Математический маятник и затухание колебаний.

[Metford]

Shtorm в сообщении #1188464 писал(а):

Вы говорите, Вам решение не понравилось, которое Вы получили методом вариации?

Нет. Мне не понравился результат попытки применения метода. Ну, то есть как: я взял то уравнение, которое выше привёл. Выкинул один раз слагаемое с синусом, в другой раз - слагаемое без синуса. Во втором случае уравнение для произвольной "константы" получилось ужасающим, в первом случае вид был вполне приличный, но идей решения что-то не возникло. Вот, пожалуйста:

$$y_1\frac{dy_1}{dx}+2\beta y_1=0\Rightarrow y_1=2\beta x+C.$$

Подставляю функцию в исходное уравнение, считая, что $C=C(x)$:

$$\frac{dC}{dx}(C-2\beta x)+\omega_0^2\sin x=0.$$

Вот...

Shtorm в сообщении #1188464 писал(а):

Ну вообще-то, если взять название темы, то вроде как соответствует

Вы же сами знаете, насколько часто рассматриваемые колебания считаются малыми. Там таких проблем нет. И если кто-то заглядывал тему, когда она только появилась, то он вряд ли мог ожидать, что в ней возникнет этот разговор. Но я на своём предложении не настаиваю. Мне и здесь хорошо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #1188452 писал(а):

так может мы как-то формализуем и локализуем наше недопонимание? То есть разберём по косточкам: кто кого не понял, и кто что имел ввиду и кто где подал повод запутаться?

Совершенно не против, но мне лень перечитывать тему. По-моему, пока здесь всё неплохо и так. Если увижу в продолжении темы вопрос, который понятен и на который мне нетрудно записать ответ, и при этом ответа ещё нет, не поскуплюсь.

[Dragon27]

Shtorm в сообщении #1188358 писал(а):

Если например, написать дифференциальное уравнение незатухающих свободных колебаний математического маятника и заменить в этом уравнении $\sin\alpha\sim\alpha$ то это тоже по сути разложение в ряд Маклорена до первого члена ряда. Результат решения такого уравнения давно известен: угол $\alpha$ меняется как синус или косинус от времени. И при отклонении маятника всего на 30 градусов наблюдается отклонение реальных колебаний от синуса или косинуса. Если взять больше членов ряда, решение уравнения сильно усложнится. В итоге получится здоровое выражение, я уж не помню в явном виде или в неявном. Но определённо некрасивое.

Для ряда можно найти общую формулу каждого члена ряда или рекуррентную формулу, позволяющую вычислить каждый член ряда через предыдущий - вот нисколько моё эстетическое чувство не задевает :)
Вот как те же иррациональные числа - вы можете сказать чему точно равен корень из двух? Или только приближённо с произвольной степенью точности? Какая разница, что мы можем "изящно" обозначить его коротким $\sqrt{2}$. Мы можем обозначить коротким символом любую функцию, являющуюся решением данного нам диффура (при определённых начальных данных), показать, как находить её значение (через ряды), и, набрав несколько таких функций (в зависимости от степени диффура), записать общее его решение в виде композиции этих функций.
А потом уже можно пытаться доказать, что оно выразимо/невыразимо через другие известные нам функции - это уже второстепенно.

[Shtorm]

Metford в сообщении #1188466 писал(а):

...Вот, пожалуйста:

$$y_1\frac{dy_1}{dx}+2\beta y_1=0\Rightarrow y_1=2\beta x+C.$$

...

Разве тут не должно быть:

$$y_1=-2\beta x+C.$$

?

-- Пн янв 30, 2017 13:48:33 --

Dragon27, ладно. Надо подумать.

[Metford]

Shtorm в сообщении #1188531 писал(а):

Разве тут не должно быть:

$$y_1=-2\beta x+C.$$

Должно, конечно, спасибо. Но следующее уравнение написано всё равно правильно: я случайно при наборе знак в первой строчке пропустил.

Dragon27 в сообщении #1188485 писал(а):

Для ряда можно найти общую формулу каждого члена ряда или рекуррентную формулу, позволяющую вычислить каждый член ряда через предыдущий - вот нисколько моё эстетическое чувство не задевает :)

Ну, если говорить об эстетическом чувстве, то лично мне больше нравилось созерцать, к примеру, функцию Бесселя не в виде ряда, а в интегральном представлении (уж не помню имени кого). А серьёзно - возможно я и ошибаюсь - но с рядами работать менее удобно чем с интегралами. Особенно если речь идёт о численных расчётах.

[Shtorm]

Metford, спасибо.

Metford в сообщении #1188466 писал(а):

...Подставляю функцию в исходное уравнение, считая, что $C=C(x)$:

$$\frac{dC}{dx}(C-2\beta x)+\omega_0^2\sin x=0.$$

Вот...

А дальше напрашивается опять уравнение в полных дифференциалах и поиск интегрирующего множителя.