Система уравнений

[Викентий]

Помогите пожалуйста решить эту систему.


Задание: Докажите. что система имеет хотя бы два различных решения.

\[ \begin{gathered} 8x^3 + 18x^2 + 15x + 14 = 0 \hfill \\ (10 + 4x)^y - 2 = y(5 + \frac{7} {x}) + 7^{x + y} * \sqrt {16x(x + 1)^2 + 40x^2 + 89x + 49} \hfill \\ ,\_\_\_\_\_\_\_\_ \hfill \\ \end{gathered} \]

Спасибо.

[T-Mac]

Для начала найдите хотябы один корень первого уравнения

[bot]

Видимо речь идёт о вещественных решениях, а тогда "хотя бы один" означает "в точности один", который лежит между -2 и -1.

Подстановка этого корня во второго уродца (и где его аскер откопал?) даст линейную комбинацию двух экспонент с разными основаниями и линейную функцию. В принципе это решаемо путём прикидки оснований и коэффициентов, если бы не одно НО.
Подкоренное выражение - возрастающая функция и в точке -1 обращается в нуль. КонецЪ.

[GAA]

Я подставил вещественный корень первого уравнения во второе уравнение, которое после этого привел к виду $f(y)=0$, и исследовал $f(y)$. Как будто никаких трудностей. А «уродец» таков, что после подстановки в него корня первого уравнения он замечательно упрощается.
Добавлено
О поиске рациональных корней можно посмотреть на странице Корни многочлена [Спасибо, Brukvalub, за указание ссылки].

[T-Mac]

Корень первого $x=-1.75$

[Викентий]

а можно вопрос по поводу первого уравнения. мне вот сказали, что для нахождения корня нужно найти все числа кратные в данном случаю 14 (то есть -7, -2, 2, 7,1, -1) и подставлять их поочереди в уравнение вместо х. если равенство получится - то это и есть корень. на самом деле можно искать так корень или это вранье?

Добавлено спустя 18 минут 38 секунд:

посмотрел ссылку GAA - и правда так. Только тогда получается что нет корней. а - 1.75 - таким способом не получить(

[Trotil]

Викентий

Как это не получить?

В теореме сказано про рациональные корни вида $\frac{p}{q}$. В данном случае корень $-\frac{7}{4}$ получается как раз с использованием этой теоремы

[Викентий]

ведь сначала надо найти корень-четное число. а четного корня нет.

[Trotil]

Почему корень - обязательно четное число? Не понимаю вас.

[bot]

bot писал(а):

... если бы не одно НО.
Подкоренное выражение - возрастающая функция и в точке -1

Ошибся при оценке большего корня производной - получилось, что он меньше -2, а на самом деле он чуть левее -1.
Рациональный корень первого искать не догадался, да и подручный материал был слишком мал - обратная сторона автобусного билета.

Добавлено спустя 30 секунд:

А на лицевой стороне поля слишком узки.

[Викентий]

уравнение имеет рациональный корень x0=p/q и число p является делителем числа 14 (в данном случае). Написано он должен быть четным. То есть надо это число подставить в уравнение чтобы получилось равенство. Его нет. Вот у меня и не получается..

[GAA]

Теорема о рациональных корнях многочлена «Если многочлен $P_n(x) = a_nx^n+...+a_1x+a_0$ с целыми коэффициентами имеет корень $x_0 = p/q$, то число $p$ является делителем числа $a_0$, а число $q$ является делителем числа $a_n$.»
В данном случае 7 является делителем 14, а 4 — делителем 8. Корень –7/4 (подставив в уравнение, убеждаемся в равенстве).

Подставив теперь корень –7/4 во второе уравнение, приведите его к виду $f(y) =0$ и исследуйте $f(y)$. Уравнение $f(y) =0$ будет иметь два корня.

[bot]

Викентий писал(а):

Написано он должен быть четным

Где написано и кто должен быть чётным?
Если несократимая рациональная дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то её числитель является делителем свободного члена, а знаменатель - делителем старшего коэффициента. Где тут Вы увидели требование чётности?
Вам даже уже выдали, что подставлять, а у Вас опять не получается!

Добавлено спустя 46 минут 15 секунд:

Три раза в арифметике путался, вычисляя подкоренное выражение, чтобы проверить - неужто ... ? А что же ещё, если после этого очень просто два корня получается?
Всё-таки проверил - он родимый, голимый!
Это где ж такие тупо навороченные задачи дают? Не из ЕГЭ ли?

[Викентий]

извините все за тупые вопросы, мне бало сложно разобраться.
да, задание из ЕГЭ - самое сложное - С5.
Спасибо.

Добавлено спустя 8 минут 34 секунды:

извините за искреннюю тупость, но можно тогда вопрос?

значит находить x0=p/q нжно методом подбора этих делителей?

[TOTAL]

Викентий писал(а):

извините все за тупые вопросы, мне бало сложно разобраться.
да, задание из ЕГЭ - самое сложное - С5.
Спасибо.

Интересно, в чем разобрались? Чему научились, решая эту задачу?