Распределение поверхностного тока на сфере

[amon]

Munin в сообщении #1196687 писал(а):

А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?

Согласен, что это место следует пояснять. Там тоже можно рассудюшкой, но что-то они популярностью не пользуются.

У меня другая придирка. В исходной задаче один из источников переносится в бесконечность, что не есть хорошо. (Это следует из опущенной рассудюшки о переходе к двумерии, а также из формулы преобразования заряда при инверсии). Поэтому хочется что бы ни один источник не совпадал с северным полюсом сферы. IMHO, сферу надо сначала повернуть, потом сосчитать поле двух точечных зарядов и потом, если хочется, развернуть обратно.

[Munin]

Хороший вариант. Причём, поле двух точечных зарядов на плоскости можно подвергать гомотетии. Или сферу другого радиуса взять.

[fred1996]

amon в сообщении #1196741 писал(а):

Munin в сообщении #1196687 писал(а):

А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?

У меня другая придирка. В исходной задаче один из источников переносится в бесконечность, что не есть хорошо. (Это следует из опущенной рассудюшки о переходе к двумерии, а также из формулы преобразования заряда при инверсии). Поэтому хочется что бы ни один источник не совпадал с северным полюсом сферы. IMHO, сферу надо сначала повернуть, потом сосчитать поле двух точечных зарядов и потом, если хочется, развернуть обратно.

Здесь как-раз все просто.
Можно ведь рассмотреть задачу Дирихле для небольшого контакта.
То есть потенциал задан на небольшой окружности. Мы выкидываем из сферы оба полюса, чтобы не иметь дело с бесконечными потенциалами.

[amon]

fred1996 в сообщении #1196778 писал(а):

То есть потенциал задан на небольшой окружности.

Боюсь, не прокатит. При инверсии эта окружность перейдет в другую окружность, и потенциал на ней возрастет, так что выкинуть ее не получится

[fred1996]

amon в сообщении #1196789 писал(а):

fred1996 в сообщении #1196778 писал(а):

То есть потенциал задан на небольшой окружности.

Боюсь, не прокатит. При инверсии эта окружность перейдет в другую окружность, и потенциал на ней возрастет, так что выкинуть ее не получится

Потенциалы проецируются один в один. Вам же дано уравнение Лапласа для потенциала. При проецированиях вы просто меняете координатные сетки. При этом из-за локальной масштабируемости меняются плотности токов. Но потенциалы не масштабируются. Они остаются на месте. Если не верите, посчитайте в лоб.
Одна задача. Это задача на сфере с выкинутыми кругами на полюсах маленького радиуса.
Задайте на границах этих кругов потенциалы скажем +1 и -1.
Затем сделайте стереографическую проекцию этой выколотой сферы на плоскость и задайте те же +1 и -1 на получившихся окружностях. Решите задачу на плоскости, а потом сравните с результатом на сфере. Потенциалы везде совпадут. Не совпадут только величины плотностей токов, хотя направления опять совпадут.

-- 03.03.2017, 08:15 --

amon в сообщении #1196741 писал(а):

Munin в сообщении #1196687 писал(а):

А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?

Согласен, что это место следует пояснять. Там тоже можно рассудюшкой, но что-то они популярностью не пользуются.

Ну хорошо. Давайте так.
Если уж вам хочется абсолютной математической строгости.
Пусть у нас есть два точечных заряда, разенсенные на какое-то расстояние $d$
Заряды просто в пространстве без всяких сфер. Вычислим поле и потенциалы вокруг этих зарядов. Понятон, что если эти заряды поместить в проводящую среду и подвести источник тока, чтобы компенсировать утекание заряда, то ток пойдет по линиям поля. Теперь ограничим наше пространство тонкой сферой, включающей оба заряда. Понятно, что поле теперь будет не по касательной к сфере. Но мы сосчитаем проекцию поля на касательную. Это и будет величина поля на изначальной сфере.
Кстати, потенциалы на сфере останутся те же, как и для распределения у точечных зарядов.
Единственное ограничение. Мы запретили утекание и втекание тока через поверхность сферы. Так что задача просто свелась к распределению потенциалов на сфере от двух точечных зарядов в пространстве.

Но тогда можно задачу обобщить на любой тип достаточно гладкой поверхности.
Достаточно сосчитать потенциал в пространстве от двух точечных зарядов, а потом "вырезать" его заданной поверхностью.
Интересно, где я наврал в моих рассуждениях?

[fred1996]

Где-то точно наврал.
Ведь тогда ничего нам не мешает запустить кое-где между зарядами поверхность, совпадающую с эквипотенциальной. Тогда тока на этом участке не будет. А это уже абсурд.
Получается, что наличие ограничивающей поверхности искривляет потенциал в пространстве.
Хотя заряд нигде не накапливается и равен нулю. А может тогда где-то накапливается до установившегося распределения? В общем я совсем запутался.

[amon]

fred1996 в сообщении #1196823 писал(а):

Где-то точно наврал.

Тут, на мой взгляд, такая петрушка. Постановка с заданными потенциалами не хорошая (я в голове держал другую, о которой расскажу позже). Ваше колечко вокруг полюса преобразуется в кольцо большого, но конечного радиуса. Убрать его на бесконечность не получится - тогда на сфере получится некорректная задача с заданным в одной точке потенциалом. Область же на экваторе преобразуется в некоторую зюзюку, еще и не в центре кольца. Ответ начинает зависеть как от формы, так и от положения зюзюки, и что с этим делать - бог весть.

Я (как обычно, прочитав условие через строчку) держал в голове другую постановку. На контактах заданы токи. Тогда $\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\sin\theta-\sin\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$
Получился Пуассон для точечных зарядов. При инверсии $\delta$-функции умножатся на якобианы в соответствующих точках, поэтому на плоскости надо решать задачу с другими точечными зарядами. Зато, в такой постановке все вроде как точно решается без непонятных предельных переходов и спец. функций. Только надо заряд убрать из полюса - там у якобиана сингулярность.

[fred1996]

amon в сообщении #1196844 писал(а):

fred1996 в сообщении #1196823 писал(а):

Где-то точно наврал.

Тут, на мой взгляд, такая петрушка. Постановка с заданными потенциалами не хорошая (я в голове держал другую, о которой расскажу позже). Ваше колечко вокруг полюса преобразуется в кольцо большого, но конечного радиуса. Убрать его на бесконечность не получится - тогда на сфере получится некорректная задача с заданным в одной точке потенциалом. Область же на экваторе преобразуется в некоторую зюзюку, еще и не в центре кольца. Ответ начинает зависеть как от формы, так и от положения зюзюки, и что с этим делать - бог весть.

Не понимаю в чем проблема.
Задача на сфере с двумя маленькими выколотыми колечками в полюсах решается на раз.
Проецируем решение на плоскость так, что имеем кольцо с очень маленьким внутренним и очень большим наружным радиусоми. Сдвигаем всю плоскость на $2r$ или на сколько потребуется. Маленькая и большая окружности сдвинулись. Большая окружность все равно охватывает начало координат. У нее же радиус заведомо больше $2r$. Теперь мы все получившееся кольцо проецируем обратно на сферу. Маленькая окружность у нас будет охватывать наш второй контакт, а большая окружность спроецируется на маленькую окружность но все равно вокруг северного контакта. Таким образом все особые точки выкинуты из задачи.

[amon]

fred1996 в сообщении #1196848 писал(а):

Не понимаю в чем проблема.

Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере, а если Вы попробуете на сфере "разогнуть" их в окружности, то на плоскости получите хитрые кривые. Т.е. ответ в такой постановке зависит от формы контактов, а сделать контакты точечными нельзя.

[Munin]

amon в сообщении #1196900 писал(а):

Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере

Да?

[fred1996]

amon в сообщении #1196900 писал(а):

fred1996 в сообщении #1196848 писал(а):

Не понимаю в чем проблема.

Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере, а если Вы попробуете на сфере "разогнуть" их в окружности, то на плоскости получите хитрые кривые. Т.е. ответ в такой постановке зависит от формы контактов, а сделать контакты точечными нельзя.

Мне даже неудобно как-то напоминать свойства стереографической проекции.

[amon]

fred1996 в сообщении #1196922 писал(а):

Мне даже неудобно как-то напоминать свойства стереографической проекции.

Эт я не подумав ляпнул, виноват. Окружности перейдут в окружности, сдвинутся центры, и далее - по тексту.

[fred1996]

Munin в сообщении #1196624 писал(а):

fred1996
А напишите-ка правильно уравнение Лапласа на сфере. А то я засомневался.

Попробую расшифровать глубину вашей мысли.
Итак, чем отличается распределение потенциала на сфере от аналогичного от двух точечных зарядов в 3D но на той же сфере?
Я думаю в том, что в пространственной задаче у нас чистый Лаплас, а на сфере уже немножко Пуассон, но Пуассон, который в ближайшем рассмотрении все-равно Лаплас.
То есть от двух зарядов в 3D на сфере поле не тангенциально поверхности этой сферы. Но кто-то удерживает ток от утекания со сферы. А это перераспределение тока в тонком пограничном слое так, что у нас появляется пространственный заряд но с радиальной дивиргенцией. Этот заряд создает компенсирующее поле, и радиальная компонента в уравнении Пуассона полностью компенсируется правой частью.
Сокращаем их и получаем совершенно легальный Лаплас на сфере.
Вот, попутно разобрался где наврал в предыдущем рассуждении о потенциале в 3D.

[Munin]

В общем, это математически формулируется совсем иначе. Но отдалённо верно.

[fred1996]

Munin в сообщении #1196941 писал(а):

В общем, это математически формулируется совсем иначе. Но отдалённо верно.

Извините, 40 лет не брал в руки шашки.