Нить

[mihiv]

Чтобы зря не пропало, напишу, что у меня получилось. Уравнение для силы натяжения:

$$T'-kT=\rho gR(k\cos \alpha -\sin \alpha )$$

$\rho -$линейная плотность нити, $\alpha -$угол между вертикалью и радиусом-вектором, проведенным из центра окружности в точку на линии.Уравнение решается в явном виде. Решение, равное 0 при $\alpha =0$(на верхнем конце нити), имеет вид:

$$T(\alpha )=\dfrac {\rho gR}{1+k^2}(2k\sin \alpha +(1-k^2)(\cos \alpha -e^{k\alpha }))$$

Длина нити равна:$L=R\alpha _0$, где $\alpha _0$ положительный корень уравнения:

$$2k\sin \alpha +(1-k^2)(\cos \alpha -e^{k\alpha })=0\qquad (1)$$

Уравнение (1) - это условие равенства 0 силы натяжения на нижнем конце нити. Решения уравнения (1) для некоторых значений коэффициента трения:

$$\begin {cases}k= 0.1; 0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.732\\\alpha _0 =0.200;0.400;0.601;0.805;1.01;1.24;\frac {\pi }2\\\bar \alpha _0=0.199;0.395;0.583;0.761;0.927;1.08;1.26\end {cases}$$

$\bar \alpha _0$- это угол, посчитанный без учета силы натяжения, по формуле $\bar \alpha _0=2\arctg k$

[dovlato]

ДУ у меня такое же. mihiv довёл его до подробного решения.
Но я так и не понял одного момента. Мне кажется, что равенство $T=0$ обязательно должно выполняться на обоих концах,
пусть даже кусочек нити был бы совсем коротенький.. Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

[fred1996]

dovlato в сообщении #1197965 писал(а):

ДУ у меня такое же. mihiv довёл его до подробного решения.
Но я так и не понял одного момента. Мне кажется, что равенство $T=0$ обязательно должно выполняться на обоих концах,
пусть даже кусочек нити был бы совсем коротенький.. Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

Ну и чему это противоречит?

[dovlato]

Уравнение (1), то есть условие $T=0$, по тексту определяет длину нити. Я этого не понимаю.
Так как это условие вроде бы должно выполняться на концах для любой(!) длины нити.

[fred1996]

Нет.
Это только при условии критического саморавновесия.
Другими словами при произвольной длине больше критической натяжение в верхней точке ненулевое.
Если же длина меньше критической, у нас трение превращается в статическое, для которого нет однозначного решения. Вы попались на стандартную удочку школьника. :)
Обычно выглядит это так.
Я объясняю школьникам как работает трение на наклонной плоскости. Расчитываю ускорение. А потом привожу формулу для критического угла.
А дальше вопрос, что будет, если угол меньше критического?
А ускорение становится отрицательным и тело едет вверх . Немая сцена!

Для примера неоднозначности трений и натяжений при статическом трении очень хороша следующая ситуация.
Пусть у нас есть треугольная наклонная плоскость с блоком в вершине и двумя массами по бокам, привязанными к нити, перекинутой через блок.
Есть трение.
И можно написать уравнение для ускорения системы в случае кинематического трения. Но Если это трение становится статическим, то точного решения доя натяжения нити и сил трения уже нет. Есть уравнения соотношений между ними.

[mihiv]

dovlato в сообщении #1197965 писал(а):

Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

Это так, но в отсутствие равновесия уравнение для силы натяжения было бы уже другим. А именно, справа добавилось бы слагаемое $-\rho R^2\varepsilon$, где $\varepsilon $- угловое ускорение нити. Тут я не согласен с мнением fred1996, что натяжение в верхней точке не равно 0.

[fred1996]

mihiv в сообщении #1197986 писал(а):

dovlato в сообщении #1197965 писал(а):

Это условие выполнялось бы даже в отсутствие равновесия - попросту потому, что нить
никакая внешняя сила не натягивает. Так?

Это так, но в отсутствие равновесия уравнение для силы натяжения было бы уже другим. А именно, справа добавилось бы слагаемое $-\rho R^2\varepsilon$, где $\varepsilon $- угловое ускорение нити. Тут я не согласен с мнением fred1996, что натяжение в верхней точке не равно 0.

Э, тут мы говорим о разных задачах.
Я говорю о равновесии, вы говорите о свободном скольжении.
И потом при длине меньше критической натяжения на концах тоже нули, однако равновесие теперь статическое, а значит однозначного дифура не получится.
Получатся только локальные соотношения между трением и натяжением, где трение уже не связано конкретно с реакцией опоры.

[mihiv]

Ну да, я имел в виду скольжение.

[dovlato]

Характер движения (или пребывания в покое) нити ни малейшим образом не влияют на тот самоочевидный факт,
что натяжение на ОБОИХ концах нити равно нулю. Иначе ускорения концов были бы бесконечными.
Я не понимаю, каковы условия справедливости исходного ДУ. Ясно, например, что если нижний конец нити находится на пологом
склоне с углом наклона, меньшем критического, то вся нить может быть вообще не натянутой.

[fred1996]

Местами натянутой, местами ненатянутой. Локально имеем:
$\Delta T = \Delta F + \Delta mg\sin(\varphi)$
Но трение статическое, поэтому $\Delta F < k\Delta N$.
То есть в неравенстве сидит вся неопределенность.
При критической же длине нити, когда она вот-вот поедет, все эти локальные неравенства превращаются в равенства и мы имеем строгий дифур.

Здесь $T, F, N$ натяжеие нити и распределение сил трения и реакции опоры.

[dovlato]

Вроде бы понял. ДУ действует по всей длине нити именно для данного предельного случая,
когда нить "вот-вот поедет".

[Батороев]

dovlato в сообщении #1198009 писал(а):

самоочевидный факт,
что натяжение на ОБОИХ концах нити равно нулю.

Представим одинаковых альпинистов, которые выстроились цепочкой по цилиндрическому склону и страхуют друг друга. Если натяжение веревки у самого нижнего альпиниста равно нулю, то эту веревку можно обрезать. Боюсь, что он Вам этого не простит.

[fred1996]

Батороев в сообщении #1198327 писал(а):

dovlato в сообщении #1198009 писал(а):

самоочевидный факт,
что натяжение на ОБОИХ концах нити равно нулю.

Представим одинаковых альпинистов, которые выстроились цепочкой по цилиндрическому склону и страхуют друг друга. Если натяжение веревки у самого нижнего альпиниста равно нулю, то эту веревку можно обрезать. Боюсь, что он Вам этого не простит.

Нет там никакого альпиниста. Веревка не свисает, а полностью лежит на блоке.
А вот если к-т трения больше некоего критического, тогда да, веревка свисает и натяжение ненулевое.

[Батороев]

fred1996 в сообщении #1198330 писал(а):

Веревка не свисает, а полностью лежит на блоке.

Я не говорил про свисающих альпинистов. В моем примере страхующие альпинисты - это те, кто удерживает последнего от его соскальзывания.

-- 09 мар 2017 11:39 --

"Альпинисты" в моем примере - это элементы веревки, разбитые на части. При бесконечно малой величине "альпиниста" (соответственно бесконечно большом их количестве) их воздействие можно проинтегрировать.

[dovlato]

Пусть, для простоты, мы тянем нить по гладкой поверхности планеты. Всё происходит в плоскости, проходящей через центр планеты.

$$f'-kf=\rho gkR$$

Ищем решение в виде $f=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+...$
После подстановки в уравнение получим систему

$$a_0=0$$

$$a_1=\rho gkR$$

$$2a_2-ka_1=0$$

$$3a_3-ka_2=0$$

Как видим, решение получается без $a_0\ne 0.$