Типичные ученические ошибки

[Metford]

EUgeneUS в сообщении #1190829 писал(а):

Вспоминая свой давнишний опыт (обучения и даже преподавания школьникам), это легко лечится.

Пример красивый, да. Правда, нет уверенности, что он прямо так возьмёт и сразу всех "исцелит"...

Мне вот вспомнился ещё один тип задач, потоньше (всё-таки сила трения - это Клондайк для нашего брата - преподавателя). Рассматривается движение автомобиля в гору и ставится вопрос о законе движения ведущего и ведомого колеса (проскальзывания нет). Причём такая задача встречается в довольно старых книгах, а в более новых - уже нет.

И ещё в связи с затухающими колебаниями есть распространённая ошибка. Есть осциллятор, причём сила сопротивления пропорциональна скорости. Просим нарисовать график зависимости $x(t)$ и уточняем, как меняется расстояние между нулями этой функции с течением времени - узнаём много нового.

[EUgeneUS]

Metford в сообщении #1190901 писал(а):

Рассматривается движение автомобиля в гору и ставится вопрос о законе движения ведущего и ведомого колеса (проскальзывания нет).

относительно недавно на практике столкнулся с подобной задачей. Примерно так: на перевале Кутыерык заднеприводные автомобили преодолевают подъем на пределе возможностей. Вопрос: сколько человек нужно посадить на капот переднеприводного автомобиля, чтобы не вызывать трактор?

[Munin]

Metford в сообщении #1190901 писал(а):

И ещё в связи с затухающими колебаниями есть распространённая ошибка. Есть осциллятор, причём сила сопротивления пропорциональна скорости. Просим нарисовать график зависимости $x(t)$ и уточняем, как меняется расстояние между нулями этой функции с течением времени - узнаём много нового.

Я в панике. А они разве не совпадают с нулями незатухающих колебаний?

[Metford]

Munin в сообщении #1190926 писал(а):

А они разве не совпадают с нулями незатухающих колебаний?

Ну как совпадают - по крайней мере, все друг от друг на одинаковом расстоянии должны находиться. Всё-таки за нули отвечает тригонометрическая функция. Но уж так, видимо, руки у человека устроены, что если он их не контролирует, то на графике нули становятся всё ближе и ближе друг к другу с каждым периодом.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1190926 писал(а):

Я в панике. А они разве не совпадают с нулями незатухающих колебаний?

Эм. Ну есть же заклинание $\omega = \sqrt {\omega_0^2 - \gamma^2}$. Стало быть, не совпадают, период чуть больше (но со временем он не меняется, да).

[Munin]

Metford в сообщении #1190939 писал(а):

Но уж так, видимо, руки у человека устроены, что если он их не контролирует, то на графике нули становятся всё ближе и ближе друг к другу с каждым периодом.

А! Кстати, очень забавно рядом разобрать задачу с подскоками мячика, теряющего при каждом соударении равную долю энергии.

Anton_Peplov
Спасибо за уточнение! Вы правы, безусловно!

[Dmitriy40]

Наверное это достойно упоминания здесь:

Mikhail_K в сообщении #1191119 писал(а):

Doctor в сообщении #1191103 писал(а):

$|x|=x$
$|-x|=x$

Это очень распространённая ошибка, когда так пишут.

[bot]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1189890 писал(а):

Вот я, например, $e \approx 2.7$ и так знаю, а вот следующие 8 десятичных цифр помню только благодаря Льву Николаевичу

А я, наоборот, благодаря $e$ знаю год рождения Льва Николаевича.
Если точнее, то услышал впервые про $e$ в связке со Львом Николаевичем. Благодаря этой связке, запомнил и то и другое.

Ошибки при исследовании на экстремум особенно условного - это целый пласт.
Критические точки найдены, наступает очередь второго дифференциала ...
Ничего, кроме $A,B,C$ или Сильвестра, у большинства в багажнике нет.
Наибольшее и наименьшее значения на компакте - отдельная песня. Здесь опять непременно $A,B,C$ или Сильвестр.

Upd. Вот, скажем, такая (стерилизованная) задача на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на компакте. Найти оные для функции $x^2-y^2$ при условии $x^2+y^2\leqslant 1$.
Решение. Критическая точка одна. В ней искомых значений нет, так как дискриминант $AC-B^2<0.$ На границе тоже нет, патамушта там дискриминант тоже отрицательный.
Кто-то на этом месте в ступор впадает, а кого и это не смущает. На провокационный вопрос (выходит, что наибольшего и наименьшего значения нет?) бодро подтверждает: да, нет.

[Munin]

bot
Как же это? Эту функцию же руками нарисовать можно.

[bot]

Чтобы дать такую задачу в чистом виде - это ж какую наглость иметь надо?. Это просто стерилизованная калька.

[Munin]

А, то есть, в оригинале она звучит более запутанно?

[bot]

Ну запутанно - слишком громко звучит. Мали что ли функций (не обязательно квадратичных) у которых второй дифференциал знакопеременная форма в критических точках внутри компакта и на границе тоже, если без учёта уравнений связи. Вот если очистить задачу от этих чисто технических деталей, то канонически выйдет функция $x^2-y^2$, а компакт $x^2+y^2\leqslant 1.$

PS. Как написал очистить, так нужное слово и подвернулось - рафинировать, а я стерилизовал ... хм, наверно потому, что такие ошибки с клиникой граничат.