлетворяет только аффинное преобразование.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1141709 писал(а):

Любое биективное отображение является взаимно-однозначным. Если функция имеет обратную функцию, то она осуществляет биективное отображение.
Примером биективного отображения является любой моном нечетной степени.

А можно изрекать банальности помедленнее, а то я не успеваю записывать их в тетрадь "Великих Суждений"?

vicvolf в сообщении #1141709 писал(а):

Brukvalub это не банальность, если Вы не обратили внимание на существенную неточность.

Как здесь можно на что-то там обратить внимание, если вся тема состоит из изречения банальностей и переписывания для частных случаев формул из чужих работ?
В чем состоит научная ценность и дискуссионность этого потока тривиальных умозаключений? Кому, кроме вашего тщеславия, это может пригодиться?

[vicvolf]

Напомню, что основной целью данной работы является асимптотическая оценка количества целых (натуральных) решений алгебраического диофантова уравнения:
$F(x_1,...,x_n)=0$. (155)

До сих пор в работе рассматривалась асимптотическая оценка количества целых решений диагональных диофантовых алгебраических уравнений.
Поэтому нас интересует целочисленное преобразование, которое приводило бы уравнение (155) к диагональному виду и при этом сохраняло бы асимптотику количества целых решений данного уравнения. Таким образом, нас интересует целочисленное преобразование, которое сохраняет количество целых решений уравнения, умноженное на некоторую постоянную.

В этом случае каждому целому решению уравнения (155) должно соответствовать целое решение уравнения $G(x_1',...,x_n')=0$ и наоборот, где многочлен $G$ получен после преобразования многочлена $F$ . Таким образом, данное преобразование должно являться не только целочисленным,но и биективным.

Однако, не любое биективное отображение сохраняет количество целых решений уравнения в заданном объеме, например, в гиперсфере.
Преобразование движения является биективным отображением и сохраняет количество целых решений уравнения в гиперсфере, так как сохраняет расстояния между точками (в частности от точки решения уравнения до начала координат).

Целочисленное преобразование движения, которое приводит алгебраическую поверхность, соответствующую уравнению (155), к каноническому виду (поверхности второго порядка и некоторые другие поверхности более высокого порядка), состоит из целочисленного преобразования вращения с матрицей, члены которой равны только: $-1, 0, 1$ и целочисленного переноса.

Таким образом, целочисленное преобразование, сохраняющее асимптотику количества целых решений алгебраического диофантова уравнения, является деформацией, которая состоит из нецелочисленного преобразования движения (приведения поверхности к каноническому виду) и выполнения гомотетии с некоторой постоянной $k$.

Дальнейшей целью работы является показать, в каких случаях это возможно и как в этих случаях выбирается значение $k$.

Преобразование движения, которое приводит поверхность к каноническому виду, в общем случае имеет вид:
$x_1=c_{11}x_1'+...+c_{1n}x_n'+c_1, ...,x_n=c_{n1}x_1'+...+c_{nn}x_n'+c_n$ (156)
где $c_{ij}(i=1,...,n,j=1,...,n)$- коэффициенты матрицы вращения, а $c_i(i=1,...,n)$ - координаты переноса.

После гомотетии $x_i'=kx_i''$ на основании (156) преобразование деформации имеет вид:
$x_1'=c_{11}kx_1''+...+c_{1n}kx_n''+c_1, ...,x_n'=c_{n1}kx_1''+...+c_{nn}kx_n''+c_n$ (157)

Для того, чтобы преобразование деформации (157) было целочисленным требуется, чтобы выполнялись два условия:

1. Координаты преобразования переноса $c_i$ были целочисленными.
2. Все коэффициенты $kc_{ij}$ преобразования деформации были целочисленными.

Первый пункт условий отвечает на вопрос, когда возможно такое целочисленное преобразование. Предположим, что он выполняется.

Второй пункт условий отвечает на вопрос, каким должно быть значение $k$ , чтобы все коэффициенты преобразования деформации были целочисленными.

Рассмотрим следующие случаи значений коэффициентов матрицы вращения.

1. Все коэффициенты матрицы вращения являются правильными рациональными дробями $c_{ij}=p_i/q_{ij}$ или целыми числами $(-1,0,1)$. В этом случае для выполнения пункта 2 требуется, чтобы:
$k=HOK_{ij}(q_{ij})$, (158)
где $HOK_{ij}$ - наименьшее общее кратное всех $q_{ij}$.

2. Все коэффициенты матрицы вращения содержат одинаковую иррациональность $\sqrt {m}$ . В этом случае для выполнения пункта 2 требуется, чтобы:
$k=\sqrt {m}$. (159)

3. Различные коэффициенты матрицы вращения содержат различную иррациональность. В этом случае такого $k$ не существует.

4. Часть коэффициентов матрицы вращения являются рациональными дробями, а часть коэффициентов содержат иррациональность. В этом случае также такого $k$ не существует.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Рассмотрим случай 1.Покажем, что случай, когда все коэффициенты матрицы вращения являются рациональными дробями $p_i/q_i \leq 1$, существует и найдем для него аналитическое выражение при значении $n=2$.

При значении $n=2$ матрица собственного вращения имеет вид:

$$C= \left ( \begin {array} {ccccc} p_1/q_1 & -p_1/q_2 \\ p_2/q_2 & p_1/q_1 \\ \end {array} \right ),(159)$$

где $(p_1/q_1)^2+(p_1/q_2)^2=1$. (160)

Уравнение (160) является уравнением Ферма $(n=2)$:
$(p_1q_2)^2+(p_2/q_2}^2=(q_1q_2)^2$. (161)

Поэтому получаем следующие выражения для коэффициентов матрицы (159):

$$p_1/q_1=p_1q_2/q_1q_2=(m^2-n^2)/(m^2+n^2), p_2/q_2 = p_2q_1/q_1q_2=2mn/(m^2+n^2),(162)$$

где $m,n$ - натуральные числа и $m>n$.

Известно, что преобразование собственного вращения $C$ при значении $n=k(k>2)$ состоит из $k$ последовательных поворотов вокруг осей координат. Матрица поворота $C_i$ вокруг $i$-ой оси содержит 1 на пересечении $i$-ой строки и $i$-ой колонки, а в остальных строках и колонках располагаются коэффициенты матрицы поворота $k-1$ порядка. Поэтому выполняется формула:
$C=\prod_{i=1}^{k}C_i$ . (163)

Теперь докажем индукцией, что существует матрица собственного вращения любого порядка, членами которой являются только рациональные дроби $p_i/q_i \leq 1$ .

Для матрицы $C$ преобразования собственного вращения порядка $n=2$ мы это уже показали.

Предположим, что существует матрица $C$ преобразования собственного вращения порядка $n=k$ , членами которой являются только рациональные дроби $p_i/q_i$ .

Тогда матрица $C$ преобразования собственного вращения порядка $n=k+1$ на основании (163) является произведением матриц $C_i$. Членами матриц $C_i$ являются 1 и правильные рациональные дроби члены матрицы $C$ порядка $n=k$ . Поэтому члены матрицы преобразования собственного вращения порядка $n=k+1$ являются суммой произведений 1 и правильных рациональных дробей, т.е. являются рациональными дробями. Так как матрица $C$ является матрицей собственного вращения, то для ее членов выполняется условие: $p_i/q_i \leq 1$ ч.т.д.

[vicvolf]

Теперь покажем, что существует матрица вращения $C$ для случая 2.

Рассмотрим однородное диофантово уравнение от двух переменных:
$a_{11}x_1^2+2a_{11}x_1x_2+a_{22}x_2^2=0$, (164)
где $a_{ij}$ - целые числа.

Известно, что поворотом на угол $\varphi$ уравнение (164) приводится к диагональному виду, где:
$tg(\varphi)=a_{22}-a_{11}+(-)\sqrt{(a_{22}-a_{11})^2-4a_{12}^2}/2a_{12}$. (165)

Если $a_{11}=a_{22}$, то на основании (165) $tg(\varphi)=+(-)1$ и $\varphi=\pi/4$ или $\varphi=-\pi/4$ .
В этих случаях матрица вращения $C$ соответственно имеет вид:

$$C= \left ( \begin {array} {ccccc} \sqrt {2}/2 & -\sqrt {2}/2 \\ \sqrt {2}/2 & \sqrt {2}/2 \\ \end {array} \right )$$

или

$$C= \left ( \begin {array} {ccccc} \sqrt {2}/2 & \sqrt {2}/2 \\ -\sqrt {2}/2 & \sqrt {2}/2 \\ \end {array} \right ),(166)$$

т.е. содержит одинаковые иррациональности.

На основании (159) при гомотетии со значением $k=\sqrt {2}$ из матрицы вращения (166) получаем целочисленные матрицы деформации соответственно:

$$C_d= \left ( \begin {array} {ccccc} 1 & -1 \\ 1 & 1\\ \end {array} \right ),$$

или

$$C_d= \left ( \begin {array} {ccccc} 1 & 1 \\ -1 & 1\\ \end {array} \right ).(167)$$

После преобразований деформации (167), учитывая, что $a_{11}=a_{12}$, получаем соответственно диофантовы диагональные уравнения:
$(a_{11}+a_{12})(x_1')^2+(a_{11}-a_{12}(x_2' )^2=0$ или $(a_{11}-a_{12})(x_1')^2+(a_{11}+a_{12})(x_2' )^2=0$.

При значении $\varphi=\pi/3$ матрица вращения имеет вид:

$$C= \left ( \begin {array} {ccccc} 1/2 & -\sqrt {3}/2 \\ \sqrt {3}/2 & 1/2\\ \end {array} \right ).(168)$$

Матрица (168) соответствует случаю 4, при котором $k$ не существует.

[vicvolf]

Рассмотрим общее алгебраическое диофантово уравнение m-ого порядка (155).

В случае если уравнение (155) соответствует центральной гиперповерхности, то предположим, что с помощью преобразования движения оно может быть приведено к каноническому виду (для алгебраического диофантова уравнения второго порядка это выполняется без предположения):
$F(x_1',...,x_n')=\sum_{i=1}^{n} { a_{ii}'(x_i')^m+a_0'=0}$ , (169)
где коэффициенты, в общем случае, не являются целочисленными.

В случае если уравнение (155) не соответствует центральной гиперповерхности, то предположим, что с помощью преобразования движения оно может быть приведено к каноническому виду (для алгебраического диофантова уравнения второго порядка это выполняется без предположения):
$F(x_1',...,x_n')=\sum_{i=1}^{n-1}{ a_{ii}'(x_i')^m+a_n'x_1'=0}$, (170)
где коэффициенты, в общем случае, не являются целочисленными.

Преобразование движения, которое приводит уравнение (155) к каноническому виду (169) или (170) имеет вид (156), где коэффициенты $c_{ij}$ и $c_i$ , в общем случае, не являются целочисленными. Если же $c_i$ являются целочисленными, то в указанных выше случаях 1 и 2, с помощью преобразования гомотетии $x_i'=kx_i''$, можно сделать целочисленными все коэффициенты и таким образом сделать преобразование (157) полностью целочисленным. В этом случае уравнение (169) преобразуется к диагональному уравнению Туэ, которое рассматривалось выше:
$F(x_1'',...,x_n'')=\sum_{i=1}^{n} { k^m a_{ii}'(x_i'')^m+a_0'=0}$ , (171)
а уравнение (170) преобразуется к виду:
$F(x_1'',...,x_n'')=\sum_{i=1}^{n-1} { k^{m-1} a_{ii}'(x_i'')^m+a_n'x_n''=0}$ . (172)

Воспользуемся тем, что любое алгебраическое диофантово уравнение $k$-ого порядка соответствует алгебраической гиперповерхности того же порядка с целыми коэффициентами. Если выполнить целочисленное аффинное преобразование данной алгебраической гиперповерхности, то она перейдет в алгебраическую гиперповерхность $k$-ого порядка также с целыми коэффициентами, которой будет соответствовать некоторое алгебраическое диофантово уравнение того же порядка. Поэтому все коэффициенты уравнений (171) и (172) будут целочисленными.

Примечание. Диофантовы однородные уравнения и уравнения Туэ соответствуют центральным гиперповерхностям, у которых центр находится в начале координат. Поэтому преобразование этих уравнений к диагональному виду не включает перенос и условие 1 (о целочисленности координат переноса) выполняется автоматически.

[vicvolf]

На основании свойств аффинных преобразований точки решений алгебраических диофантовых уравнений при преобразовании переходят в точки решений, параллельные прямые решений алгебраических диофантовых уравнений при аффинном преобразовании переходят в прямые, параллельные плоскости решений переходят в плоскости, а параллельные $r$-мерные плоскости решений переходят в параллельные $r$-мерные плоскости.

Известно. что верхняя граница количества целых решений алгебраических диофантовых уравнений $k$ -ой степени от $n$ переменных в гиперкубе $[-N,N]$ равна :
$R_n^k(N) \leq k(2N+1)^{n-1}=O(N^{n-1})$. (173)

Поэтому на основании (173) получаем верхнюю границу размерности плоскости решений алгебраических диофантовых уравнений $r$ равную $n-1$.

Для алгебраических уравнений от двух переменных обычно ищется асимптотика решений в квадрате со стороной $[-N,N]$. При аффинном преобразовании такой асимптотический квадрат, в общем случае, переходит в параллелограмм, площадью равной площади квадрата, умноженной на модуль определителя аффинного преобразования -$|det(C)|$, который отличен от $0$.

Таким образом, площадь такого параллелограмма равна:
$S _p=4N^2 \cdot |det(C)|$. (174)

Для алгебраических диофантовых уравнений от $n$ переменных обычно ищется асимптотика решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$. При аффинном преобразовании такой асимптотический гиперкуб, в общем случае, переходит в наклонный гиперпараллелепипед, с объемом равным объему гиперкуба, умноженного на модуль определителя аффинного преобразования, который отличен от $0$.

Следовательно, аналогично (174) объем такого гиперпараллелепипеда равен:
$V _p=(2N)^n \cdot |det(C)|$. (175)

[vicvolf]

Известно, что при ортогональном преобразовании:
$x_1=c_{11}x'_1+...+c_{1n}x'_n+c_1,...,x_n=c_{n1}x'_1+...+c_{nn}x'_n+c_n$ (176)
величина $|det (C)|=1$.

Действительно, при ортогональном преобразовании сохраняются длины отрезков и углы и гиперкуб при данном преобразовании переходит такой же гиперкуб.

Теперь предположим, что после ортогонального преобразования выполняется преобразование деформации:
$x'_1=k_1x''_1,...,x'_n=k_nx''_n$, (177)
где $k_1,...,k_n$ - действительные числа.

При последовательном выполнении преобразований (176), (177) результирующее аффинное преобразование будет иметь вид:
$x_1=c_{11}k_1x''_1+...+c_{1n}k_nx''_n+c_1,...,x_n=c_{n1}k_1x''_1+...+c_{nn}k_nx''_n+c_n$. (176)

Найдем модуль определителя данного результирующего аффинного преобразования $C''$.

Воспользуемся свойством определителя, что умножение всех элементов его столбца (или строки) на некоторое число равносильно умножению определителя на это число. В нашем случае все элементы первого столбца умножаются на $c_1$, и.т.д.все элементы $n$-ого столбца умножаются на $k_n$.

Поэтому при вычислении модуля определителя данного результирующего аффинного преобразования, модуль определителя ортогонального преобразования (который равен 1) умножается на модуль произведения $|\prod_{i=1}^n {k_i}|$ и получаем:
$|det(C'')|=\prod_{i=1}^n {|k_i|}$. (177)

Следовательно, на основании (177) при рассмотренном результирующем аффинном преобразовании, гиперкуб с объемом $(2N)^n$ переходит в прямоугольный гиперпараллелепипед с объемом (на основании (175)):
$V_p= (2N)^n \prod_{i=1}^n {|k_i|}$. (178)

В частном случае при выполнении последовательно ортогонального преобразования и преобразования деформации - гомотетии с коэффициентом $k$ (рассматривалось выше):
$|det(C'')|=|k|^n$ (179)
и естественно гиперкуб с объемом $(2N)^n$ переходит в гиперкуб с объемом (на основании (178),(179)):
$V_p= (2N|k|)^n$. (180)

[vicvolf]

Исправление в последнем сообщении

Воспользуемся свойством определителя, что умножение всех элементов его столбца (или строки) на некоторое число равносильно умножению определителя на это число. В нашем случае все элементы первого столбца умножаются на $k_1$, и.т.д.все элементы $n$-ого столбца умножаются на $k_n$.

[vicvolf]

Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 1
Для модуля определителя целочисленного аффинного не ортогонального преобразования $C$ выполняется соотношение:
$|det(C)| \geq 2$. (181)

Доказательство

1. Определитель целочисленного аффинного преобразования может быть равен только целому числу, так как элементы его целые числа.

2. Определитель невырожденного аффинного преобразования не равен 0.

Из (1) и (2) следует, что модуль определителя целочисленного аффинного преобразования является натуральным числом.

Теперь предположим, что модуль определителя нашего аффинного преобразования $|det(C)|=1$, тогда матрица нашего преобразования и само преобразование являются ортогональными.

Но по условию преобразование не является ортогональным, поэтому выполняется (181) ч.т.д.

Следствие 1
При преобразовании алгебраического диофантового уравнения с помощью целочисленного аффинного не ортогонального преобразования плотность его целых решений умножается на $|det(C)|^{-1}$ и поэтому вследствие утверждения 1 уменьшается.

Доказательство
На основании (175) и утверждения 1 при целочисленном аффинном не ортогональном преобразовании гиперкуб переходит и гиперпараллелепипед большего объема, так как $|det(C)| \geq 2$. Однако, на основании свойств аффинного преобразования все целые решения, находящиеся в гиперкубе, переходят в целые решения в гиперпараллелепипеде, поэтому плотность решения умножается на $|det(C)|^{-1}$ и так как $|det(C)| \geq 2$, то уменьшается.

Поэтому при данном преобразовании уменьшается расстояние между точками целочисленных решений алгебраического диофантова уравнения, параллельными прямыми целочисленных решений, параллельными целочисленными плоскостями решений и.т.д. Позже я поясню это на примере.

Следствие 2.
При преобразовании алгебраического диофантового уравнения с помощью целочисленного аффинного ортогонального преобразования плотность его целых решений не меняется.

Это следует из (175) и того, что при ортогональном преобразовании $|det(C)|=1$.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1156925 писал(а):

Теперь предположим, что модуль определителя нашего аффинного преобразования $|det(C)|=1$, тогда матрица нашего преобразования и само преобразование являются ортогональными.

Докажите этот бред это смелое заявление.

[vicvolf]

Спасибо за замечание. Вы правы.

Утверждение 1
Модуль определителя целочисленного аффинного преобразования с матрицей $C$ является натуральным числом, поэтому выполняется соотношение: $|det(C)| \geq 1$. (181)

Доказательство

1. Определитель целочисленного аффинного преобразования может быть равен только целому числу, так как элементы его целые числа.

2. Определитель невырожденного аффинного преобразования не равен 0.

Из (1) и (2) следует, что модуль определителя целочисленного аффинного преобразования является натуральным числом.

Следствие 1
При преобразовании алгебраического диофантового уравнения с помощью целочисленного аффинного плотность его целых решений умножается на $|det(C)|^{-1}$ и поэтому вследствие утверждения 1 не увеличивается.

Доказательство
На основании (175) и утверждения 1 при целочисленном аффинном преобразовании гиперкуб переходит и гиперпараллелепипед не меньшего объема, так как $|det(C)| \geq 1$. Однако, на основании свойств аффинного преобразования все целые решения, находящиеся в гиперкубе, переходят в целые решения в гиперпараллелепипеде, поэтому плотность решения умножается на $|det(C)|^{-1}$ и так как $|det(C)| \geq 1$, то не увеличивается.

Следствие 2.
При преобразовании алгебраического диофантового уравнения с помощью целочисленного аффинного ортогонального преобразования плотность его целых решений не меняется.

Это следует из (175) и того, что при ортогональном преобразовании $|det(C)|=1$.

Утверждение 1 можно усилить в частном случае.

Для результирующего целочисленного аффинного преобразования (176), состоящего из ортогонального преобразования и последующей деформации: $x'_i=k_i x''_i, (i=1,...,n)$ на основании (177) получаем $|det(C'')|>1$ при $\prod_{i=1}^n {|k_i|}>1$. Поэтому на основании следствия 1 утверждения 1 при данном преобразовании плотность решений алгебраического диофантова уравнения уменьшается.

В этом случае увеличивается расстояния между целыми точками решений алгебраического диофантова уравнения, параллельными прямыми и плоскостями целых решений. Далее поясним это на примере.

[vicvolf]

Рассмотрим расстояние между двумя точками $M_1(x_{11},...,x_{n1}),M_2(x_{12},...,x_{n2})$:
$|M_1 M_2|=\sqrt {(x_{12}-x_{11})^2+...+(x_{n2}-x_{n1})^2}$.

Пусть после преобразования деформации: $x'_1=k_1x_1,...,x'_n=k_nx_n$ точка $M_1$ переходит в точку $M'_1$, а точка $M_2$ переходит в точку $M'_2$.
Тогда расстояние между точками $M'_1$ и $M'_2$ , будет равно:
$|M'_1 M'_2|=\sqrt {k_1^2(x_{12}-x_{11})^2+...+k_n^2(x_{n2}-x_{n1})^2}$.

Изменение расстояния до и после указанного преобразования деформации будем характеризовать отношением:
$|M'_1 M'_2|/|M_1 M_2|=\sqrt {k_1^2(x_{12}-x_{11})^2+...+k_n^2(x_{n2}-x_{n1})^2/{(x_{12}-x_{11})^2+...+(x_{n2}-x_{n1})^2}$. (182)

Таким образом, изменение расстояния (182), в общем случае, зависит от координат точек $M_1,M_2$.

В частном случае при гомотетии, когда $k=k_1=...=k_n$ . на основании (182) получаем:
$|M'_1 M'_2|/|M_1 M_2|=k$, (183)
т.е. в этом случае изменение расстояния не зависит от координат точек точек $M_1,M_2$ и при гомотетии расстояние увеличивается в $k$ раз.

Из (183) следует, что если $k>1$, то расстояние между точками после преобразования деформации возрастает, т.е. увеличивается расстояние между точками, параллельными прямыми и плоскостями.
Это соответствует формуле (179).

[vicvolf]

Небольшое исправление.

В частном случае при гомотетии, когда $k=k_1=...=k_n$ . на основании (182) получаем:
$|M'_1 M'_2|/|M_1 M_2|=|k|$, (183)
т.е. в этом случае изменение расстояния не зависит от координат точек точек $M_1,M_2$ и при гомотетии расстояние увеличивается в $|k|$ раз.

Из (183) следует, что если $|k|>1$, то расстояние между точками после преобразования деформации возрастает, т.е. увеличивается расстояние между точками, параллельными прямыми и плоскостями.
Это соответствует формуле (179).