Нить

[dovlato]

Нить лежит на цилиндре радиуса R, вся в вертикальной плоскости. Ось цилиндра горизонтальна.
Верхний её конец, для простоты, находится на самом верху поверхности цилиндра.
Найти максимальную длину нити, при которой она может оставаться неподвижной.
Коэффициент трения $k$.

[kalin]

схема такая?

[dovlato]

Да.

[mihiv]

Нить начнет двигаться, когда момент силы тяжести, действующей на нить, будет равен моменту силы трения. Отсюда получим: $L=2R\arctg k$

[fred1996]

mihiv в сообщении #1197007 писал(а):

Нить начнет двигаться, когда момент силы тяжести, действующей на нить, будет равен моменту силы трения. Отсюда получим: $L=2R\arctg k$

Вы сосчитали моменты без учета натяжения нити. А оно есть и увеличивает реакцию опоры, что в свою очередь увеличивает силу трения. Такой парадокс.
И потом даже исходя из вашей формулы при достаточно большом $k$, например $k=\frac{1}{\sqrt{3}}$ у вас $L=\frac23\pi R$, что больше $\frac12\pi R$
И нить начнет свисать, что совсем меняет логику.

[mihiv]

fred1996,
Вы правы, мне почему-то показалось, что вклад силы натяжения более высокого порядка малости.
А при $k=\frac 1{\sqrt 3}$ формула все еще дает имеющий смысл результат: $L=\frac {\pi }3R$.

[fred1996]

(Оффтоп)

Сам всегда говорю ученикам, что самые частые ошибки это в два раза и $+$ с $-$. И все время сам их совершаю. в школьные годы был гораздо внимательнее.

[dovlato]

Мне кажется, сила натяжения должна удовлетворять определённому дифф. уравнению. Я его для себя написал схематично, но пока приводить не буду (потерялось куда-то).
В идейном плане fred1996 уже заметил, что силы трения и натяжения взаимосвязаны.

[AnatolyBa]

А какого-то изящного решения нет?
Я тоже написал уравнение и тоже потерял. В лоб оно решается, но красивого ответа не видно

[fred1996]

Сдается мне, что я эту задачу уже видел когда-то и тоже с красивым, но неправильным решением.

[mihiv]

Тоже вот написал ДУ для силы натяжения. Смущает то, что получилось уравнение первого порядка, а нужно удовлетворить двум граничным условиям, т.к. сила натяжения равна нулю на обоих концах нити.

[AnatolyBa]

Из условия равенства нулю на нижнем конце как раз и определяется длина нити (если не свисает)

[mihiv]

Да, действительно, так и есть. Но тогда простой формулы для $L$ не получится.

[dovlato]

Мне кажется, граничное условие только одно: $f=0$ только на нижнем конце. Возможно, ошибаюсь.

[fred1996]

Условия на натяжения два если нить не свисает. Это нулевое значение натяжения на нижнем и верхнем конце. Очевидно сначала натяжение возрастает, затем убывает.