Функциональный анализ, операторы в банаховом пространстве

[Spook]

Даны банаховы пространства $X, Y. Z$. Опрераторы $A:X->Y,B:Y->Z$. Нужно доказать $(BA)^*=A^*B^*$.

Идея доказательства на мой взгляд в том, что нужно использовать матричные представления операторов и тот факт, что матрица сопряженного опрератора - транспонированная матрица исходного оператора. Но не получается представить так суперпозицию операторов((. Может можно как-нубудь по другому? И как вообще представить (если можно) суперпозицию операторов через матрицы?

[Brukvalub]

Spook писал(а):

нужно использовать матричные представления операторов

С этого места - поподробнее, я, например, не знаю, как найти матрицу оператора в банаховом пространстве

[Henrylee]

Нужно вспомнить определение сопряженного оператора. Если $A:X\rightarrow Y$, то $A^*:Y^*\rightarrow X^*$ следующим образом: для лин. непрерывного ф-ла $f_y\in Y^*$

$$ <A^*f_y,x>=<f_y,Ax> $$

Поэтому, для $f_z\in Z^*$

$$ <A^*B^*f_z,x>=<B^*f_z,Ax>=... $$

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Spook писал(а):

нужно использовать матричные представления операторов

С этого места - поподробнее, я, например, не знаю, как найти матрицу оператора в банаховом пространстве

Если банахово пространство -- с базисом, то почему бы и не ввести матрицу оператора? Тогда матрица сопряжённого будет, как и положено, транспонированной.

Это, конечно, если оператор ограничен. Но в неограниченном случае и равенство $(AB)^*=B^*A^*$ не выполняется.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Если банахово пространство -- с базисом, то почему бы и не ввести матрицу оператора?

И Вы беретесь построить изоморфизм между множеством таких матриц и алгеброй ограниченных операторов (а иначе - зачем эти матрицы нужны)?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert писал(а):

Если банахово пространство -- с базисом, то почему бы и не ввести матрицу оператора?

И Вы беретесь построить изоморфизм между множеством таких матриц и алгеброй ограниченных операторов (а иначе - зачем эти матрицы нужны)?

Матрицы нужны для красоты (ну или наоборот -- если надо страничку буковками забить). А изоморфизм -- в каком смысле? Если в чисто алгебраическом -- то вроде как автоматически получается.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Матрицы нужны для красоты (ну или наоборот -- если надо страничку буковками забить). А изоморфизм -- в каком смысле? Если в чисто алгебраическом -- то вроде как автоматически получается.

Вы просто так пишете, чтобы что-нибудь писать, или можите обосновывать свои слова? Опишите пожалуйста, как перемножать бесконечные матрицы, докажите, что композиции операторов будет соответствовать произведение матриц, проверьте сохранение всех законов алгебры, введите норму матрицы и согласуйте ее с нормой оператора, и т.д. и т.п.

ewert писал(а):

вроде как

здесь "не катит", мы же вроде как на научном форуме беседуем, а в математических спорах принять доказывать свою точку зрения.

[zoo]

ewert писал(а):

Если банахово пространство -- с базисом, то почему бы и не ввести матрицу оператора?

я бы посмотрел на матрицу оператора с непрерывным спектром

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Опишите пожалуйста, как перемножать бесконечные матрицы, докажите, что композиции операторов будет соответствовать произведение матриц, проверьте сохранение всех законов алгебры, введите норму матрицы и согласуйте ее с нормой оператора, и т.д. и т.п.

Произведение определяется стандартно как

$$\sum_{k=1}^{\infty}a_{ik}b_{kl}$$

(ряд сходится для каждой пары крайних индексов). Если Вы сомневаетесь, например, в ассоциативности, то обоснуйте: я каких-то причин для сомнений не вижу. Юмора про норму вообще не понял. Она ведь определяется выбором норм для последовательностей, на которые действует матрица. Самое естественное -- индуцировать эти нормы структурой исходных банаховых пространств. Но тогда и норма матрицы просто по определению совпадает с нормой самого оператора.

zoo писал(а):

я бы посмотрел на матрицу оператора с непрерывным спектром

Любуйтесь. Рассмотрите пространство $l_2$ (гильбертово пространство последовательностей). Возьмите бесконечную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, на первой поддиагонали -- минус единицы, остальные -- нули. Соответствующий этой матрице оператор прекрасно ограничен: его норма всяко не больше двух. При этом все $\lambda\in(0;1)$ принадлежат непрерывному спектру, т.к. резольвента для них не ограничена. (Собственно, не только эти $\lambda$, но это уже не важно.)

[Brukvalub]

Вот уж не знал, что всякое Банахово пространство обладает счетным базисом. Надо же, как научились дурить людей эти математики, всякие там базисы Гамеля понавыдумывали. Теперь, благодаря ewert мы смело можем отправить их на свалку истории

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Вот уж не знал, что всякое Банахово пространство обладает счетным базисом.

А вот передёргивать ни к чему. Ибо сказано в писании:

ewert писал(а):

Если банахово пространство -- с базисом, то

Именно если.

[Brukvalub]

А базис Гамеля в Вашем писании базисом не называется?

[zoo]

ewert писал(а):

нужно использовать матричные представления операторов

про нерерывный спектр понял. Теперь объясните пожалуйста совсем простую вещь. Есть у нас банахово пространство (не гильбертово!) со счетным базисом . Как вы собираетесь сопоставлять огранипченному оператору матрицу?

[Echo-Off]

zoo писал(а):

у нас банахово пространство (не гильбертово!) со счетным базисом

А как понимать базис в банаховом пространстве? Любой элемент есть конечная линейная комбинация элементов базиса или любой элемент можно приблизить конечными линейными кобминациями? Если первое, то банаховым пространство, боюсь, не будет

[zoo]

Echo-Off писал(а):

А как понимать базис в банаховом пространстве?

Этот вопрос правильнее адресовать ewert (или это все Ваши ники?) т.к. про банаховы пространства с базисом начал говорить он. Стандартное определение выглядит так.
Базисом (счетным) банахова пространства $B$ называется множество элементов $U=\{u_k\}_{k\in \mathbb{N}}$ такое, что 1) любое конечное подмножество $U$ линейно независимо
2) Пространство $B$ является замыканием множества всевозможных конечных линейных комбинаций элементов из $U$.

ewert , так как насчет построения матрицы по непрерывному линейному оператору в "банаховом пространстве с базисом"?