Функция случайной величины

[nikkey]

Добрый день. Помогите разобраться с задачей.

Точка случайным образом (с равномерным распределением) выбирается на единичном круге. Найти совместную плотность распределения $R$ и $X$, где $R^2 = X^2 + Y^2$.

Моё решение:
Плотность распределения $f_{X,Y}(x,y)=s(1-r)/\pi$, где $s$ - единичная функция (но насколько мне это поможет пока не понятно).

Первая случайная переменная дана по условию: $R^2 = X^2 + Y^2$
Введем вторую случайную переменную $Z = X$

Найдем обратные им:
$X = Z = x_1(R,Z)$
$Y = \sqrt{R^2-Z^2} = x_2(R,Z)$

Как указано в книге, совместная плотность R и X могут быть вычислены найдя их плотность и умножив на Якобиан:

$f_{R,Z}(r,z) = f(x_1(r,z),x_2(r,z))J$

Я нашел якобиан:

$J=r/($\sqrt{r^2-x^2})$

Вопрос в нахождении плотности распределения $f(x_1(r,z),x_2(r,z))$.

Я могу ее найти сперва найдя функцию распределения $F(x_1(r,z),x_2(r,z))$ и затем продифференцировать по $r$ и $z$. Но для $F(x_1(r,z),x_2(r,z))$ мне нужно знать их плотность распределения опять же. Палка в двух концах. Не могу понять, где я ошибаюсь в логике.

Плотность распределения вероятности в книге обозначается малой $f$. Большой $F$ обозначается функция распределения.

Функция распределеная связана с плотностью распределения через формулу:
$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}f(u)du$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

-- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [mаth]» и видеоролик Как записывать формулы): каждая формула должна начинаться со знака доллара, заканчиваться им и не содержать их в середине.

Также выясните на всякий случай, что в Вашей книжке обозначено буквой $f$, и отличия плотности и функции распределения.
И прекратите подставлять в плотности и функции распределения случайные величины. По крайней мере, так это выглядит.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

nikkey

nikkey в сообщении #1198271 писал(а):

$f_{R,Z}(r,z) = f(x_1(r,z),x_2(r,z))J$

Так Вы плотность из левой части собираетесь искать или из правой?

[nikkey]

задача состоит в нахождении плотности $f_{R,Z}(r,z)$. Соответственно правая часть указанного выражения должна быть вычислена. Проблема в нахождении $f(x_1(r,z),x_2(r,z))$. Спасибо.