Распределение поверхностного тока на сфере

[AnatolyBa]

Вы считаете, что, что если $u$ удовлетворяет $\dfrac{\partial^2u}{\partial x ^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y ^2}=0$ на плоскости, то при обратной стереографической проекции он будет удовлетворять правильному уравнению Лапласа на сфере?
Можете доказать?

[Munin]

Красивый вопрос сам по себе.

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1196607 писал(а):

Вы считаете, что, что если $u$ удовлетворяет $\dfrac{\partial^2u}{\partial x ^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y ^2}=0$ на плоскости, то при обратной стереографической проекции он будет удовлетворять правильному уравнению Лапласа на сфере?
Можете доказать?

Опять вы за свое. Если функция $u$ удовлетворяет Лапласу в декартовых координатах, она удовлетворит и в полярных. Перепишите обратно потенциал в полярных координатах, а затем сделайте обратную стереографическую проекцию, которая как и прямая, есть конформное отображение. Здесь не надо заниматься аналитикой, которая уже зашита в уравнения и преобразования. Здесь работает простая проекционная геометрия, которая в результате переводит набор эквипотенциальных окружностей симметричной задачи в набор других окружностей ассимметричной задачи.

Хотя, и с этим мучиться не надо. Я итак знаю, что обратная проекция на сферу окружности переводит в окружности. Поэтому мне достаточно перевести две диаметрально противоположные точки окружности обратно на сферу.

[Munin]

fred1996
А напишите-ка правильно уравнение Лапласа на сфере. А то я засомневался.

[fred1996]

Munin в сообщении #1196624 писал(а):

fred1996
А напишите-ка правильно уравнение Лапласа на сфере. А то я засомневался.

$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}=0$

Если что, то AnatolyBa слегка наврал в своей формуле для Лапласа на сфере.
Наверное оттуда и нестыковка.

[fred1996]

Выберем цилиндрические координаты и поместим наши обе точки втекания и вытекания тока на ось $z$.
Тогда в цилиндрических координатах $(\rho,\varphi,z)$
$J=\frac{I}{2\pi\rho}\cos\psi$
Здесь $\tg\psi=\frac{1}{\rho}\left\lvert\frac{dz}{d\varphi}\right\rvert$ для заданной точки сферы.
Ну и соответственно направление вектора радиально от оси $z$ по касательной к сфере.

То есть если разрезать нашу сферу плоскостью $\varphi=\varphi_0$ и плоскостью $\varphi=\varphi_0+\Delta\varphi$, то ток будет течь по поверхности образовавшегося сегмента сферы не уходя в соседние сегменты.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1196632 писал(а):

Если что, то AnatolyBa слегка наврал в своей формуле для Лапласа на сфере.

Это где? Я не видел, чтобы он её вообще записывал.

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1196530 писал(а):

Давайте так. Пусть $R=1$. Зададим на сфере обычные координаты $\varphi$, $\theta$. Уравнение Лапласа

$$\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin \theta \frac{\partial u }{\partial \theta})=0$$

согласны?

[amon]

IMHO, уважаемый fred1996 прав. Убедиться в этом можно либо в лоб, воспользовавшись тем, что при стереографическом проектировании $\rho=\ctg\frac{\theta}{2},$ либо такой рассудюшкой. Известно, что при преобразовании инверсии сфера переходит в плоскость (и наоборот), если центр инверсии лежит на сфере. Уравнение Лапласа инвариантно относительно инверсии (см. Джексон, Классическая электродинамика). Стереографическая проекция - частный случай такой инверсии. qed.

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1196607 писал(а):

Вы считаете, что, что если $u$ удовлетворяет $\dfrac{\partial^2u}{\partial x ^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y ^2}=0$ на плоскости, то при обратной стереографической проекции он будет удовлетворять правильному уравнению Лапласа на сфере?
Можете доказать?

Давайте так.
Я не буду расписывать преобразование декартова Лапласа в сферические координаты на сфере через обратную проекцию, а воспльзуюсь известным преобразованием декартова Лапласа в полярные координаты, а уж полярного Лапласа спроецирую на сферические координаты единичной сферы.
Итак, в полярных координатах Лаплас после домножения на $r^2$ выглядит так:
$r\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{\partial^2u}{\partial\alpha^2}=0$
Стереографическая проекция на единичную сферу дает соотношения:
$\varphi=\alpha$
$\tg(\frac{\theta}{2})=\frac r2$

Остается мелочь:
$\frac{\partial^2u}{\partial\alpha^2}=\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}$
$r\frac{\partial}{\partial r}=2\tg(\frac{\theta}{2})\frac{\partial r}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}$
Что дает окончательно:
$\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta})+\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}=0$
А это как-раз уравнение Лапласа на сфере.

[Munin]

amon в сообщении #1196676 писал(а):

Уравнение Лапласа инвариантно относительно инверсии

Стоп-стоп-стоп. Уравнение Лапласа в пространстве? А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?

[fred1996]

Munin в сообщении #1196687 писал(а):

amon в сообщении #1196676 писал(а):

Уравнение Лапласа инвариантно относительно инверсии

Стоп-стоп-стоп. Уравнение Лапласа в пространстве? А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?

Мы полагаем, что наши поверхности локально плоские.
По крайней мере, если мне не изменяет память, так нас учила О.А. Ладыженская 40 лет назад на спецкурсе по краевым задачам матфизики. Ох, давненько это было...

[AnatolyBa]

Да, я в своем сообщении наврал два раза. Признаю свой позор.
К сожалению, в данном случае я никак не могу удовлетвориться рассуждениями, хочу формулу, вы уж извините.
И fred1996 мне ответил, за это спасибо.
Но все же, прошу прояснить до конца следующий пункт

fred1996 в сообщении #1196685 писал(а):

$r\frac{\partial}{\partial r}=2\tg(\frac{\theta}{2})\frac{\partial r}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}$

Вы хотите сказать $2\tg(\frac{\theta}{2})\frac{\partial (2\tg(\frac{\theta}{2}))}{\partial\theta}=\sin \theta$?
Или я опять что-то напутал?

-- 03.03.2017, 12:06 --

Так, все понял, небольшая опечатка, $r$ и $\theta$ перепутаны местами.
(и тангенс вместо котангенса, но это неважно)
Вот сейчас все ясно, спасибо

[Munin]

fred1996 в сообщении #1196691 писал(а):

Мы полагаем, что наши поверхности локально плоские.

А это существенно неверно.

Предложение: напишите лапласиан на сфере, исходя из "локальной плоскости".

[AnatolyBa]

Munin в сообщении #1196687 писал(а):

А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?

Даёт. Я вначале сомневался на предмет того, что происходит с толщиной, но в данном случае все в порядке.