Функциональный анализ, операторы в банаховом пространстве

[Nikita.bsu]

Я еще не видел здесь ни одного стоищего доказательства, по поводу согласования норм, там все очевидно, главное чтобы банахово было всюду плотно.... Ладно докажем этот факт, который приведен в качестве упражнения в книги В. Хатсона... (V.C.L. Hutson and John Sydney PYM "Applications of Functional Analysis and Operator Theory")
Опр. g^*(Lf) = L^*g^*(f)
Поехали
L = AB имеем g^*((AB)f) = (AB)^*g^*(f) (1).
Bf = u имеем g^*(Au) = A^*g^*(u)
A^*g^*=v^*.
v^*(Bf) = B^*v^*(f) = B^*A^*g^*(f) (2)
Из (1) и (2), следует требуемое.

[ewert]

Да, кой-какие завалы.

zoo писал(а):

Стандартное определение выглядит так.
Базисом (счетным) банахова пространства $B$ называется множество элементов $U=\{u_k\}_{k\in \mathbb{N}}$ такое, что 1) любое конечное подмножество $U$ линейно независимо
2) Пространство $B$ является замыканием множества всевозможных конечных линейных комбинаций элементов из $U$.

Это -- определение (хотя и не стандартное, а несколько причудливое) сепарабельности банахова пространства. И это вовсе не то же самое, что пространство с базисом.

Nikita.bsu писал(а):

Пространство Соболева это поплнение банахова пространства C^{(1)}[a,b] по гильбертовой норме, это не правильно утверждать, что пространство Соболева изначально гильбертово.

Это только если говорить о пространстве $W_2^1$ (или, шире, $W_2^l=\overline{C^{(l)}}). Но вовсе не о $W_p^l$. И вообще, при чём тут соболевость? почему не расширить просто до $L_2$?

[Henrylee]

Вот развели дискуссии. А между тем атвор темы давно на нас всех забил..

Добавлено спустя 7 минут 40 секунд:

Echo-Off писал(а):

zoo писал(а):

у нас банахово пространство (не гильбертово!) со счетным базисом

А как понимать базис в банаховом пространстве? Любой элемент есть конечная линейная комбинация элементов базиса или любой элемент можно приблизить конечными линейными кобминациями? Если первое, то банаховым пространство, боюсь, не будет

Первое - про базис Гамеля, второе - (если Вы имеет в виду счетный базис) про базис Шаудера. Базис Гамеля, как известно, существует во всех банаховых (да и не только) пространствах.

[ewert]

Henrylee писал(а):

Первое - про базис Гамеля, второе - (если Вы имеет в виду счетный базис) про базис Шаудера. Базис Гамеля, как известно, существует во всех банаховых (да и не только) пространствах.

Естественно, имелся в виду Шаудер. Гамель вообще непонятно зачем, это просто прореженное по линейной независимости счётное плотное подмножество -- в сепарабельном случае, а в несепарабельном требует аксиомы выбора, что фтопку.

Тут пафос-то в чём. Все (ну пусть подавляющее большинство) практически используемые сепарабельные банаховы пространства имеют базис в смысле Шаудера. Чем вычислительно и интересны. А несепарабельные -- нет, не имеют, почему и постановка в их случае вопроса о базисе лишена практической ценности.

[Spook]

Всем добрый день! Ни на кого автор темы не забил, товарищ Henrylee, у него просто интернет кончился((.Спасибо за обсуждение, обязательно спрошу у преподавателя его решение.

[ewert]

дык вот вроде сразу третий пост (от Henrylee) -- и есть правильный...

[Someone]

Henrylee писал(а):

Echo-Off писал(а):

zoo писал(а):

у нас банахово пространство (не гильбертово!) со счетным базисом

А как понимать базис в банаховом пространстве? Любой элемент есть конечная линейная комбинация элементов базиса ...

... базис Гамеля, ... Базис Гамеля, как известно, существует во всех банаховых (да и не только) пространствах.

ewert писал(а):

Гамель вообще непонятно зачем, это просто прореженное по линейной независимости счётное плотное подмножество -- в сепарабельном случае, ...

Вы уверены?

ewert писал(а):

... а в несепарабельном требует аксиомы выбора

А в сепарабельном не требует?

[ewert]

нет, конечно. Берёте счётное плотное подмножество -- им можно приблизить любой элемент. Потихонечку удаляете один за другим все элементы, линейно зависящие от предыдущих. Оставшиеся элементы и образуют базис. Поскольку теперь каждый элемент пространства можно сколь угодно точно приблизить или оставшимися элементами, или удалёнными (т.е. линейными комбинациями оставшихся). Вот и вся любовь.

[Someone]

ewert писал(а):

нет, конечно. Берёте счётное плотное подмножество -- им можно приблизить любой элемент. Потихонечку удаляете один за другим все элементы, линейно зависящие от предыдущих. Оставшиеся элементы и образуют базис. Поскольку теперь каждый элемент пространства можно сколь угодно точно приблизить или оставшимися элементами, или удалёнными (т.е. линейными комбинациями оставшихся). Вот и вся любовь.

Это Вы про базис Гамеля?

А в пространстве $l_2$ какой будет счётный базис Гамеля?

[ewert]

Someone писал(а):

Это Вы про базис Гамеля?

А в пространстве $l_2$ какой будет счётный базис Гамеля?

А в этом пространстве он хотя бы канонический, и никакой он не Гамеля, а попросту ортонормированный.

[Someone]

Видите ли, меня очень заинтересовали Ваши слова про базис Гамеля:

ewert писал(а):

Гамель вообще непонятно зачем, это просто прореженное по линейной независимости счётное плотное подмножество -- в сепарабельном случае

Поэтому я Вас спрашиваю не про ортонормированный базис, а про базис Гамеля. Вы утверждаете, что в сепарабельном Банаховом пространстве для построения базиса Гамеля нужно взять счётное всюду плотное множество и выбросить из него некоторые векторы, чтобы оставшиеся стали линейно независимы. Вы совершенно убеждены, что таким способом можно построить базис Гамеля?

[MaximKat]

Someone писал(а):

совершенно убеждены, что таким способом можно построить базис Гамеля?

а в чем проблема? если взять по одному добавлять линейно независимые вектора из счетного плотного подмножества - разве не базис Гамеля получится?

а, теперь понял

[Brukvalub]

Не позорьтесь, ewert, лучше почитайте на досуге про базисы: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81
На всякий случай, процитирую:
базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость).
Самое важное слово я выделил жирным.
Вы путаете базис Гамеля с базисом Шаудера:
"Система векторов {en} топологического векторного пространства L называется базисом Шаудера (англ. Shauder basis), если каждый элемент f \in L разлагается в единственный, сходящийся к f ряд по{en}:

f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i,

где fi — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f по базису {en}.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд) для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы."
Я опять, для лучшего понимания, выделил важные слова жирным шрифтом!
И, боюсь, что на этот раз ссылки на Соболева с Люстерником не помогут

[ewert]

Brukvalub писал(а):

базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость).

А, тут я действительно зевнул. Ну тем хуже для Гамеля. Вычислительно-то он абсолютно бесполезен.

Цитата:

Вы путаете базис Гамеля с базисом Шаудера:

Ну а тут уж Вы запутались.

[Brukvalub]

Для ewert Я, конечно, понимаю, что Форум - это некая игра, но в каждой игре тоже есть свои правила. Например, даже в игре не принято голословно порочить оппонента.
Поэтому я предлагаю Вам (пока еще я пишу это обращение с заглавной буквы) аргументировать свои,сказанные про меня и порочащие мою репутацию на форуме, слова, или извиниться за них:

ewert писал(а):

Цитата:
Вы путаете базис Гамеля с базисом Шаудера:

Ну а тут уж Вы запутались.

Но сначала я приведу свои дополнительные аргументы к сказанным мной в этой теме ранее словам про Вас:

Brukvalub писал(а):

Вы путаете базис Гамеля с базисом Шаудера:

Итак, я основывал свое мнение на Ваших словах:

ewert писал(а):

нет, конечно. Берёте счётное плотное подмножество -- им можно приблизить любой элемент. Потихонечку удаляете один за другим все элементы, линейно зависящие от предыдущих. Оставшиеся элементы и образуют базис. Поскольку теперь каждый элемент пространства можно сколь угодно точно приблизить или оставшимися элементами, или удалёнными (т.е. линейными комбинациями оставшихся). Вот и вся любовь.

После них я привел верное определение базиса Шаудера из Википедии:

Brukvalub писал(а):

Вы путаете базис Гамеля с базисом Шаудера:
"Система векторов {en} топологического векторного пространства L называется базисом Шаудера (англ. Shauder basis), если каждый элементf \in L разлагается в единственный, сходящийся к f ряд по{en}:

f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i,

гдеfi — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f по базису {en}.

Прошу разъяснить с цитатами мне, да и другим участникам Форума, ранее прочитавшим Ваши, порочащие мою репутацию слова, где я напутал в базисах.
И не делайте, пожалуйста, вид, что Вы не заметили этот мой пост, я дополнительно послал Вам о нем Личное сообщение.