Пчела над каплей меда

[fred1996]

Здравствуйте всем.
Предлагаю вариант известной задачки про пчелу, пролетающую над каплей меда.
В начальном варианте она выглядит так.
Над столом над каплей меда на высоте $\mathbf{h}$ пролетает пчела с постоянной скоростью $\mathbf{v}$
В момент, когда она находится точно над каплей меда, она замечает ее и моментально соображает, какую выбрать траекторию полета, чтобы достичь каплю за минимальное время.
Максимальное ускорение $\mathbf{a}$, которое может развить пчела любом направлении. Гравитацией пренебречь.
Эта задачка решается просто в соответствующей системе отсчета.
Но я ее немного усложню и потребую, чтобы полет был безопасным.
То есть при подлете к капле меда пчела должна погасить скорость до нуля, чтобы не убиться об стол.
У меня есть одно конструктивное решение, но я почти уверен, что оно не оптимальное.
Желаю успеха.
Эдуард Ф.

ПС
Забыл представиться.
В настоящий момент я преподаю частным образом физику и математику американским школьникам и студентам.
Мое основное направление - их подготовка к олимпиадам по физике различного уровня.

[levtsn]

Меняем систему отсчета на неподвижную пчелу. Выписываем функции времени достижения каплей и пчелой (движущейся половину пути с ускорением а половину пути с замедлением) точки на траектории капли, приравниваем времена и решаем уравнение.

[realeugene]

Так как задача двумерна, ускорение тоже двумерно. Фазовое пространство системы при этом четырехмерно, так что, представить его себе не так-то просто. Задачу, разумеется, можно решить при помощи грубой силы методов теории оптимального управления, но сомневаюсь, что такое решение будет олимпиадным.

[fred1996]

levtsn в сообщении #1182694 писал(а):

Меняем систему отсчета на неподвижную пчелу. Выписываем функции времени достижения каплей и пчелой (движущейся половину пути с ускорением а половину пути с замедлением) точки на траектории капли, приравниваем времена и решаем уравнение.

В этой системе по оси $\mathbf{x}$ капля движется со скоростью $\mathbf{-v}$. Соответственно и пчела должна подлетать по этой оси с таой же скоростью.
То есть если по вертикали все симметрично и модно лететь половину пути с ускорением, а половину с замедлением, то по горизонтали все не так просто. И потом оптимальное по вертикали и по горизонтали не означает, что вместе это будет оптимальным.
Если считать , что общее ускорение по величине всегда $\mathbf{a}$ то можно расчитать точку поворота для ускорения по горизонтали и вертикали. Они будут разными. Но никто не гарантирует, что это решение оптимально. Можно чуть сдвинуть точку поворота по одной оси, тогда она сдвинется и по другой оси (a постоянно). Можно наверное найти и точку минимума общего времни. Но это будет минимум для данной стратегии. Не факт ( почти уверен) что это оптимальная стратегия в целом.
Было бы интересно, можно ли обойтись тут без вариационного исчисления, тем более я уже забыл как это делается

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (Ф)»

[realeugene]

Грубая сила нам подсказывает, что оптимальное ускорение в задаче с произвольными заданными начальным и конечным состояниями в фазовом пространстве будет $\vec a = a \vec w / \left|\vec w\right|$, где $\vec w = \vec w_1 + \vec w_2 t$, $\vec w_1, \vec w_2 = \operatorname{const}$. А здравый смысл подсказывает, что если $$\vec w_1 \nparallel \vec w_2$, то можно начинать вешаться, так как такое ускорение хоть и в принципе интегрируемо, но придётся попотеть. Если же эти вектора параллельны, то это, действительно, обычный bang-bang вдоль одной прямой, который очевидно тут применим только если $v = 0$.

Впрочем, если повернуть координаты и сдвинуть нуль времени в точку минимума $\left|\vec w\right|$, интегрирование ускорения становится совершенно тривиальным.

[realeugene]

В общем, оптимальное ускорение дважды интегрируется аналитически, и траектория, в результате, выражается от времени через элементарные функции - радикалы и гиперболические арксинусы. Всего лишь. Получается решение с 8 неизвестными константами для 8 заданных чисел - координат начальной и конечной точки в фазовом пространстве. Остаётся записать систему из 8 нелинейных уравнений, найти эти константы, решив её, и, вуаля, задачка полностью решена.

[fred1996]

Конструктивная идея.
Попробуем угадать ответ.
Пусть начальные горизонтальное и вертикальное ускорение пчелы $a_x$ и $a_y$. Тода все время имеем $a^2_x+a^2_y=a^2$
Пчела может какое-то время лететь с постоянным ускорением по одной оси, потом поменять его на торможение. Можно для обеих осей сосчитать момент, когда она заменит ускорение по оси $x$ с $a_x$ на $-a_y$, а по оси $y$ соответственно с $a_y$ на $-a_x$. То есть обменять укорения на торможеия, поменяв еще и величины по осям. Можно расчитать точный момент времени, когда это сделать, поскольку у нас есть 4 уравнения и 4 неизвестных: $ a_x, a_y ,t,t_1$
Здесь $t,t_1$ общее время и точка поворота ускорения.
Только будет ли это оптимальной стратегией?
За говорит то, что первоначально пчела ускоряется с максимальным ускорением, а потом замедляется тоже с масимальным. В одном измерении это, понятно, оптимальный вариант.
Обычно в сложных задачах очень помогает известного рода симметрия.
Просто надо ее угадать. Мне кажется, я эту симметрию угадал в данном случае.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1182899 писал(а):

Мне кажется, я эту симметрию угадал в данном случае.

Если у вас в решении нет логарифмов, то не угадали. Соболезную. Но против грубой силы переть бесполезно.Задача в вашей формулировке не олимпиадная и красивого решения, похоже, не имеет.

Задача при $v \neq 0$ и $h \neq 0$ существенно несимметрична. Это можно увидеть при малом $v$ и большом $h$ в системе отсчёта мёда. Время делится примерно пополам. Первую половину ускорение направлено почти вертикально вниз, вторую - почти вертикально вверх, чтобы максимально быстро преодолеть большую высоту $h$ с нулевой скоростью в конце. При этом горизонтальное ускорение тоже должно быть почти постоянно на каждой половинке и мало по сравнению с $a$. Но при этом направленное назад горизонтальное ускорение на первой половинке должно быть в три раза больше, чем направленное вперёд на второй, чтобы и горизонтальную скорость погасить, и вернуть пчелу в ту же координату по горизонтали.

Впрочем, там ещё будет существенный толчок назад на вершине в момент изменения направлений ускорения, так как ускорение меняется по направлению непрерывно и остаётся постоянным по модулю, и горизонтальное ускорение в этот момент по модулю может существенно превышать примерно постоянное горизонтальное ускорение на половинках. Но этот толчок, в любом случае, не добавляет симметрии задаче.

Если же $v > 0, h = 0$, то это обычный одномерный bang-bang, при котором время ускорения назад и вперёд делится не поровну, а в отношении $3:1$.

[fred1996]

Да, пожалуй вы правы.
В ваших предельных случаях у меня с моей симметрией получается ерунда.
Честно говоря не знал, куда поместить эту задачу.
Это скорее дискуссионная вещь, но она ничего не опровергает, а на "помогите из школьного курса" не похожа.
Поэтому и поместил в олимпиадные.
Тем более олимпиадные задачи - моя любимая тема.
У меня есть ряд задач из различных разделов физики, которые носят дискуссионный характер типа расчитать КПД двигателя внутреннего сгорания с учетом неравновесности процесса ( учитывая скорость поршня на адиабатах). Или расчет подьемной силы тяги вертолета тоже учитывая неравновесность процесса. Даже не знаю, куда их помещать.

[realeugene]

Модераторы ранее переносили подобные недоолимпиадные задачи в корень раздела "Физика".

[fred1996]

Ага, спасибо. Буду иметь ввиду.
Так а здесь можно помещать задачи, которые еще не были на олимпиадах, но которые я сам придумал и у меня есть готовое решение и точно олимпиадного уровня?

[realeugene]

Я не модератор, но не вижу причин, почему бы и нет? Тут наверняка немало ценителей олимпиадных задач. Если ваши задачи, на самом деле, красивые, их оценят. Только учтите, что эти задачи и их решения таким образом будут опубликованы и будут гуглиться, по крайней мере, на русском языке.

[fred1996]

Да мне собственно все равно.
Задачки я даю своим американским подопечным. Так что они уже в каком-то смысле потеряли свою невинность. Мне кажется, чем меньше таить идеи, тем больше можно породить новых идей. То есть я тут придумал целый ряд задач на распределенные силы трения при движении твердого тела по шероховатой поверхности. Думаю тема будет оценена. И может даст толчек целому направлеию. :)

Последний вопрос по задаче с пчелой. Я не все понял из того что вы написали. Можно сказать пока на качественном уровне.
Как вы полагаете, если мы имеем два предельных случая, когда либо скорость пчелы равна нулю, либо высота ноль. Тогда ускорение есть разрывная (кусочно-постоянная) функция времени. А если ни то ни другое ноль, сдается мне, что ускорение становится непрерывной функцией. Ну или разрывна только при каких-то фиксированных отношениях между заданными параметрами.