Слишком сложный двойной интеграл в полярных координатах

[XpucToc]

Всем снова доброго дня. Решаю задание:
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, заданной уравнением в декартовых координатах: $y^{6}=a^{2}(y^{4}-x^{4})$
Собственно, решаю так:
так как: $\left\{ \begin{matrix} x=r\cos \Theta \\ y=r\sin \Theta \end{matrix}\right.$, то получаем:
$r^{6}\sin^{6}\Theta=a^{2}(r^{4}\sin^{4}\Theta-r^{4}\cos^{4}\Theta) \Rightarrow r=\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}$

Находим ООФ (решение опущу, там кроме понижения степени функций под корнем ничего нет интересного):
$\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{4} \leq \Theta \leq \frac{3\pi}{4}\\ \frac{5\pi}{4} \leq \Theta \leq \frac{7\pi}{4}\\ \Theta \neq 0\\ \Theta \neq \pi \end{matrix}\right.$

Затем рассуждение - так как функция симметрична относительно центра координат, а интеграл - это площадь фигуры, то во внутреннем интеграле можно взять такой промежуток:
$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}}rdr$
и потом просто умножить результат на 2. Начал решать:
$2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}}rdr $
Сначала беру внутренний:
$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}}rdr =\frac{1}{a}\frac{a^{2}(\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta)}{\sin^{6}\Theta}$
Затем пытаюсь взять внешний:
$a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta}$
И всё, тут я сажусь, взять его никак не получается, в связи с чем у меня возникли сомнения - а правильно ли я вообще решал? Может, где ошибка?

[Otta]

Непонятно, что не получается. Стандартный интеграл, рациональная функция от синуса и косинуса. Стандартная замена. В Демидовиче (и не только) есть нужный материал.

Можно и без дополнительных сведений - разбили на сумму, один вообще табличный, другой нетрудно считается.

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193360 писал(а):

Затем пытаюсь взять внешний:
$a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta}$
И всё, тут я сажусь, взять его никак не получается,

а чего не получается? и как-то вы в квадрат верхний предел странно возвели при взятии внутреннего интеграла.

[XpucToc]

wrest в сообщении #1193367 писал(а):

а чего не получается?

Otta в сообщении #1193366 писал(а):

Непонятно, что не получается.

Получается, решение верное?
Не получается найти интеграл, никак не найти подход. Упрощал подынтегральную функцию до $-\frac{\cos2x}{\sin^{6}}$, пытался заменять переменную, пока ничего дельного не получалось.

Пока это всё писал, родился такой алгоритм:
$\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2}\Theta}-\frac{\ctg^{2}\Theta}{\sin^{2}\Theta}$
это хороший путь?

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193360 писал(а):

Сначала беру внутренний:
$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}}rdr =\frac{1}{a}\frac{a^{2}(\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta)}{\sin^{6}\Theta}$

Тут кажись у знаменателя в ответе степень неверная получилась при возведении верхнего предела в квадрат, да и вообще... Проверьте это.

[XpucToc]

wrest в сообщении #1193369 писал(а):

Тут кажись у знаменателя в ответе степень неверная получилась при возведении верхнего предела в квадрат, да и вообще... Проверьте это.

Прорешал заново - получилось то же самое.
Возводим в квадрат $a$ - получаем $a^{2}$, затем просто убираем корень, заменяя его скобками, а в знаменателе прибавляем к 4-ой степени двойку. Разве не так?

-- 17.02.2017, 16:36 --

Кстати, обратите внимание на опечатку - не $\frac{1}{a}$, а $\frac{1}{2}$

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193360 писал(а):

$r^{6}\sin^{6}\Theta=a^{2}(r^{4}\sin^{4}\Theta-r^{4}\cos^{4}\Theta) \Rightarrow r=\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}$

И тут со знаменателем проблема, вы же корень из синуса 6-й степени берете.
По-вашему выходит $\sqrt{x^6}=x^4$, а?

[Otta]

XpucToc
Вы откуда это все списываете? ) Столько наврать в промежуточных выкладках и получить верное окончательное выражение.

XpucToc в сообщении #1193368 писал(а):

Пока это всё писал, родился такой алгоритм:
$\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2}\Theta}-\frac{\ctg^{2}\Theta}{\sin^{2}\Theta}$
это хороший путь?

Хороший. Пользуйтесь. А все, что до этого - исправьте.
(Идейно хороший )))

[SomePupil]

XpucToc в сообщении #1193360 писал(а):

$r^{6}\sin^{6}\Theta=a^{2}(r^{4}\sin^{4}\Theta-r^{4}\cos^{4}\Theta) \Rightarrow r=\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}$

Вот тут у Вас опечатка.

XpucToc в сообщении #1193360 писал(а):

$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{4}\Theta}}rdr =\frac{1}{a}\frac{a^{2}(\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta)}{\sin^{6}\Theta}$

И вот тут тоже.

И в результате Вы, как ни странно, получили правильное выражение.

XpucToc в сообщении #1193368 писал(а):

Пока это всё писал, родился такой алгоритм:
$\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta} \Rightarrow \frac{1}{\sin^{2}\Theta}-\frac{\ctg^{2}\Theta}{\sin^{2}\Theta}$
это хороший путь?

Очень, очень хороший путь. Только у Вас опять опечатка. Вам нужно где-то сделать еще одну опечатку, чтобы у Вас все получилось :)

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193371 писал(а):

а в знаменателе прибавляем к 4-ой степени двойку. Разве не так?

Не-е-е-ет, не так )) $a^xa^y=a^{x+y}$, но $(a^x)^y=a^{xy}$
а корень квадратный это $\sqrt{a}=a^{1/2}$

[XpucToc]

Otta в сообщении #1193373 писал(а):

Вы откуда это все списываете? )

Обижаете. Могу листы с решением сфотографировать.

SomePupil в сообщении #1193374 писал(а):

Вам нужно где-то сделать вторую опечатку, чтобы у Вас все получилось :)

Перепишу всё заново и попробую прорешать снова :)
О результатах - отпишусь.

-- 17.02.2017, 16:45 --

wrest в сообщении #1193375 писал(а):

$a^xa^y=a^{x+y}$, но $(a^x)^y=a^{xy}$

А вот за это реально стыдно, как можно было так опростоволоситься

[Otta]

XpucToc в сообщении #1193376 писал(а):

Обижаете. Могу листы с решением сфотографировать.

Не. Листы смягчающим обстоятельством не являются.

[XpucToc]

$r=\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta}$

Внутренний интеграл: $\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta}}rdr=\frac{r^{2}}{2}\begin{pmatrix} \left (\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta} \right ) ^{^{2}}-0^{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\frac{a^{2}(\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta)}{\sin^{6}\Theta}$
Нормально?

[Someone]

XpucToc в сообщении #1193382 писал(а):

$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta}}rdr=\frac{r^{2}}{2}\begin{pmatrix} \left (\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta} \right ) ^{^{2}}-0^{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\frac{a^{2}(\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta)}{\sin^{6}\Theta}$
Нормально?

Вот то, что написано посередине между двумя знаками равенства — совсем не нормально.

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193384 писал(а):

Вот то, что написано посередине между двумя знаками равенства — совсем не нормально.

Я не стал расписывать подробно процесс подстановки значений и выражения r. Поправил:
$\int_{0}^{\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta}}rdr=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \left (\frac{a\sqrt{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}}{\sin^{3}\Theta} \right ) ^{^{2}}-0^{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\frac{a^{2}(\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta)}{\sin^{6}\Theta}$

Ну а это внешний интеграл:
$\frac{2a^{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta}=a^{2}\left ( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{\sin^{2}\Theta} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\cot^{4}\Theta}{\sin^{2}\Theta}\right )$