Нить

[dovlato]

На самом деле для меня же это решение непонятно, даром что сам его написал.. Привычное самоощущение полуидитическое.
Я положил $a_0=0$ исключительно по своему произволу. А если присвоить его, например, $\rho gkR$? Всё остальное обнуляется(!)
С другой стороны, если заменить непрерывную нить на последовательность точечных одинаковых микромасс, то при максимуме возможного
натяжения (когда вот-вот поедет) такой произвол, по-моему, исчезает.

[mihiv]

dovlato в сообщении #1198397 писал(а):

Пусть, для простоты, мы тянем нить по гладкой поверхности планеты. Всё происходит в плоскости, проходящей через центр планеты.

$$f'-kf=\rho gkR$$

dovlato, а как получено это уравнение?

[dovlato]

Пусть нить лежит, вытянутая вдоль какого-нибудь большого круга - например, по экватору или по меридиану.
Все её точки лежат в одной плоскости, проходящей через центр планеты (имеющей радиус $R$).
Рассматриваем силы, приложенные к концам малого кусочка. Допустим, к одному его концу приложена сила натяжения $f$, а к другому $f+df$.
Полагаем, что под действием этой силы нить ползёт вдоль себя, либо она на грани этого. Тогда пишем:

$$df=k\rho gdl+kfd\alpha$$

Здесь $\rho$ - линейная плотность нити. Так как $dl=Rd\alpha$, то получим

$$df=k(\rho gR+f)d\alpha,$$

то есть

$$f'-kf=k\rho gR$$

Вроде так.

[mihiv]

dovlato в сообщении #1200323 писал(а):

Я положил $a_0=0$ исключительно по своему произволу.

Где же здесь произвол? Мы вынуждены выбрать $a_0=0$, чтобы выполнялось граничное условие: сила натяжения равна 0 на свободном конце нити.

[dovlato]

Но я хотел, чтобы равенство $a_0=0$ следовало не из физических соображений, а чисто математически.

[fred1996]

dovlato в сообщении #1200755 писал(а):

Но я хотел, чтобы равенство $a_0=0$ следовало не из физических соображений, а чисто математически.

Как это?
Здесь как-раз физика.
Имеется ввиду, что никто не держит нить за верхний конец.
Это то что называется постановка задачи.
Есть уравнения, есть граничные условия.
А математика - это решение такой задачи.
Чисто математически в физике условия не ставятся.
Математически они формулируются после трансляции описания физической задачи на язык математики.
Кстати, это, если хотите, очень важный философский момент. Объяснить роль физики и математики и их связь при решении задач.

[Батороев]

dovlato в сообщении #1200755 писал(а):

Но я хотел, чтобы равенство $a_0=0$ следовало не из физических соображений, а чисто математически.

Как мне видится, это равенство справедливо для случая максимального угла (заданного в задаче).
Представим альпиниста микромассу, находящуюся в вверху цепочки. Если сила натяжения на нее со стороны других микромасс выше, чем сила трения покоя этой микромассы, то вся нить соскользнет, если - ниже, тогда нить можно еще нагружать, что будет противоречить максимальности найденного угла. Поэтому должно быть равенство сил или нуль суммы сил на свободном конце. Аналогично, можно рассмотреть равенство сил и для нижней микромассы.

[mihiv]

Еще один необычный момент в этой задаче. Возьмем вместо нити твердое тело в виде дуги соответствующей окружности, например, сделаем дугу из металла. Уравнение для силы натяжения останется прежним. Необычность, мне кажется, в том, что для описания движения твердого тела под действием внешней силы необходимо находить внутреннюю силу натяжения.

[fred1996]

Не, ну твердое тело напрочь ликвидирует однозначность.
Вы не можете для твердого тела однозначно описать все внутренние напряжения и связанные с этим силы трения и нормальные силы.
Берете обычный штырь и сажаете на него шайбу. При каких то условиях она будет достаточно свободно вращаться, а при каких-то ее может и заклинить.
В связи вот этими вашими деформациями и твердыми телами вспомнилась такая задачка.
Пусть у нас есть абсолютно эластичная пластина длины $L$. Ее можно согнуть по идеальной дуге в полукольцо применив при этом силу $F$
Какую работу нуждно совершить, чтобы из полукольца согнуть эту пружину в кольцо?

[dovlato]

Для себя у меня вывод получается такой. Так как чисто физически материал нити обязательно дискретный ( размер дискрета - уж точно не меньше размеров атома), то для крайнего дискрета сила натяжения, понятно, почти нуль. Но других причин для утверждения нулевого натяжения на концах не вижу! Тогда как дифф. уравнение выводилось именно для абсолютно непрерывной нити.. То есть для ДУ действует другая модель, в которой допустимо ненулевое натяжение на концах.

[Батороев]

Нашел в Инете похожую задачу, в которой, на мой взгляд, можно $dF {\text{тр.}}$ и $dN$ расписать "на свой лад".