Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон

, удовлетворяющими
соотношению
Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник с длинами сторон

. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов
с условиями для углов
Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при

. Далее возможны два случая либо
либо
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), где элементами первого измерения являются

, но одни и те же элементы одного и того же соотношения, могут иметь только один порядок измерения. Следовательно, для этого случая допущение не верно.
2) Выполняются соотношения (5). Но эти соотношения противоречат основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника в этом случае также неверно.
Теорема доказана.