Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...

[kp9r4d]

В нематематических приложениях определения вообще не нужны. В математических приложениях интеграл Лебега нужен, как теория беззнакового интегрирования.

О мотивировках.

Во-первых в математике это обычная ситуация, когда теория немотивирована. Редко когда удаётся привести впечатляющие примеры вида "теория А позволяет решить задачу Б, которая может быть сформулирована не в терминах теории А и без теории А не решается". А когда и удаётся, то часто после изучения теории А становится ясно, что её основная ценность всё же не в задаче Б, а в чём-то другом. А идеологические лозунги про инвариантность, естественность, элегантность, концептуальность и такое всё одинаково хорошо действуют как на школьников так и на студентов. Но если вы не согласны, то всё же мне интересно, как вы мотивируете интеграл Лебега и теорию меры для своих студентов (никакого ёрничанья, правда интересно).

Во-вторых тогда становится непонятно, чего же так в матшколах всех мучают теорией множеств - менее мотивированного и более абстрактного куска для изучения и придумать сложно (btw, Хелемский писал, что во времена Колмогорова её читали на третьем курсе).

Кстати, Вербицкий таки читал курс по мере школьникам, все школьники остались живы.

(Оффтоп)

По поводу первого утверждения мне кажется гораздо более спорным утверждение обратное: будто 10, 11 класс общей школы как-то кому-то помог в университете и в научной карьере в целом (не "вообще как-то помог", а в том смысле, что не возникло стойкого ощущения, будто это время можно было растратить гораздо более целесообразно, чем на бесконечные символические преобразования синусов и косинусов). А уж про то, что общая образованность улучшает какие-то когнитивные функции или делает человека более критически мыслящим мне вообще кажется спорным в квадрате. Но это всё-таки оффтоп.

[dsge]

kp9r4d в сообщении #1197789 писал(а):

как вы мотивируете интеграл Лебега и теорию меры для своих студентов

Мат.ожидание в теорвере, по сути, интеграл Лебега, даже для дискретных случайных величин - значение умножить на меру и все сложить.

[kp9r4d]

Меру читают обычно не позже вероятности, поэтому аргумент будет непонятен. У меня так читали, по крайней мере. А так да, то, что язык унифицирует дискретный и непрерывный случай приятно, конечно.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1197789 писал(а):

в математике это обычная ситуация, когда теория немотивирована. Редко когда удаётся привести впечатляющие примеры вида "теория А позволяет решить задачу Б, которая может быть сформулирована не в терминах теории А и без теории А не решается".

Это верно. Но давайте определимся все же, о ком мы говорим: о студентах мехматов + физматшкольниках или об обычных одиннадцатиклассниках. Потому что это только первым математика интересна по умолчанию. А вторые вряд ли будут во что-то прилежно вникать, если не понимают, зачем оно нужно.

kp9r4d в сообщении #1197789 писал(а):

Вербицкий таки читал курс по мере школьникам, все школьники остались живы.

А материал усвоили? Чтобы пройти сигма-аддитивную меру, нужно знать, что такое сумма бесконечного ряда и, соответственно, что такое предел. Готов поверить, что физматшкольники это знают, а вот что с обычными школьниками?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Извините за совершенно оффтопный вопрос, но раз упомянули

kp9r4d в сообщении #1197809 писал(а):

язык унифицирует дискретный и непрерывный случай

то интересно, возникают ли в приложениях (в том числе теорвера) меры с ненулевой сингулярной составляющей? А то всё дискретные да непрерывные, а теорема-то о разложении говорит и об этих!

[kp9r4d]

Имелся в виду только физмат с самого начала и то не все физматы и даже не самого высокого уровня, мысль была проще: чем более пестрая и экспериментальная будет культура кружков и спец.курсов, тем лучше. И уж если что-то и считать "математическим снобизмом", так это какие-то странные исторические установки вроде "теорию меры нужно читать исключительно на третьем курсе, а алгебраическую геометрию читать вообще только на graduate, а лучше вообще не читать". Вербицкий, кстати, не первопроходец в этом далеко, Гинзбург вообще гомологическую алгебру школьникам читал задолго до Вербицкого, и тоже живы были.

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1197789 писал(а):

В нематематических приложениях определения вообще не нужны.

Вы путаете приложения с болтологией

kp9r4d в сообщении #1197789 писал(а):

Во-первых в математике это обычная ситуация, когда теория немотивирована

Теорию часто излагают немотивированно, но возникновение, как правило, мотивированно. И при преподавании полезно мотивировать введение какого-либо понятия.

kp9r4d в сообщении #1197789 писал(а):

Во-вторых тогда становится непонятно, чего же так в матшколах всех мучают теорией множеств - менее мотивированного и более абстрактного куска для изучения и придумать сложно

Немотивированность и абстрактность--вещи разные. И если Вы не можете мотивировать изучение теории множеств--это Ваши проблемы.

[kp9r4d]

Red_Herring в сообщении #1197822 писал(а):

Вы путаете приложения с болтологией

Может быть, может быть, но лично я с некоторыми приложениями работал довольно плотно, а ещё я только что зашёл в раздел приложений статистики на архиве, прокликал пару статей и по их интонации мне стало понятно, что их авторам как-то плевать на каких-то там Лебегов и вообще определения и доказательства. Может плохие статьи попались или раздел болтологический.

Red_Herring в сообщении #1197822 писал(а):

Теорию часто излагают немотивированно, но возникновение, как правило, мотивированно. И при преподавании полезно мотивировать введение какого-либо понятия.

Я не понял мысль, возникновение теории в историческом плане или в плане учебном? Введение понятия-то понятно. Но давайте на конкретном примере всё же, вот вы говорили:

Цитата:

Свежему человеку просто непонаятно, зачем такое более сложное определение.

поясните, как бы вы объясняли зачем такое более сложное определение человеку несвежему и почему свежий аналогичного объяснения бы не понял?

Red_Herring в сообщении #1197822 писал(а):

Немотивированность и абстрактность--вещи разные. И если Вы не можете мотивировать изучение теории множеств--это Ваши проблемы.

А как бы вы мотивировали?

[Mikhail_K]

kp9r4d в сообщении #1197827 писал(а):

А как бы вы мотивировали?

Один из наиболее очевидных вариантов. Сказал бы: вот мы изучали геометрию на основе аксиом Евклида. Но гораздо более перспективным является подход (и легко показать, в чём его перспективность), когда вместо всех этих аксиом мы строим геометрию на основе теории множеств. Отождествляя точки на плоскости с парами действительных чисел, вводя определение прямой или окружности как множества точек, удовлетворяющих таким-то уравнениям, и т.д.

[Red_Herring]

Прикладным статистикам Лебег не нужен--потому что им хватает Римана. О чём я и писал.

Итак, исторически теории возникают из внутренних потребностей развития математики, или из приложений. И если начинать с мотивировок, то изучение по-моему опыту идет лучше. Необязательно с тех, которыми теория мотивировалась исторически. Но с каких бы то ни было.

kp9r4d в сообщении #1197827 писал(а):

поясните, как бы вы объясняли зачем такое более сложное определение человеку несвежему и почему свежий аналогичного объяснения бы не понял?

Хочется расширить понятие интеграла, обладающего определенными свойствами. А вот эти свойства проявились в изучении интеграла Римана. Кроме того, есть условно сходящиеся несобственные интегралы Римана--они не покрываются Лебегом. Разумеется, можно ввести интеграл Лебега, а потом несобственный ИЛ. Но тут разрыв шаблона: раньше мы хватали множества, на которых функция принимает какие-то значения, не заботясь ни о чём, а тут какой-то отрезок, который расширяется. В ИР это естественно, и потому естественно обобщается на ИЛ.

Как бы я мотивировал теорию множеств? Какую? Там где действия нАд множествами? Ну хотя бы удобством, логикой и т.д. Понятие мощности? Счетом. Элементарными задачами типа: каких клеток больше на традиционной шахматной доске? Белых или черных? А на доске $7\times 7$?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1197822 писал(а):

Теорию часто излагают немотивированно, но возникновение, как правило, мотивированно. И при преподавании полезно мотивировать введение какого-либо понятия.

Red_Herring в сообщении #1197822 писал(а):

Немотивированность и абстрактность--вещи разные. И если Вы не можете мотивировать изучение теории множеств--это Ваши проблемы.

А где бы ознакомиться со списком мотиваций теорий и понятий? В частности, как вы мотивируете теорию множеств?

-- 07.03.2017 14:26:20 --

Mikhail_K в сообщении #1197837 писал(а):

Но гораздо более перспективным является подход (и легко показать, в чём его перспективность), когда вместо всех этих аксиом мы строим геометрию на основе теории множеств. Отождествляя точки на плоскости с парами действительных чисел, вводя определение прямой или окружности как множества точек, удовлетворяющих таким-то уравнениям, и т.д.

Простите, а где здесь теория множеств? Это же просто аналитическая геометрия.

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1197837 писал(а):

Отождествляя точки на плоскости с парами действительных чисел

Не, координатное пространство — это всё же не венец творения, некрасиво…

Munin в сообщении #1197840 писал(а):

Простите, а где здесь теория множеств? Это же просто аналитическая геометрия.

Элементарную тут можно увидеть, если захотеть полной строгости изложения. Правда, тогда надо будет ещё залезть в алгебру (поле) и доказательство существования $\mathbb R$.

-- Вт мар 07, 2017 16:40:56 --

Munin в сообщении #1197840 писал(а):

В частности, как вы мотивируете теорию множеств?

Могу сказать, как лично я бы мотивировал: это теория о (с первого взгляда) достаточно интуитивно понятных вещах (про которые мы можем говорить только то, лежит одна в другой или нет — хотя, конечно, можно интерпретировать $\in$ и как что-то совершенно иное: говорит ли одна о другой или, скажем, может ли узнать цвет) с небольшим числом (схем) аксиом, в которой (иногда с небольшим расширением) довольно ясно выразима (почти) вся современная математика. Это, правда, будет касаться даже экзотических теорий множеств.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1197840 писал(а):

А где бы ознакомиться со списком мотиваций теорий и понятий?

А разве он существует?

(Оффтоп)

Один мой младший коллега, будучи студентом 2го курса (номинально, брал он тогда предметы за 3й и 4й курсы), начал возмущаться "Почему нам не объясняют, для чего та или иная теория нужны?" Повозмущавшись пару недель, он организовал семинар для студентов и аспирантов в необычном в тех краях формате: за 2 часа надо сформулировать интересную задачу, изложить некую теорию, и применить к этой задаче. Этот семинар очень успешно существовал ещё несколько лет после его отъезда в аспирантуру, и посещался даже некоторыми профессорами. После этого студенты и аспиранты стали активно организовывать более специализированные семинары.

Позднее он жаловался, что во многих статьях нет мотивировок и объяснений, почему такие аргументы работают (именно "почему", а не "как") и сейчас успешно применяет эти принципы в своих статьях и лекциях.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1197843 писал(а):

Элементарную тут можно увидеть, если захотеть полной строгости изложения.

Так элементарную можно и в натуральном ряде увидеть, было бы желание. Однако первоклассникам его почему-то без теории множеств дают.

arseniiv в сообщении #1197843 писал(а):

Могу сказать, как лично я бы мотивировал

Спасибо. Но хотя я признателен вам за идею, особенно интересно мне было бы услышать ответ Red_Herring.

Red_Herring в сообщении #1197849 писал(а):

А разве он существует?

Ну, вы на него так уверенно ссылаетесь.

Вопрос про теорию множеств остался. И про алгебру и анализ, что придёт в голову, тоже накидайте.

За рассказ спасибо. Таких математиков бы побольше. В физике чем-то подобным славился Фейнман.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1197852 писал(а):

Так элементарную можно и в натуральном ряде увидеть, было бы желание. Однако первоклассникам его почему-то без теории множеств дают.

Досадное упущение! Хотя вообще тут нужна алгебра или теория категорий.

Munin в сообщении #1197852 писал(а):

Спасибо. Но хотя я признателен вам за идею, особенно интересно мне было бы услышать ответ Red_Herring.

Я тоже не против.