Функциональный анализ, операторы в банаховом пространстве

[ewert]

по-моему, банально. Но подробно ответить не могу, нет времени сосредоточиться. Могу порекомендовать какую-нить книжку по функциональному анализу, ну хоть Люстерника с Соболевым.

[zoo]

ewert писал(а):

по-моему, банально. Но подробно ответить не могу, нет времени сосредоточиться.

а ну понятно, понятно:lol:

ewert писал(а):

Могу порекомендовать какую-нить книжку по функциональному анализу, ну хоть Люстерника с Соболевым.

я эту книжку знаю, там про матрицы операторов в банаховом (не гильбертовом) пространстве со счетным базисом ничего нет.

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

Могу порекомендовать какую-нить книжку по функциональному анализу, ну хоть Люстерника с Соболевым.

я эту книжку знаю, там про матрицы операторов в банаховом (не гильбертовом) пространстве со счетным базисом ничего нет.

это утверждение неверно

[Brukvalub]

ewert писал(а):

по-моему, банально. Но подробно ответить не могу, нет времени сосредоточиться. Могу порекомендовать какую-нить книжку по функциональному анализу, ну хоть Люстерника с Соболевым.

Вот ссылка на общедоступный для скачивания файл с вышеупомянутой книгой: http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/1302693ab12f5a310a42922f3900301b.djvu
Не могли бы Вы, ewert, указать страницу именно этого издания с описанием предложенных вами к рассмотрению матриц, дабы все присутствующие могли лично убедиться, что это была не пустая болтовня?

[ewert]

Вот ведь зануды. Делать мне больше нечего, как скачивать. Смотрите главу 4 "Функционалы", параграф 3 "Сопряжённые пространства" и всё такое прочее..

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Вот ведь зануды. Делать мне больше нечего, как скачивать.

Нет, когда прищучивают болтуна, за свои слова не отвечающего, и сделанную ошибку при этом признавать не желающего, то это называется не занудством, а восстановлением справедливости. Поэтому в очередной раз предлагаю Вам указать конкретную стр. в книге, на которой строятся матрицы операторов в счетномерном банаховом пространстве, или признать, что Вы несли околесицу.

[Nikita.bsu]

В банаховом пространстве можно ввести аналог скалярного произведения и все очень легко доказать в случае ограниченных операторов
<(AB)u,v>=<u,(AB)^*v> с одной стороны
с другой стороны
<(AB)u,v>=из огр оперов имеем =<Bu,A^*v>=<u,B^*A^*v>
Вычитаем одно из другого, полагаем u=(AB)^*v-B^*A^*v имеем
||(AB)^*v-B^*A^*v||^2=0 отсюда получаем требуемое.
А если один из оператор не ограничен, но имеет плотную область определения, то в формуле будет фигурировать слабое замыкание

[zoo]

Nikita.bsu писал(а):

В банаховом пространстве можно ввести аналог скалярного произведения

по-подробнее пожалуйста, как именно ввести и что это за аналог

зы интересно, что это первое сообщение Nikita.bsu, очевидно один и тотже человек постит под разными никами:) цирк

[Nikita.bsu]

Это мой первый ответ просто искал кое-что и инете и наткнулся на вопрос -решил помочь. Все лчень просто его называют только аналогом по своей сути это и есть скалярное прозведение только задается на плотном подмножестве, обычно на области определения оператора D(AB).

[zoo]

Nikita.bsu писал(а):

Это мой первый ответ просто искал кое-что и инете и наткнулся на вопрос -решил помочь. Все лчень просто его называют только аналогом по своей сути это и есть скалярное прозведение только задается на плотном подмножестве, обычно на области определения оператора D(AB).

Пусть все операторы ограничены и $D(AB)$ это все банахово пространство. Задайте пожалуйста скалярное произведение.

[Nikita.bsu]

Но есди уж так нужны детали и строгость длказательства, то по крайней мере можно применить старый прием. Задать скалярное произведение и гильбертову норму и пополнить банахово пространство до гильбертова(например пространство непр дифф функций до соболева). Провести все необходимые выкладки в гильбертовом пространстве. А так как банахово пространство будет всюду плотно в гильбертовом, то доказанное верно и для банахова.

[ewert]

Nikita.bsu писал(а):

Задать скалярное произведение и гильбертову норму и пополнить банахово пространство до гильбертова(например пространство непр дифф функций до соболева).

ну и как новая гильбертова норма будет согласована со старой типа банаховой? (в соболевских пространствах, которые гильбертовы -- норма изначально задаётся как гильбертова)

[Nikita.bsu]

Гильбертова норма - это новая норма по которой идет пополнение пространства, но если последовательность сходится в банаховом пространстве, то она будет сходится и гильбертовом. По сути этот прием ничего не дает, он предназначен только для некоторых теоритических выкладок(не помню теорему в вариоц исчесление где это впервые встретил). По сути мы ничего не делаем. Пространство Соболева это поплнение банахова пространства C^{(1)}[a,b] по гильбертовой норме, это не правильно утверждать, что пространство Соболева изначально гильбертово.

[ewert]

Nikita.bsu писал(а):

Гильбертова норма - это новая норма по которой идет пополнение пространства, но если последовательность сходится в банаховом пространстве, то она будет сходится и гильбертовом.

Нет, конечно. Если Вы вот так, от балды, вводите некую гильбертову структуру, то флаг в руки, но ниоткуда не следует, что эта структура будет хоть как-то согласована с изначально там существующей.

[zoo]

Вам, гАспада студенты, надо читать книжки и слушать лекции вдумчиво, внимательно и долго.