Математический маятник и затухание колебаний.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1188352 писал(а):

Вот здесь можно поподробнее: Что Вы понимаете под словом "выразить"? Типа, после интегрирования левой и правой части диффура есть уравнение:

$$\int g\left [\alpha(t)\right ]d\alpha=t+C$$

где $\alpha(t)$ - угол отклонения маятника в зависимости от времени, $t$ - время, $C$ - константа интегрирования. Причём в левой части вышенаписанного уравнения стоит интеграл, который не берётся в элементарных функциях, но сводится после преобразований к эллиптическому интегралу 1-го рода. Теперь, чтобы выразить из под эллиптического интеграла $\alpha(t)$ мы используем обратную функцию по отношению к эллиптическому интегралу 1-го рода и получаем эллиптическую функцию Якоби или синус Якоби. Таким образом уравнение преобразуется так: слева стоит $\alpha(t)$, а справа синус Якоби, в аргументе которого время и другие параметры.
Именно это Вы понимаете под словом "выразить"????

Я просто имел в виду некоторую композицию функций из выбранного класса. Мне показалось, вы через какое-то время стали говорить в общем, а не про одну конкретную задачу с маятником.

-- Вс янв 29, 2017 23:32:54 --

Короче, я лучше не буду ничего отвечать, потому что постоянно читаю слова Shtorm, как оказывается, неправильно.

[Shtorm]

Metford в сообщении #1188370 писал(а):

Вот посмотрите, как выглядит пример численного решения
(справа - в логарифмическом масштабе). В текст, извините, не вставилось.
Но тут есть небольшое уточнение, которое я чуть позже сделаю.

Спасибо за картинки! Это численное решение дифференциального уравнения:

$$\ddot{\alpha}+2\beta\dot{\alpha}+\omega^2\sin\alpha=0$$

где $\alpha$ угол отклонения маятника?

[Metford]

Оно самое. Да, уравнение нужно было выписать, конечно, спасибо. Я просто взял конкретные числовые значения параметров, чтобы картинка достаточно наглядная вышла.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1188377 писал(а):

Короче, я лучше не буду ничего отвечать, потому что постоянно читаю слова Shtorm, как оказывается, неправильно.

Да ладно Вам. Разобрались же.

arseniiv в сообщении #1188377 писал(а):

Мне показалось, вы через какое-то время стали говорить в общем, а не про одну конкретную задачу с маятником.

Да, был такой момент, когда я там написал дифференциальное уравнение с $y$-ом в знаменателе. Да, есть тут и моя вина. Ну я ещё раз свою мысль протолкну: что ведь главное в диффуре 1-го порядка при аналитическом точном решении? Это получить уравнение с разделёнными переменными - то есть разрешить уравнение в квадратурах. После этого стоит другая задача: вычислить неопределённый интеграл. Итак, одно дело - если интеграл берётся в элементарных функциях, а другое - не берётся. Это важно для решения студенческих задач примитивного уровня. Но здесь-то в этой теме, понятно, что мы отошли от понятия элементарности и совершенно не требуем этой самой элементарности (видимо все привыкли, что я в своих темах постоянно от функций требовал элементарности по Пискунову ). Так вот интегрирование в данной теме на данном этапе - это задача вторичная ( и по сути всегда решаемая введением новой неэлементарной функции). На первом месте стоит сам метод решения диффура. По крайней мере мне так представляется, если я не прав, прошу меня поправить.

-- Вс янв 29, 2017 22:56:12 --

Metford, ну теперь значит очередь вот за этим:

Metford в сообщении #1188370 писал(а):

Но тут есть небольшое уточнение, которое я чуть позже сделаю.

[Metford]

Даю уточнение. Показал я хорошую сторону: на логарифмическом графике "арки" выстроились по хорошей такой прямой. Но пройдём дальше раза в три...

Может быть, это численное. А может быть и нет. Пока не проверял специально.
Выглядит не очень, но принцип, думаю, понятен.

[Shtorm]

Metford, как говорится, "будем чесать репу". Надеюсь, численное решение диффура:

$$\ddot{\alpha}+\omega^2\sin\alpha=0$$

ничего такого неординарного не даёт?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #1188387 писал(а):

Да ладно Вам. Разобрались же.

Не сказал бы. Согласованной и краткой модели того, чего вы хотели, у меня не получается.

[Shtorm]

arseniiv, а не связано ли это с тем, что мы с Вами не обсудили или не до конца обсудили существование и использование для любой неэлементарной функции обратной к ней функции?

[Metford]

Shtorm
Всё-таки увлекаться анализом этих картинок я бы не стал. Во-первых, может быть, это на самом деле численный дефект. Надеюсь, на неделе будет время уточнить. Во-вторых, хотелось бы всё-таки хотя бы немного продвинуться аналитически (это я проявляю такой осторожный и немного нагловатый оптимизм ).

Да. Без затухания таких фокусов нет.

[Shtorm]

Metford, ну давайте попробуем. Итак, дифференциальное уравнение второго порядка допускающее понижение порядка. Когда порядок понизим, получим нечто вроде вот этого:

$$\frac{dy}{dx}+\frac{P(x)}{y}=Q(x)$$

буковки я только поменял. Как его решать? может попробовать превратить в уравнение в полных дифференциалах, найдя интегрирующий множитель? Тут, насколько я понял, задача сложная по поиску интегрирующего множителя. Надо будет решать диффур в частных производных - только для того чтобы найти интегрирующий множитель. А потом только решать основное уравнение.

[Metford]

Раз уж решается вполне конкретная задача, то, наверное, имеет смысл не переходить к уравнениям общего вида.
У меня вышло уравнение вида

$$y\frac{dy}{dx}+2\beta y+\omega_0^2\sin x=0.$$

Я пробовал метод вариации произвольной постоянной - результат не понравился. Интегрирующий множитель искать - дело какое-то безнадёжное. Симметрии особенной у уравнения с ходу вроде бы не видно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #1188400 писал(а):

а не связано ли это с тем, что мы с Вами не обсудили или не до конца обсудили существование и использование для любой неэлементарной функции обратной к ней функции?

Не знаю, как это могло бы быть связано.

[Shtorm]

Metford в сообщении #1188412 писал(а):

Я пробовал метод вариации произвольной постоянной - результат не понравился.

А я-то думал, что метод вариации произвольной постоянной имени Лагранжа применяется только для линейных дифференциальных уравнений. У нас-то нелинейное. Я был не прав?
arseniiv, так может мы как-то формализуем и локализуем наше недопонимание? То есть разберём по косточкам: кто кого не понял, и кто что имел ввиду и кто где подал повод запутаться?

Metford в сообщении #1188412 писал(а):

Раз уж решается вполне конкретная задача, то, наверное, имеет смысл не переходить к уравнениям общего вида.

Да, Вы правы. Я просто хотел обобщить получившееся уравнение и заодно рассмотреть общий метод решения таких уравнений:

$$\frac{dy}{dx}+\frac{P(x)}{y}=Q(x)$$

И ещё у меня была мысль создать тему в Помогите решить и разобраться (Математика) по поводу общего решения такого уравнения. А тут играет роль такой общий вид. Я надеялся, что кто-то из математиков увидев такое уравнение, скажет: "Так профессор Иванов решал такое уравнение в своей работе, опубликованной...". Или "Да такое уравнение ещё Леонард Эйлер рассматривал в своих трудах...."
Как думаете, стоит не стоит создавать там отдельную тему? Я просто думаю, что не все математики заходят в раздел Физика. Не секрет же, что некоторые математики просто не переваривают физику

[Metford]

Shtorm в сообщении #1188452 писал(а):

А я-то думал, что метод вариации произвольной постоянной имени Лагранжа применяется только для линейных дифференциальных уравнений. У нас-то нелинейное. Я был не прав?

Откровенно говоря, не помню. Боюсь ошибиться, но по-моему, он гарантированно работает для линейных уравнений, а для некоторых других - по случаю. Иногда случаются сюрпризы... Но вполне допускаю, что память подвела.

Shtorm в сообщении #1188452 писал(а):

Я просто хотел обобщить получившееся уравнение и заодно рассмотреть общий метод решения таких уравнений:

Это я понял. Только проще обычно двигаться от более простых задач к более сложным. Наше уравнение, может быть, чем-то хорошее (чего мы не видим пока). Общий вид может и не иметь этого "хорошего свойства". Так что по крайней мере в этой теме лучше, наверное, ограничиться одним конкретным уравнением.

Shtorm в сообщении #1188452 писал(а):

Как думаете, стоит не стоит создавать там отдельную тему? Я просто думаю, что не все математики заходят в раздел Физика.

А уж учитывая название темы, вряд ли кто-то, не заглянув в неё, сможет подумать, что здесь обсуждаются такие вещи Вот кстати, всё это обсуждение к вопросу ТС уже давно не относится. Не лучше ли было бы отделиться?.. И тему назвать так, чтобы она математиков тоже могла привлечь. Вроде "Точное решение задачи о математическом маятнике с затуханием".
Открывать ли отдельную тему?.. Даже не знаю... В принципе, почему бы и нет. Вдруг, действительно, профессор Иванов уже всё сделал.

Shtorm в сообщении #1188452 писал(а):

Не секрет же, что некоторые математики просто не переваривают физику

А не нужно её переваривать!

[Shtorm]

Metford в сообщении #1188457 писал(а):

Откровенно говоря, не помню. Боюсь ошибиться, но по-моему, он гарантированно работает для линейных уравнений, а для некоторых других - по случаю. Иногда случаются сюрпризы... Но вполне допускаю, что память подвела.

Вы говорите, Вам решение не понравилось, которое Вы получили методом вариации? Я тоже попробовал, так у меня вообще $C(x)$ сократилось, когда я подставил в исходное уравнение. А у Вас как? Если хоть какое-то решение получилось - может напишете сюда?

Metford в сообщении #1188457 писал(а):

Только проще обычно двигаться от более простых задач к более сложным.

Согласен.

Metford в сообщении #1188457 писал(а):

Вот кстати, всё это обсуждение к вопросу ТС уже давно не относится. Не лучше ли было бы отделиться?

Ну вообще-то, если взять название темы, то вроде как соответствует Другое дело - само наполнение темы, которое произвёл ТС. Ну, я как бы тему ТС дополнил до логического завершения. Но возможно, что Вы и правы. Посмотрим ещё.