Теория вероятностей: ребро монетки

[Shtorm]

Тема, уже набившая оскомину, но я в последнее время стал сомневаться: а правильно ли я студентам толкую? Или насколько процентов правильно?
Итак, не проходит ни одного учебного года, чтобы кто-то из студентов на первых занятиях по Теории вероятностей (ТВ) не спросил: "....а если монетка на ребро встанет? Я кидал, у меня несколько раз вставала на ребро!"
Мой стандартный ответ:
Мы в данном случае рассматриваем "идеальную монету" или "абстрактную монету" - то есть объект, у которого всего две стороны: орёл и решка. Выпадение орла и решки - равновозможно, и никакого ребра просто нет.
И потом продолжаю: Если же рассматривать реальную монету и попытаться учесть вероятность того, что монета встанет на ребро, то задача становится сложной. Во-первых, что считать событием "монета встала на ребро"? Если монета встала на ребро, покатилась сантиметров пять - а потом упала, то это как расценивать? Встала на ребро или нет? А если всего полсантиметра? Или же только учитывать те случаи, когда монета встала и не упала? Если оценивать событие: встала и не падает, то здесь начинают действовать множество случайных факторов, которые для реальной монеты и реального броска просто все не учесть и невозможно рассчитать такую вероятность.
Далее третий блок рассуждений:
Если уж нам так надо учесть ребро монеты, то надо рассмотреть идеально ровный пол без стен, покрытый вязкой липкой массой (например пластилином). Соответственно, если монета приземляется ребром - то застревает в этой липкой массе - и мы считаем, что она встала на ребро. Тут надо ввести диапазон углов наклона монеты к плоскости пола, при которых будем считать, что монета встала на ребро: например от 80 градусов до 90 градусов. Если меньше 80 градусов, то будем считать, что упала орлом или решкой - в зависимости куда склонилась.
И наконец последний блок рассуждений:
Гораздо более продуктивнее оценивать вероятности падения цилиндрика, чтобы более менее равновероятно было выпадения оснований цилиндра и боковой поверхности.

И вот у меня вопрос к участникам форума: для равновероятного выпадения, нужно сделать чтобы площадь боковой поверхности была равна площади основания? Или чтобы площадь вертикального сечения цилиндра (в сечении прямоугольник) была равна площади основания цилиндра?
Итак вопрос: насколько верно я излагаю студентам это дело? И как бы Вы на моём месте поступили? Или как поступаете на моём месте?

[Ether]

Shtorm в сообщении #1188427 писал(а):

И вот у меня вопрос к участникам форума: для равновероятного выпадения, нужно сделать чтобы площадь боковой поверхности была равна площади основания? Или чтобы площадь вертикального сечения цилиндра (в сечении прямоугольник) была равна площади основания цилиндра?

Как мне кажется, для правильной двугранной монеты вероятность выпадения грани не будет зависеть от области изменения внешних условий при достаточной величине этой области.
Равновероятность выпадения граней толстой "трехгранной" монеты будет зависеть не только от её толщины, но и от внешних условий. Т.е. при изменении области внешних условий вероятность выпадения круглой грани и ребра для одной и той же "толстой" монеты может различаться, при том, что вероятность выпадения одной круглой грани будет равна вероятности выпадения другой круглой грани.

[arseniiv]

Shtorm
Вот ещё один ответ можно добавить насчёт реальной монеты: пусть даже мы решили, как точно определить, что значит «встала на ребро» (а также «зависла в воздухе», «раздвоилась», «превратилась в горшок с петунией» и т. д.), а ещё лучше — точно определили себе, что значит, что она приземлилась на одну или вторую сторону, ведь это-то нам и надо. Тогда мы можем рассматривать только случаи, когда она приземлилась на одну из этих сторон, а когда встала на ребро — перекидывать. Тут вот как раз сегодня в другой теме поминали то, что условная вероятность — это обычная вероятность в «усечённом» вероятностном пространстве, и — не важно, какое у нас там было пространство, моделирующее капризную монету с выкрутасами — мы всегда сможем себе откусить от него пространство, моделирующее хорошую, приземляющуюся только двумя способами.

Про вероятность выпадения ребром в липком случае: даже если монета застревает накрепко и ничуть не наклоняется, всё ещё более-менее просто и зависит от того, считаем ли мы равномерно распределённой на сфере нормаль к монете или, скажем, угол между ней и горизонтом, и после этого ещё считать и считать. Почему вы решили, что достаточно сравнить площади?

[levtsn]

Возьмите монету, срецисходами которой можно пренебречь. Анализировать специсходы это чушь.

[Ether]

levtsn в сообщении #1188448 писал(а):

Возьмите монету, срецисходами которой можно пренебречь. Анализировать специсходы это чушь.

Ну, для достаточно толстой монеты или цилиндра количество специсходов может быть достаточно существенным, и может быть хочется рассмотреть именно такую монету или цилиндр. С точки зрения теории и обоснования моделей это может быть интересным. Почему нет?

(Оффтоп)

Предлагаю следующую метаморфозу: Вместо круглой монеты взять квадратную, с толщиной, равной стороне грани )))

[Brukvalub]

Ether в сообщении #1188451 писал(а):

С точки зрения теории и обоснования моделей это может быть интересным. Почему нет?

Да, в 15 лет мне тоже хотелось спорить о чем угодно о монетах, вставших на ребро и о числе ангелов, умещающемся на конце портновской иглы. Это казалось так важно, что аж тапки слетали от горячки спора!

[Ether]

Brukvalub в сообщении #1188454 писал(а):

Да, в 15 лет мне тоже хотелось спорить о чем угодно о монетах, вставших на ребро и о числе ангелов, умещающемся на конце портновской иглы. Это казалось так важно, что аж тапки слетали от горячки спора!

Например необходимо построить физическую модель падения монеты, максимально приближенную к реальности. Для этого рассчитанные по физической модели вероятности должны будут соответствовать экспериментальным.
Задача непростая, но вполне может иметь место быть.

[Shtorm]

Большое спасибо всем за ответы.

arseniiv в сообщении #1188444 писал(а):

...а когда встала на ребро — перекидывать

Хорошо, возьму на заметку. Честно говоря, мне такое даже в голову не приходило! Обязательно запомню это дело. И если уж разгорится глубокая дискуссия со студентами - обязательно применю.

arseniiv в сообщении #1188444 писал(а):

Почему вы решили, что достаточно сравнить площади?

Я рассуждал с точки зрения "липкого пола" и подобия геометрической вероятности. Да, а вот сейчас вижу, что с точки зрения липкого пола как раз площадь и не будет играть роль. Может с точки зрения большей устойчивости?

Ether в сообщении #1188442 писал(а):

Как мне кажется, для правильной двугранной монеты вероятность выпадения грани не будет зависеть от области изменения внешних условий при достаточной величине этой области

Погодите, что значит правильная двугранная монета? Это монета, у которой всего две стороны? А тогда причём же здесь вероятность выпадения грани?

levtsn в сообщении #1188448 писал(а):

Возьмите монету, срецисходами которой можно пренебречь. Анализировать специсходы это чушь.

Хорошо. Забудем про монету. Подбрасываем цилиндрик. Как здесь быть?

-- Пн янв 30, 2017 02:53:33 --

Ether в сообщении #1188451 писал(а):

С точки зрения теории и обоснования моделей это может быть интересным.

Поддерживаю!

-- Пн янв 30, 2017 02:56:25 --

Ether в сообщении #1188451 писал(а):

Предлагаю следующую метаморфозу: Вместо круглой монеты взять квадратную, с толщиной, равной стороне грани )))

Ну так это будет уже кубик - хорошо известный в ТВ как игральная кость.

[Brukvalub]

Ether в сообщении #1188456 писал(а):

Например необходимо построить физическую модель падения монеты, максимально приближенную к реальности. Для этого рассчитанные по физической модели вероятности должны будут соответствовать экспериментальным.
Задача непростая, но вполне может иметь место быть.

А потом построить физическую модель падения штанов, когда перед сном их снимают и бросают на пол, а потом построить физическую модель падения колбасной шкурки в мусорный бак, а потом.., а потом мамка надерет уши за двойку в дневнике, поскольку построенные модели злая училка не зачтет вместо графиков квадратных трехчленов

[Shtorm]

Brukvalub в сообщении #1188454 писал(а):

Да, в 15 лет мне тоже хотелось спорить о чем угодно о монетах, вставших на ребро и о числе ангелов, умещающемся на конце портновской иглы. Это казалось так важно, что аж тапки слетали от горячки спора!

А вот Вы представьте, что современные 18-20-летние студенты - это 15-летний Вы. Как я слышал от своих коллег на кафедре недавно: "современное поколение очень инфантильное по сравнению с нами когда мы были..." Не знаю, на сколько это верно. Тем не менее, жаркую дискуссию по поводу ребра монетки они мне устраивают. Да и студенты-заочники, которым за 30 лет довольно часто с детским азартом задают мне вопрос про ребро монетки на лекции.

-- Пн янв 30, 2017 03:02:59 --

Ether в сообщении #1188456 писал(а):

Например необходимо построить физическую модель падения монеты, максимально приближенную к реальности. Для этого рассчитанные по физической модели вероятности должны будут соответствовать экспериментальным.
Задача непростая, но вполне может иметь место быть.

Согласен.

[Ether]

Shtorm в сообщении #1188459 писал(а):

Погодите, что значит правильная двугранная монета? Это монета, у которой всего две стороны? А тогда причём же здесь вероятность выпадения грани?

Это идеальный симметричный случай, при котором существует равновероятность выпадения граней независимо от области в которой изменяются случайным образом внешние условия, при её достаточной величине. Можно рассматривать его как монету с ребром нулевой толщины.


При появлении асимметрии в геометрии монеты равновероятность выпадения граней будет уже зависеть не только от геометрии монеты, но и от области в которой изменяются внешние условия.

[Shtorm]

Ether в сообщении #1188463 писал(а):

Это идеальный симметричный случай, при котором существует равновероятность выпадения граней независимо от области в которой изменяются случайным образом внешние условия, при её достаточной величине.

Прошу прощения. Это я по ошибке слово "грани" прочитал как "ребра". Надо спать уже ложиться, раз такие ляпы пошли...

[g______d]

Вроде говорят, что 1 к 6000

http://journals.aps.org/pre/abstract/10 ... vE.48.2547

Конечно, зависит от монеты.

[Александрович]

Shtorm в сообщении #1188459 писал(а):

Хорошо. Забудем про монету. Подбрасываем цилиндрик. Как здесь быть?

В зависимости от соотношения высоты к диаметру можно варьировать вероятностью выпадения ребра от 0 до 1.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1188459 писал(а):

Да, а вот сейчас вижу, что с точки зрения липкого пола как раз площадь и не будет играть роль. Может с точки зрения большей устойчивости?

Если рассматривать более-менее реальные условия даже без скольжения монеты по столу, боюсь, раздуется весьма нехилая физическая задача. Хотя, в принципе, центр масс цилиндра совпадает с геометрическим, и потому одну только устойчивость рассмотреть вполне реально. На какую поверхность монеты он проектируется отвесной прямой, ту можно считать выбранной. Это если монета ставится в таком положении на пол неподвижно. Если же у неё ненулевая скорость, о-о…