Веревка на столе

[OlegCh]

Наткнулся на такую задачку.
На гладком горизонтальном столе вертикально закреплен гладкий штырь.
Вокруг этого штыря на пол-оборота обернули однородную нерастяжимую тонкую веревку длиной $L$ и массой $m$. Радиус штыря много меньше длины веревки. Веревку тянут за концы с силой $\vec{F}$:

(вид сверху)


Пока все в равновесии. Потом левый конец веревки отпускают, а правый продолжают тянуть с той же силой.
Вопрос. Через какое время длина касания веревкой штыря изменится?
Ну если бы свободно лежащую в таком положении веревку просто потянули с силой $\vec{F}$ за правый конец, то тут все понятно - длина касания начнет меняться, когда левый конец доползет до штыря и веревка начнет со штыря соскальзывать. Тут у нас обычное равноускоренное движение тела массы $m$ под действием силы $F$, и время доползания левого конца веревки до штыря будет $\sqrt{\frac{mL}{F}}$.
Но вот когда веревку предварительно натягивают, а потом один конец отпускают - тут что-то у меня затык...
Ответ в задаче: $\sqrt{\frac{mL}{3F}}$.
Откуда берется эта тройка??

[Umka2000]

OlegCh в сообщении #1193313 писал(а):

Тут у нас обычное равноускоренное движение тела

Если бы мы $\vec{F}$ устремили к нулю, т.е. еле дотронулись до конца верёвки, чтобы убрать равновесие, то время соскальзывания стремилось бы к бесконечности? Или верёвка за счёт уже собственного веса начала движение?

[OlegCh]

Umka2000 в сообщении #1193341 писал(а):

Или верёвка за счёт уже собственного веса начала движение?

Какого веса? Веревка на столе лежит.

[wrest]

Да, странно. Поскольку веревка нерастяжимая, то никакой внутренней энергии она не запасает.
Ну то есть, скажем, если один конец закрепить, а ко второму приложить силу, а потом эту силу снять, ничего с веревкой не произойдет, никакого движения не будет. В этой задаче как мне кажется, вторую силу также можно заменить на закрепление конца, а отмену второй силы -- пережиганием (отрезанием) этого конца в месте крепления.

Мне тоже кажется, что раз движения не было, а веревка нерастяжимая, то какие и куда были приложены силы в состоянии покоя (т.е. до начала движения) -- не важно.

[Erleker]

OlegCh в сообщении #1193313 писал(а):

длина касания веревкой штыря изменится?

Суть в том, что нужно учесть, что конец будет еще вращательным движением "уходить" в бок...

[OlegCh]

Вот как выглядело условие (и ответ) в оригинале:

[wrest]

Erleker в сообщении #1193346 писал(а):

Суть в том, что нужно учесть, что конец будет еще вращательным движением "уходить" в бок...

Опыт показывает что не уходит: https://www.youtube.com/watch?v=u-pupb18l-U

[Umka2000]

(Оффтоп)

пытался всех запутать

[Erleker]

Да вроде несложная задача.
Рассмотрим малый элемент на краю, который касается.Размер элемента $\triangle x$.
К центру действуют проекции силы натяжения:
$T\triangle x/r$
Пока он все еще не оторвался:
$T\triangle x/r=N+\triangle m v^2/r$
В момент отрыва реакция колонны $N=0$ и :
$T\triangle x/r=(\triangle x/L)m v^2/r$
$mv^2=TL$ ($v=at$)
Сила натяжения в том месте :
$T=F-m_{0}a$, где $m_{0}$ - масса веревки по другую сторону от этой точки.
Найдем ее:
$T=F-\frac{L/2+at^2/2+\pi r}{L} ma$ ($a=F/m$)
Получим в итоге :
$3(F/m)t^2=L-2\pi r$
Пренебрегая радиусом:
$t=\sqrt{mL/(3F)}$

[OlegCh]

Erleker, спасибо, изучу.

[Erleker]

(Оффтоп)

Завтра эта олимпиада :-)

-- 17.02.2017, 09:47 --

wrest в сообщении #1193357 писал(а):

Erleker в сообщении #1193346 писал(а):

Суть в том, что нужно учесть, что конец будет еще вращательным движением "уходить" в бок...

Опыт показывает что не уходит: https://www.youtube.com/watch?v=u-pupb18l-U

Так там же крепления.

[OlegCh]

(Оффтоп)

Erleker в сообщении #1193403 писал(а):

Завтра эта олимпиада

Да, сын собирается, прорешивает старые задачи. Меня вот запряг, а я тоже не блеснул :)
Короче, нельзя было сразу пренебрегать радиусом, я так понимаю. Тут вся соль в движении по окружности.
А вот начальное натяжение веревки,насколько я понимаю, никакой роли не играет. Можно было сразу тянуть за один конец и результат будет такой же, верно?

[Xey]

Веревка должна отходить от штыря ( в других задачах от гвоздя) за счет, говоря по-простому, "центробежной" силы .
Аналогичный эффект должен ограничивать и скорость ременных передач. Но в технической энциклопедии я не нашел описания этого. Встретил только такое пояснение.

Цитата:

Ременный привод может обеспечивать частоту вращения шпинделя 100 об/с и выше, когда окружные скорости ремня доходят до 60—100 м/с. Однако для привода еще более скоростных шпинделей (например, внутришлифовальных станков) ременная передача уже не может обеспечить передачу требуемых нагрузок, так как под ремнем создается воздушный мешок и возможна его неустойчивая работа.

[Erleker]

OlegCh в сообщении #1193411 писал(а):

Тут вся соль в движении по окружности

Да.Силы натяжения в некоторый момент перестает хватать, чтоб "удержать" крайний элемент на окружности и он отрывается.

OlegCh в сообщении #1193411 писал(а):

А вот начальное натяжение веревки,насколько я понимаю, никакой роли не играет. Можно было сразу тянуть за один конец и результат будет такой же, верно?

Да.Это, вероятно, для наглядности(чтобы легче представить, что будет при "резком" рывке).

[OlegCh]

(Оффтоп)

Xey в сообщении #1193414 писал(а):

так как под ремнем создается воздушный мешок

Ну вот, это же совсем другое дело! А я-то голову ломал...