Вычитание целых чисел

[AV_77]

maximav в сообщении #1190514 писал(а):

можно стартануть просто с натуральных чисел, наделенных сложением $+$. Имеем (абстрактную) полугруппу. Здесь мои описания про единички не существенны. Теперь я интересуюсь, как поаккуратнее из этой полугруппы сделать группу

В принципе, это стандартная процедура факторизации.
Рассмотрим множество пар $\mathbb{N}^2 = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \}$. Введем на множестве пар отношение $\sim$ правилом $(a, b) \sim (c, d)$ тогда и только тогда, когда $a + d = c + b$. Это отношение является отношением эквивалентности, пусть $[a, b]$ - класс эквивалентности, содержащий пару $(a, b)$. На фактормножестве $\mathbb{N}^2 / \sim$, которое можно обозначить через $\mathbb{Z}$, определим операцию сложения правилом $[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]$. Тогда класс $[a, a]$ является нулевым элементом $\mathbb{Z}$, а класс $[b, a]$ - противоположным к классу $[a, b]$. В результате $\mathbb{Z}$ будет группой.

[Someone]

maximav в сообщении #1190841 писал(а):

старой операции сложения нет.
И задачи переделать старую в новую изоморфную тоже нет
У меня нет (еще) модели
"непересекающихся единиц"
Возможно или не возможно сложение через объединение?
... или это чушь?

Ещё раз: читайте учебник. Там нет никакой "старой операции", никто ничего не "переделывает" и т.п. Натуральный ряд строится "с нуля".
Кольцо целых чисел строится из натурального ряда стандартным способом, который здесь уже описывали.
Не хотите — дело ваше.

[Karan]

maximav, arseniiv, замечание за личные выпады

-- 09.02.2017, 11:37 --

maximav, опишите подробнее ограничения на модели арифметики, которые у Вас присутствуют. Непонятно, почему Вам не подходят классические конструкции.

Модель арифметики, в которой сложение интерпретируется объединением множеств, невозможна по причине идемпотентности объединения. Но я не уверен, что понял Вашу задачу правильно, и скорее всего это не то, что Вам нужно.

[maximav]

Karan в сообщении #1191081 писал(а):

Но я не уверен, что понял Вашу задачу правильно

Так в том то и дело, что если не понятно, есть кнопки вопроса на клавиатуре. Эти люди их не употребляют (просканируйте посты), а я предпочитаю спрашивать, читать и просвещаться. Поскольку мы кардинально отличаемся по взгляду на математику, и из-за повторения ситуации, пришлось разрулить самому. Все нормально, повода для беспокойства нет, просто предупредил повторение и аналог

maximav в сообщении #1086837 писал(а):

Ну прямо весело...

Частично, ответы на ваши вопросы ниже; физика мне не дает.

AV_77 в сообщении #1190875 писал(а):

В принципе, это стандартная процедура факторизации. Рассмотрим множество пар

Что мне здесь понравилось, как ни странно, - это что вы сходу строите конструкцию на другом множестве. Физическая интуиция мне подсказывала, что должно быть скорее всего так. Именно поэтому меня не устраивал формальный предикат с решением уравнения $a+x=b$ и я инстинктивно дергался куда-то в стороны. Это не коротко пояснить, но если прописывать мои мотивировки из

maximav в сообщении #1190754 писал(а):

КТП/КМ и, отчасти квантовый компьютинг.

на статансамблях, то непонятным станет просто все с кучей сторонних вопросов. Поэтому я и упомянул, что формулировки намеренно выхолощены/упрощены. Физика мне много что запрещала и я особенно отмечал, что "это нельзя", "этого нет" и т.д. (к несчастию физиков, физика первичней математики и это трудно понять математикам ). Ваша подсказка много что прояснила. Так что она очень хороша. Я точно помню, что где-то в "натуральной аксиоматике" встречал вашу конструкцию $a+d=b+c$ (ее природа и симметричность мне понятна). Вы не могли бы подсказать, где написано... поподробнее? Кстати, а что на счет других моделей того же? Еще, извиняюсь за повторный запрос, может у вас найдутся соображения по поводу моего вопроса-2 (стекловка не помогла). Физические подоплеки здесь очень родственны. Как жаль, что профессор Снейп ...

Karan в сообщении #1191081 писал(а):

Модель арифметики, в которой сложение интерпретируется объединением множеств, невозможна по причине идемпотентности объединения.

Это правильная мысль (но у меня не "тупо" объединение), но мне пока надо помозговать над своими стат-тараканами, так как конструкция полугруппа $\to$ группа от AV_77 мне уже многое прояснила.

[knizhnik]

maximav в сообщении #1190754 писал(а):

Про вашу операцию $\omega$ я не понял.

Значит, стоит прочитать еще раз, разобраться и понять. Я за вас это не пойму
С какого места начинаются трудности?

maximav в сообщении #1191192 писал(а):

физика первичней математики и это трудно понять математикам

Что для вас есть физика? И каким образом в естественных науках можно вообще использовать ZFC? Это как-то нереально.

[arseniiv]

(knizhnik)

Да какой тут ответ можно вообще ждать. Ставить физику впереди математики — это ставить телегу впереди лошади, с той только разницей, что телега всё-таки может сдвинуться. Конечно, человеческий мозг и мысли в нём — это физическая система, но для описания этой системы физика не может использовать что-то кроме математики. Просто некоторые любят смешивать все инструменты в одну кучу и забивать гвозди микроскопом. Ну и ладно, если без пропаганды, а микроскоп и гвозди свои.

[maximav]

Имея построение AV_77, я разобрал еще раз вашу схему и она мне стала ясной. Но у него природа объектов физически как раз подходяща: однородные пары. Ясно, что одно другому изоморфно, но для физики (не только моей) это не одно и тоже. Вопрос про физику слишком философичен, хотя я и не ругаю его. Но ответ прост: в физике числа - это кол-во штук. Прямо вот так, как ни странно. Но "штуки" могут быть устроены сложно. Особенно в стат или квантовой статфизике. Что там и как - с этим у меня нет вопросов. С физикой все в порядке. С числами начинает проясняться. Не с числами в математике, а с числами в моей физике.

[knizhnik]

maximav в сообщении #1191270 писал(а):

Но ответ прост: в физике числа - это кол-во штук. Прямо вот так, как ни странно.

Я не физик, но мне это нравится все меньше. Строго говоря, мне это вообще не нравится.

maximav в сообщении #1191270 писал(а):

С числами начинает проясняться. Не с числами в математике, а с числами в моей физике.

Особенно фраза:

maximav в сообщении #1191270 писал(а):

в моей физике

[maximav]

Физики здесь не будет. С ней разберемся сами, проблем нет и тема потока не про это. Можно завести конечно, но развернутая просвещенческая деятельность не входит в мои планы здесь. Разумеется, меня следовало бы поругать за это, но я занимаюсь написанием научных статей, а на просвещение времени и сил не хватает. Впрочем, я как-то сделал попытку с тензором, но на написание хорошего и доступного тоже нужна энергия. Может как-нибудь и сделаю еще пользу.

-- 09.02.2017, 23:05 --

Про "мою физику" любой физик (например, на семинарах) воспринимает как совершеннейшую самоочевидность: та физическая модель-задача, которую я/ты/он/она рассматривает. Спросите любого физика здесь на форуме. Тоже самое скажет, что про числа, что про "моя".