Распределение поверхностного тока на сфере

[AnatolyBa]

А меня терзают сомнения. Вы утверждаете, что на стереографической проекции линии тока остаются прямыми после сдвига $O$ в $E$. А как бы это доказать? Можно узнать откуда это из Кванта?

[Munin]

Распределение тока есть решение уравнения Лапласа, а оно существует и единственно. Возможно, это не уровень Кванта.

[fred1996]

Munin в сообщении #1196311 писал(а):

Распределение тока есть решение уравнения Лапласа, а оно существует и единственно. Возможно, это не уровень Кванта.

Как я уже говорил, задачка из Кванта. Но в Квате вопрос звучит так. Каковы направление и величина плотности тока в точке на экваторе, повернутой на $\frac{\pi}{2}$ относительно точки $A$ по азимуту.
Я просто обобщил ее на все точки.
Кстати, какое решение предлягается в Кванте я не знаю.
Насчет единственности решения уравнения Лапласа заданной Задачи Дирихле. Есть ведь еще метод изображений, который опирается на сей факт. И школьники его проходят. Так что технически может и не знают, но используют. Конформные отображения в виде стереографической проекции или инверсии проходят на уроках математики. Так что уровень задачи практически школьный.

Более того, мне кажется, задачу можно обобщить и на однородный диск. Если сферу равномерно сплющивать в полюсах до плоского диска, тогда точки сферы спроецируются на экваториальную плоскость, а значения величины плотности тока надо будет просто поделить на синус полярного угла, как это делается в аналогичной задаче для нахождения распределения заряда на проводящем диске.

-- 01.03.2017, 09:44 --

А для Фом неверующих предлагаю в лоб проверить получившееся решение в изначальной системе координат, и в сферической системе, в которой ось $z$ совпадает с осью $O'A$, а экваториальная плоскость делит отрезок $O'A$ пополам. В этой системе азимутальная составляющая плотности тока отсутствует. Пожалуй, я такую задачку оставлю своим олимпиадникам. Пусть набивают руку на технике.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1196322 писал(а):

Есть ведь еще метод изображений, который опирается на сей факт. И школьники его проходят. Так что технически может и не знают, но используют. Конформные отображения в виде стереографической проекции или инверсии проходят на уроках математики. Так что уровень задачи практически школьный.

И то и другое - очень редко. Первое - в специализированных физических классах, второе - в специализированных математических. Я не уверен, что где-то они встречаются вместе.

fred1996 в сообщении #1196322 писал(а):

Более того, мне кажется, задачу можно обобщить и на однородный диск.

Э, нет.

А сферическая с.к. для этой задачи вообще неудобна.

[fred1996]

Munin в сообщении #1196389 писал(а):

fred1996 в сообщении #1196322 писал(а):

Есть ведь еще метод изображений, который опирается на сей факт. И школьники его проходят. Так что технически может и не знают, но используют. Конформные отображения в виде стереографической проекции или инверсии проходят на уроках математики. Так что уровень задачи практически школьный.

И то и другое - очень редко. Первое - в специализированных физических классах, второе - в специализированных математических. Я не уверен, что где-то они встречаются вместе.

Да, наверное вы правы. Здесь в Штатах где-то та же ситуация.
На мой взгляд математика в школе на специализированном уровне гораздо круче, чем физика. Школьники тут с легкостью оперируют конформными преобразованиями применительно к геометрическим задачам. Но как правило в физике ни бум бум.

fred1996 в сообщении #1196322 писал(а):

Более того, мне кажется, задачу можно обобщить и на однородный диск.

Цитата:

Э, нет.

А сферическая с.к. для этой задачи вообще неудобна.

Так а я и н предлагаю оставаться в сферических координатах.
Мы уже решили задачу на сфере.
Распределение потенциалов и линий тока известно.
Теперь переходим к цилиндрическим координатам и сплющиваем наш шар по оси $z$ равномерно. Шар превращатся в эллипсоид вращения. При этом все углы на поверхности сохраняются.

[AnatolyBa]

Munin в сообщении #1196311 писал(а):

Распределение тока есть решение уравнения Лапласа, а оно существует и единственно. Возможно, это не уровень Кванта.

Прекрасно, но каково оно, это единственное решение? Классическй метод конформных отображений основан на том, что вещественная и мнимая компоненты аналитической функции являются гармоническими, т. е. удовлетворяют уравнению Лапласа по координатам являющимся вещественными и мнимыми компонентами аргумента. И эта гармоничность не нарушается при аналитических преобразованиях аргумента или функции (надеюсь не заврался тут при кратком определении). И уравнение Лапласа в этом случае имеет красивый и симметричный вид.
Применим ли этот метод к данной задаче? Это по меньшей мере следует доказать. Уравнение Лапласа для исходной сферы я написал. Оно просто, но уже не настолько красиво, как для двумерной плоскости. Уравнение Лапласа, которое возникает при стереографическом преобразовании начал писать и бросил. Сложно, запутано и не виднно шансов, что его решение представляет собой равномерно растекающийся по прямым линиям ток из произвольной точки инжекции. Хотя, безусловно, это решение существует и единственно

fred1996 в сообщении #1196322 писал(а):

Кстати, какое решение предлягается в Кванте я не знаю

Гугл мне выдал задачу 1191. Это она? Посмотрите. Там решение основано на рассмотрении тока текущего с севера на юг и с запада на восток, и на симметрии. Стереографическая проекция не применяется. Так что ваше решение, как мне кажется, требует обоснования

fred1996 в сообщении #1196322 писал(а):

А для Фом неверующих предлагаю в лоб проверить получившееся решение в изначальной системе координат, и в сферической системе, в которой ось $z$ совпадает с осью $O'A$, а экваториальная плоскость делит отрезок $O'A$ пополам. В этой системе азимутальная составляющая плотности тока отсутствует.

Не понял, что вы предлагаете проверить? Что с чем должно совпасть?
Подчеркну, я не утверждаю, что вы не правы. Я только говорю, что вы свою точку зрения не доказали, или мне вашего доказательства понять не удалось, равно как и доказать самому.

[fred1996]

To AnatolyBa
По пунктам.
1. Решаем задачу на сфере с контактами в северном и южном полюсе.
Решение тривиально.
Ток течет по меридианам. Эквипотенциальные поверхности по параллелям.
2. Делаем стереографическую проекцию на плоскость.
Южный полюс переходит в ту же точку на плоскости, которую мы выбираем центром координат.
Северный полюс уходит в бесконечность.
Токи текут по прямым из бесконечности в наш центр координат.
А параллели - эквипотенциальные линии, которые есть окружности на сфере проецируются на окружности на плоскости. Они же остаются эквипотенциальными линиями. У нас же взаимно однозначное конформное отображение. И кстати забудьте про комплексные числа. Они тут ни при чем.
3. Делаем преобразование переноса на $2R$ например по оси $x$. Опять все прямые токи переходят в прямые токи. А эквипотенциальные окружности в окружности. Бесконечность там же и остается.
4. Делаем обратную стереографическую проекцию. Теперь прямые токов переходят в окружности на сфере, проходящие через заданные две точки. А соответственно эквипотенциальные окружности на плоскости опять в окружности на сфере. При всех этих отображениях потенциалы сохраняются, так же как сохраняются направления токов. Изменяется только их величина, которую можно вычислить либо масштабированием, либо прямым вычислением по найденным потенциалам.
Нигде в лоб не надо решать уравнение Лапласса. Достаточно, что у нас есть его решение в пункте 1. А далее за нас все решают предложенные отображения.

[AnatolyBa]

fred1996 в сообщении #1196462 писал(а):

3. Делаем преобразование переноса на $2R$ например по оси $x$.

В этот пункт я не верю. Вы, конечно, геометрически можете сделать сдвиг, но будет ли сдвинутая картина соответсвовать реальному распределению потенциала? Т. е. будет ли потенциал полученный в следующем пункте решением уравнения Лапласа? Доказательства я не вижу, хотя возможно оно есть.
Давайте так. Пусть $R=1$. Зададим на сфере обычные координаты $\varphi$, $\theta$. Уравнение Лапласа

$$\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin \theta \frac{\partial u }{\partial \theta})=0$$

согласны?
На стереографической проекции введем полярные координаты, $\varphi$ остается $\varphi$, а $r=2/\sin(\theta/2)$, согласны?
Вы утверждаете, что существует решение уравнения Лапласа, где потенциал зависит только от $\rho=(r \sin \varphi)^2+(r \cos \varphi -2)^2=4(1+1/\sin^2(\theta/2)-2\cos \varphi/\sin (\theta/2))$ Не ошибся?
Так вот, я подставил гипотетическое $u(\rho)$ в уравнение Лапласа и у меня ничего хорошего не получилось.

Я не проверял выкладки много раз, так что, может и ошибся.
Однако пока остаюсь при своем мнении, что ваше решение не доказано

[Munin]

fred1996 в сообщении #1196409 писал(а):

Теперь переходим к цилиндрическим координатам и сплющиваем наш шар по оси $z$ равномерно.

Увы, при этом не получится диск.

AnatolyBa в сообщении #1196455 писал(а):

Уравнение Лапласа, которое возникает при стереографическом преобразовании начал писать и бросил.

Кажется, там как раз Лаплас на плоскости и должен получиться.

AnatolyBa в сообщении #1196455 писал(а):

Гугл мне выдал задачу 1192. Это она? Посмотрите. Там решение основано на рассмотрении тока текущего с севера на юг и с запада на восток, и на симметрии.

Дайте ссылку, пожалуйста.

[AnatolyBa]

Поправка - задача 1191
http://kvant.mccme.ru/1990/01/resheniya_zadach_f1188_-_1192.htm

[Munin]

Спасибо!

Решение из Кванта годится для одной точки, и не подходит для задачи про всю сферу.

[wrest]

А ответ на вопрос "вычислить плотность поверхностного тока $\overrightarrow J(\varphi,\theta)$ как функцию в сферических координатах." уже всем поучаствовавшим очевиден, или пока никем не получен?

[Munin]

wrest
Есть прямой рецепт, доводить который до конца - просто скучно. Можете заняться.

[AnatolyBa]

Munin в сообщении #1196568 писал(а):

Решение из Кванта годится для одной точки, и не подходит для задачи про всю сферу

Конечно. И стереографической проекции там нет (её то я и искал). Меня в этой теме интересует не сама задача, а корректность использования стереографической проекции для решения такого типа задач.
Идея для меня новая и интересная, но вот правильная ли? Пока что я в правильности не убежден.

wrest в сообщении #1196570 писал(а):

А ответ на вопрос "вычислить плотность поверхностного тока $\overrightarrow J(\varphi,\theta)$ как функцию в сферических координатах." уже всем поучаствовавшим очевиден, или пока никем не получен?

Я хотел получить, чтобы сравнить два подхода. Но утонул в тригонометрии, так что мной, по крайней мере пока не получен

[fred1996]

Munin в сообщении #1196543 писал(а):

fred1996 в сообщении #1196409 писал(а):

Теперь переходим к цилиндрическим координатам и сплющиваем наш шар по оси $z$ равномерно.

Цитата:

Увы, при этом не получится диск.

Диск то получится. Просто сплющивание по одной координате не есть комфорное преобразование.
Это я погорячился

-- 02.03.2017, 08:10 --

To AnatolyBa
А кто вас заставляет мучиться в полярных координатах при сдвиге.
Пользуйтесь обычными декартовыми.
Если у вас есть решение Лапласа в декартовых координатах, то оно будет и решением при сдвиге. А решение то есть.

-- 02.03.2017, 08:26 --

wrest в сообщении #1196570 писал(а):

А ответ на вопрос "вычислить плотность поверхностного тока $\overrightarrow J(\varphi,\theta)$ как функцию в сферических координатах." уже всем поучаствовавшим очевиден, или пока никем не получен?

Вот предлагаю в качестве тренировки аналитических способностей решить задачу по обоим предложенным алгоритмам, а затем сравнить ответ.
Алоритм Мунина покороче, поскольку даже не требует испльзования потенциала. Можно все решить в терминах поверхностных токов.
При решении с потенциалами точки контактов становятся особыми точками, что не совсем приятно. Хотя, можно оставаться в рамках поверхностных токов, но тогда их придется масштабировать при конформных отображениях.