Решеточные полиномы и их (физические/логические) смыслы

[maximav]

Рассмотрим решетки $L$ и их аксиомы. Их стандартный вывод через свойства упорядочения и Sup/Inf дает соотношения (идемпотентность и т.д.), которые назовем решеточными полиномами. Это полиномы по двум буквам (элементам решетки-алгебры) с операциями $\wedge$ и $\vee$. Если смотреть на них через призму моделей, то они осмысленны как формализации привычной логики рассуждений; например, алгебры множеств. Дальше начинаются "искуственные внедрения и дополнения" типа дистрибутивностей, модулярностей, дополнений, ортодополнений и их вариаций. Я их не перечисляю здесь. Это равенства и неравенства. Часть из них вроде естественна с точки зрения логики физики или рассуждений (дистрибутивность, скажем). Тем не менее здесь остаются вопросы о (физической, рассуждательной) осмысленности этих добавочных свойств. В качестве первого примера вполне иметь в виду дистрибутивность. Но вот упомянутые выше вариации такого рода доп аксиом фигурируют, насколько мне известно, исключительно как формальные аксиомы либо превращение в аксиомы известных примеров моделей (группы, линейные пространства и т.д.). Ясно, что подобных решеточных полиномов можно нагородить до бесконечности, просто констатируя их как факт. Но возьмем, к примеру, простейшие варианты, которые "недалеко" уходят от первоначальных решеточных полиномов идемпотентности, поглощения и т.п. Они вовлекают операции над двумя буквами $a,b$. Спрашивается (изучались ли, перебирались ли), все такие случаи по критерию минимальности и простоты? Чтобы уточнить эти термины, отмечу приблизительно так. Берем 2-буквенные полиномы и перечисляем их по принципу нарастания "степеней" букв. Потом берем, скажем полиномы по буквам $(a,b,a',b')$, трем буквам и т.п., продолжая процесс. Смысл такого взгляда в том, что не ясен (по крайней мере мне) критерий по которому ограничиваются рассмотрением (вводят) известных дистрибутивных, модулярных, оротомодулярных и просто орто решеток. Нечто вроде "принципов наименьшего действия" из которых перечисленные "логики" выводятся "естественным" образом. Еще раз, подгон под известные мат модели совершенно разумен, но это не единственный взгляд на такие конструкции; типично они рассматриваются скорее как более основополагающие источники моделей, а не наоборот! Например, свойство существования элемента $x \in L$ в в решетке с ортодополнением $^\bot$, так что при $a<b$ имеем $x<a^\bot$ и $x\vee a =b$ может называться логикой. Возможны и другие версии. Какие структурно классификационные результаты здесь имеют место быть? Как вообще смотреть на такую проблему? То есть проблему расширения стандартной общей решетки, как расширения логик?

PS. Гретцер, Биркгоф и др. ничего пока мне не дали в этом контексте. У Биркгофа даже есть формулировки родственных вопросов как проблем. Важна идеология, описанная именно выше. Не постулативно "формалистская", а "мотивировочно выводная". Чтобы не вдаваться в обзоры, я не привожу более глубокие мотивы. Надеюсь этого пока достаточно.

PSS. Кстати, насколько я понимаю, знаки $<$ можно полностью (!) изгнать из формулировок и рассуждений (в том числе и о мотивировках!). Но для рассуждений это все-таки труднее и наверно делать не стоит... ?