Распределение поверхностного тока на сфере

[amon]

fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):

Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере.

amon в сообщении #1196844 писал(а):

$\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$

(Исправлена опечатка, была лишняя $\delta$-функция)

[Munin]

fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):

Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере. Но это не так.

Это так, потому что, повторяю, уравнение Лапласа переходит в уравнение Лапласа.

Если бы это было не так, там вылезал бы переменный коэффициент.

[fred1996]

amon в сообщении #1198036 писал(а):

fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):

Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере.

amon в сообщении #1196844 писал(а):

$\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$

(Исправлена опечатка, была лишняя $\delta$-функция)

Ага, теперь наконец понял что вы имеете ввиду.
Ну что ж, вам повезло, что ваши эквипотенциальные кривые тоже круги.
Тогда это уже 3-е решение.
Сдается мне, что все они совпадают.

-- 07.03.2017, 15:21 --

Munin в сообщении #1198037 писал(а):

fred1996 в сообщении #1198035 писал(а):

Вы решаете двумерную задачу в предположении, что на плоскости у вас равномерная проводимость как на сфере. Но это не так.

Это так, потому что, повторяю, уравнение Лапласа переходит в уравнение Лапласа.

Если бы это было не так, там вылезал бы переменный коэффициент.

А вот это приятная неожиданность (для меня).
Как-то с самого начала решил, что это не так. Действительно, и геометрически масштабируемость приводит к постоянной проводимости. Что достаточно очевидно. Если локальные размеры при проецировании увеличились в $n$ раз, то плотность тока уменьшится в $n$ раз, но в $n$ раз увеличится расстояние между эквипотенциальными кривыми и, соответственно, $\sigma$ останется той же.

[fred1996]

Amon
Ларчик просто открывается.
Ваше решение переходит в мое обычной инверсией.
Надо один из ваших кружочков поместить в центр инверсии. Тогда внешность двух ваших кружочков отобразится на мое большое кольцо.

[AnatolyBa]

fred1996 в сообщении #1198039 писал(а):

А вот это приятная неожиданность (для меня).

Вот это высказывание меня удивляет. Ведь с самого начала ваше решение основывалось именно на этом факте - сохранении Лапласа. Я сомневался, не верил, просил доказать, и вы мне в конце концов доказали. Кстати следующее рассуждение нравится мне даже больше формального доказательства

fred1996 в сообщении #1198039 писал(а):

Действительно, и геометрически масштабируемость приводит к постоянной проводимости. Что достаточно очевидно. Если локальные размеры при проецировании увеличились в $n$ раз, то плотность тока уменьшится в $n$ раз, но в $n$ раз увеличится расстояние между эквипотенциальными кривыми и, соответственно, $\sigma$ останется той же

Я тоже об этом подумал, когда освежил в сознании точное определение конформного отображения (у меня был некоторый затык)

wrest в сообщении #1198018 писал(а):

А углы откуда отсчитываются?

Направление осей обычное, вертикальная ось $z$, от нее отсчитывается $\theta$.
Чтобы была ясность - потенциал имеет вид

$$u=A \ln(B((2 \ctg(\theta/2)\sin \varphi)^2+(2\ctg(\theta/2)\cos \varphi -2)^2))$$

токи $j_\varphi=\dfrac{1}{\sin \theta}\dfrac{\partial u}{\partial \varphi}$ и $j_\theta=\dfrac{\partial u}{\partial \theta}$ Параметр $B$ неважен, параметр $A$ определяется из поведения тока вблизи $\theta=0$

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1198118 писал(а):

fred1996 в сообщении #1198039 писал(а):

А вот это приятная неожиданность (для меня).

Цитата:

Вот это высказывание меня удивляет.

У каждого, как говорится, свои глюки.
Все что я помнил с детства, это только конкретную фразу: "уравнение Лапласа инвариантно относительно конформных преобразований" . Ни одной конкретной задачи на эту тему не помню. Помню еще была замечательная функция $z+\frac1z$
Ну и потом связь Электростатики с токами для меня не совсем прозрачна.
Я в этой задаче думал скорее геометрически, нежели алгебраически, что меня как бывшего матфизика наверное характеризует не с лучшей стороны.

[wrest]

AnatolyBa в сообщении #1198118 писал(а):

Направление осей обычное, вертикальная ось $z$, от нее отсчитывается $\theta$.
Чтобы была ясность - потенциал имеет вид

$$u=A \ln(B((2 \ctg(\theta/2)\sin \varphi)^2+(2\ctg(\theta/2)\cos \varphi -2)^2))$$

Поскольку тут не видно зависимости от расположения точек втекания и вытекания тока, я правильно понимаю, что ток втекает и вытекает через точки с координатами ($\theta=0; \varphi$ неопределено$)$, и ($\theta=\pi/2; \varphi=0$)?

[fred1996]

Да, это решение для частного случая с точками в северном полюсе и на экваторе.